戚玉亮，胡治中，虞子平，魯嘉

（1.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.九州大學(xué) 建設(shè)系統(tǒng)工學(xué)系，日本 福岡 819－0395；3.廣東省珠海工程勘察院，廣東 珠海 519002；4.浙江建設(shè)投資集團(tuán)有限公司，浙江 杭州 310012；5.浙江省建工集團(tuán)有限責(zé)任公司，浙江 杭州 310012）

基于地應(yīng)力橢球和橢圓的松動(dòng)圈計(jì)算方法

戚玉亮1，2，3，胡治中4，虞子平5，魯嘉4

（1.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.九州大學(xué) 建設(shè)系統(tǒng)工學(xué)系，日本 福岡 819－0395；3.廣東省珠海工程勘察院，廣東 珠海 519002；4.浙江建設(shè)投資集團(tuán)有限公司，浙江 杭州 310012；5.浙江省建工集團(tuán)有限責(zé)任公司，浙江 杭州 310012）

采用地應(yīng)力橢球和地應(yīng)力橢圓分析方法，結(jié)合實(shí)測(cè)的車集礦地應(yīng)力結(jié)果，以及礦區(qū)地質(zhì)資料、地應(yīng)力測(cè)量中揭露的地質(zhì)情況，研究原巖應(yīng)力與巷道松動(dòng)圈的關(guān)系.結(jié)果表明：在地應(yīng)力作用下，不同的巷道走向?qū)⒂绊懙狡渲苓厙鷰r的受力狀況，隨著地應(yīng)力橢圓離心率的增大，巷道周圍受力的不均勻性增加.走向一定的情況下，將應(yīng)力橢圓視為圍巖破碎帶的形狀，從而進(jìn)行巷道斷面形狀的優(yōu)化和支護(hù)參數(shù)的優(yōu)選是合理可行的.

原始地應(yīng)力；松動(dòng)圈；地應(yīng)力橢球；地應(yīng)力橢圓

地應(yīng)力是引起采礦、水利水電、土木建筑、鐵道、公路和各種地下或露天巖土開挖工程變形和破壞的根本作用力，是確定巖體力學(xué)屬性，進(jìn)行圍巖穩(wěn)定性分析，實(shí)現(xiàn)巖土工程開挖設(shè)計(jì)和決策科學(xué)化的必要前提［1-2］.就采礦工程而言，掌握地應(yīng)力的正確分析方法，是進(jìn)行巷道合理設(shè)計(jì)、保證安全生產(chǎn)的前提.過應(yīng)力空間一點(diǎn)的不同斜面上，作用有不同的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和總應(yīng)力，這些應(yīng)力分量一般會(huì)隨著所在斜面的變化而變化.在地質(zhì)力學(xué)中，總應(yīng)力通常用應(yīng)力橢球方程和應(yīng)力橢球面來描述這種變化.應(yīng)力橢球面可以非常直觀地給出某一應(yīng)力狀態(tài)下總應(yīng)力分量的可能變化范圍［3-4］，而原始地應(yīng)力測(cè)量只是揭示了場(chǎng)地原巖應(yīng)力的區(qū)域分布狀態(tài) .巷道設(shè)計(jì)時(shí)，往往對(duì)地應(yīng)力規(guī)律性認(rèn)識(shí)不足，重視不夠，造成巷道布置和斷面設(shè)計(jì)的不合理性，從而導(dǎo)致前期掘進(jìn)施工困難，后期維護(hù)費(fèi)用增大.因此，亟需一套正確的、可靠的理論分析方法作指導(dǎo).本文在給出應(yīng)力橢球和應(yīng)力橢圓基本理論的同時(shí)，基于車集礦現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的地應(yīng)力資料，從地應(yīng)力橢球和地應(yīng)力橢圓的角度，深入研究了原始地應(yīng)力與巷道松動(dòng)圈的關(guān)系.

1 應(yīng)力橢球體

一點(diǎn)O的應(yīng)力狀態(tài)，可以用3個(gè)主應(yīng)力的大小和方向表示，分別用σ1，σ2，σ3來表示最大、中間和最小主應(yīng)力.設(shè)過O點(diǎn)任一方位的斜切微分面與3個(gè)坐標(biāo)軸相交于A，B，C，斜切微分面的外法線方向?yàn)镹，其方向余弦為l，m，n；斜切微分面ABC上的總應(yīng)力為S，不同的截面有不同的S，它在坐標(biāo)軸方向上的3個(gè)分量分別為Sx，Sy，Sz，如果把空間坐標(biāo)系O－xyz的3個(gè)坐標(biāo)軸選得與應(yīng)力主方向相同，則有

式（1）中：l＝cos（N，x）；m＝cos（N，y）；n＝cos（N，z）.

式（1）是一個(gè)橢球方程，對(duì)物體內(nèi)一點(diǎn)作受力分析時(shí)，取3個(gè)主應(yīng)力的大小為半徑作一個(gè)橢球 .該橢球代表作用于該點(diǎn)的總應(yīng)力狀態(tài)，即對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，總應(yīng)力矢量S 的端點(diǎn)均在此橢球面上，稱為應(yīng)力橢球體，其中長(zhǎng)半軸代表最大主應(yīng)力σ1，短半軸代表最小主應(yīng)力σ3，中間半軸代表中間主應(yīng)力σ2，如圖1所示.

通常情況下，矢徑S只表示總應(yīng)力大小和作用方向，而不能直接給出作用面的方向，這是因?yàn)橹鲬?yīng)力的壓、拉性質(zhì)（用符號(hào)±表示）不確定.當(dāng)σ1＝σ2＝σ3時(shí)，應(yīng)力橢球面成為球面，此應(yīng)力狀態(tài)為球應(yīng)力狀態(tài)，球面上任一點(diǎn)的矢徑S指向都是主方向.僅在這種狀態(tài)下，球面上一點(diǎn)的矢徑S既表示應(yīng)力大小，又表示應(yīng)力作用面的法向.

從應(yīng)力橢球方程式 （1）可以看出，各主應(yīng)力都以平方出現(xiàn)，因此，主應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力不能從方程體現(xiàn)出來.為了從幾何上求出總應(yīng)力S所作用的那個(gè)截面的法向，也為了決定總應(yīng)力是拉性的還是壓性的，需建立截面方向指示曲面 .這里取方向指示曲面方程為

圖1 應(yīng)力橢球Fig.1 Stress ellipsoid

取其函數(shù)為

由該函數(shù)的梯度可求出此曲面的法線方向余弦為

從應(yīng)力橢球面上一點(diǎn)（Sx，Sy，Sz）所代表的總應(yīng)力S延伸出去交指示曲面于一點(diǎn)（sx，sy，sz），二者之間存在正比例關(guān)系 .取比例系數(shù)為λ2，則有sx＝λ2Sx，sy＝λ2Sy，sz＝λ2Sz，代入式（4）中，則有

式（5）表明：從應(yīng)力橢球一矢徑S延伸出去交方向指示曲面于一點(diǎn)，在該點(diǎn)處指示曲面的法線方向就是S所作用的那個(gè)截面的法線方向.

需強(qiáng)調(diào)的是，3個(gè)主應(yīng)力的正負(fù)決定著不同形狀的方向指示曲面，主要有如下4種情況：1）σ1＞0，σ2＞0，σ3＞0，方向指示曲面為一橢球；2）σ1＜0，σ2＜0，σ3＜0，方向指示曲面為一橢球；3）σ1＞0，σ2＞0，σ3＜0，方向指示曲面為雙曲面；4）σ1＞0，σ2＜0，σ3＜0，方向指示曲面為雙曲面.

由于現(xiàn)今地應(yīng)力測(cè)量所得值中絕大多數(shù)都為壓應(yīng)力情形［5-8］，即σ1＞0，σ2＞0，σ3＞0，因此，式（2）的右端只能取正號(hào)，即改寫為

的值大于零，因此，方向指示曲面的法線方向是指向曲面外側(cè)的.將指示曲面法線平移到球心，則與其對(duì)應(yīng)的截面就是S所作用的那個(gè)截面.

2 應(yīng)力橢圓

應(yīng)力橢圓為過應(yīng)力橢球中心點(diǎn)的平面與橢球面的截線，包括主應(yīng)力橢圓和斜應(yīng)力橢圓.主應(yīng)力橢圓是截面內(nèi)包含任意兩個(gè)主應(yīng)力的應(yīng)力橢圓，它的長(zhǎng)、短半軸分別等于兩個(gè)主應(yīng)力的大?。欢孛鎯?nèi)不包含或僅包含一個(gè)主應(yīng)力的應(yīng)力橢圓統(tǒng)稱為斜應(yīng)力橢圓.

主應(yīng)力橢圓是3個(gè)主應(yīng)力平面切割應(yīng)力橢球體得到的，一個(gè)應(yīng)力橢球只有3個(gè)主應(yīng)力橢圓.每個(gè)主應(yīng)力橢圓中包含兩個(gè)主應(yīng)力，代表二維應(yīng)力狀態(tài)，分別稱為σ1與σ2主應(yīng)力橢圓，σ1與σ3主應(yīng)力橢圓，σ2與σ3主應(yīng)力橢圓.在所有過應(yīng)力橢球體球心截得的應(yīng)力橢圓中，σ1與σ3主應(yīng)力橢圓離心率最大，離心率為橢圓兩焦點(diǎn)間的距離和長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比值，是橢圓扁平程度的一種量度；σ2與σ3主應(yīng)力橢圓的面積最??；σ1與σ2主應(yīng)力橢圓截面上作用的法向總應(yīng)力最?。é?）.對(duì)于一般的斜應(yīng)力橢圓（圖2），在隨橢圓旋轉(zhuǎn)的OXY直角坐標(biāo)系下，其方程為

圖2 斜應(yīng)力橢圓Fig.2 Oblique stress ellipse

式（8）中：Sa代表橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；Sb代表橢圓短半軸長(zhǎng).在固定的直角坐標(biāo)系OUV中，其方程為

式（9）中：θ是兩個(gè)坐標(biāo)系的夾角.應(yīng)力橢圓指示曲面的求法與應(yīng)力橢球類似，在此不再贅述.

3 工程實(shí)例分析

場(chǎng)地三維地應(yīng)力實(shí)測(cè)將有助于采用應(yīng)力橢球和應(yīng)力橢圓的方法來分析滿足生產(chǎn)需求的最佳巷道軸線方向、支護(hù)方案和斷面設(shè)計(jì).通常只有三維地應(yīng)力測(cè)量結(jié)果可以繪制出地應(yīng)力橢球，而平面地應(yīng)力測(cè)量結(jié)果只能繪制出平面地應(yīng)力橢圓.工程實(shí)踐與理論研究表明：空心包體應(yīng)變計(jì)可以同時(shí)測(cè)得三維應(yīng)力，且安裝簡(jiǎn)便迅速、傳感器精度高、測(cè)試方法精細(xì)及成功率和可靠性高 .以空心包體應(yīng)變計(jì)為傳感器的鉆孔孔壁應(yīng)力解除地應(yīng)力測(cè)試，是目前最佳的地應(yīng)力測(cè)試方法［9］.因此，地應(yīng)力測(cè)量采用了空心包體應(yīng)力解除法.

3.1 車集礦地應(yīng)力測(cè)量結(jié)果

車集煤礦是河南龍宇能源股份有限公司的主力礦井之一，該礦位于永城煤田中部，永城復(fù)式背斜的東翼，屬于永城礦區(qū)（永夏煤田）.該井田基本為全隱伏的單斜構(gòu)造，地層產(chǎn)狀平緩且比較穩(wěn)定，屬構(gòu)造中等型.地層總體走向北北東（NNE），全井田地層走向大致呈反“S”型展布，地層傾向南東，傾角一般7°～20°，總的規(guī)律是淺部?jī)A角較陡（20°～30°），中深部變緩（5°～10°），而深部又變陡（15°～20°），但局部地段在走向和傾向上有一定的變化.

表1為車集礦現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)地應(yīng)力結(jié)果.表1中：h為深度；σi為主應(yīng)力；φ為方位角；θ為傾角；σn為垂向應(yīng)力.從表1中4個(gè)測(cè)孔的地應(yīng)力數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，車集礦區(qū)深部地應(yīng)力場(chǎng)分布存在如下4個(gè)規(guī)律.

1）有2個(gè)主應(yīng)力接近于水平方向，最大主應(yīng)力的傾角小于6°，第2主應(yīng)力的傾角不大于14°，最小主應(yīng)力接近于垂直方向，與垂直方向夾角大于75°，其區(qū)域構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)為近水平南北方向，方位角位于東南10°～西南11°之間.

2）測(cè)孔的各個(gè)主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，沒有出現(xiàn)拉應(yīng)力的現(xiàn)象，最大主應(yīng)力和中間主應(yīng)力位于近水平方向，說明該礦的地應(yīng)力場(chǎng)是以水平構(gòu)造應(yīng)力為主，而不是以自重應(yīng)力為主.

3）最大主應(yīng)力隨著深度變化的梯度大于其他兩個(gè)主應(yīng)力，其隨深度的增加而變得更占主導(dǎo)性.

4）不同部位測(cè)出的應(yīng)力值大小、方向和傾角都有所變化，表明地應(yīng)力分布與地質(zhì)構(gòu)造有密切關(guān)系.

車集礦屬于永夏煤田位于秦嶺－昆侖緯向構(gòu)造體系，區(qū)域地應(yīng)力場(chǎng)受全球意義的南北向擠壓力影響，因此以南北向構(gòu)造應(yīng)力為主，這與文中4個(gè)測(cè)孔實(shí)測(cè)的最大主應(yīng)力方向相吻合.

表1 地應(yīng)力測(cè)量結(jié)果Tab.1 Survey result of geo－stress

3.2 基于地應(yīng)力橢球和橢圓的巷道穩(wěn)定性分析

巷道松動(dòng)圈的大小與其圍巖中的應(yīng)力狀態(tài)密切相關(guān) .由于地質(zhì)條件復(fù)雜，又要滿足通風(fēng)、生產(chǎn)、運(yùn)輸?shù)男枨螅茈y選擇最佳巷道走向、斷面形狀及支護(hù)方法 .因此，有必要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行地應(yīng)力實(shí)測(cè)分析，來完善巷道布置、斷面設(shè)計(jì)和支護(hù)參數(shù)優(yōu)選，合理設(shè)計(jì)巷道.

1＃測(cè)孔（北材料庫(kù)）的測(cè)孔巷道走向方位角為NWW89°，巷道軸向與σ1方向的夾角（η）為80.29°，是4個(gè)測(cè)孔中最大主應(yīng)力方向與巷道軸線夾角最大的1個(gè)，且其受地應(yīng)力作用顯現(xiàn)最明顯（曾多次翻修），具有代表性.2＃測(cè)孔（26軌道）巷道走向的方位角為SWW69°，η為77.66°；3＃測(cè)孔（南大巷）巷道走向的方位角為SSW20°，η為11.3°；4＃測(cè)孔（27泵房）巷道走向的方位角為 NNW23°，η為28.72°.因此，以1＃測(cè)孔（北材料庫(kù)）的實(shí)測(cè)地應(yīng)力結(jié)果為例進(jìn)行分析.

根據(jù)前述應(yīng)力橢球的基本理論，對(duì)地應(yīng)力橢球進(jìn)行分析，將北材料庫(kù)測(cè)孔的主應(yīng)力值代入等式（1），可得到地應(yīng)力橢球方程式為

取方向指示曲面的T值為6，將其代入式（7）中，可得到地應(yīng)力橢球體的方向指示曲面方程式為

由前面分析可知，方向指示曲面的法向是指向曲面外側(cè)的.將指示曲面法線平移到球心，則與其對(duì)應(yīng)的截面就是S所作用的那個(gè)截面.

煤巷的主巷道大多選擇在水平面布置，因而主要對(duì)0°傾角，不同方位角為法線方向截得的地應(yīng)力橢圓進(jìn)行分析如圖3所示.文中的傾角和方位角均是基于大地坐標(biāo)系 .從圖3中可以看出：11°和191°方位角對(duì)應(yīng)的地應(yīng)力橢圓最小，后者最接近4°傾角，191°方位角平面所截得的σ2與σ3主應(yīng)力橢圓的形狀（圖3（j）），而其長(zhǎng)、短半軸分別為17.45和15.36，與橫軸夾角為－13.45°；11°方位角截得的地應(yīng)力橢圓與橫軸的夾角為13.78°，191°方位角截得的地應(yīng)力橢圓與橫軸的夾角為－13.78°，比較接近地應(yīng)力橢球主軸σ2的傾角 .顯然二者關(guān)于橫軸對(duì)稱.這一點(diǎn)從圖4繪制的0°傾角，不同方位角截得的地應(yīng)力橢圓內(nèi)最大總應(yīng)力Sh變化曲線也可以看出，即Sh隨方位角成周期性變化，周期為180°，在11°時(shí)，其值最小為17.45MPa，而在101°時(shí)，其值最大為24.64MPa，且成對(duì)稱分布.

從圖3還可知：當(dāng)方位角從11°到101°逐漸增大時(shí)，應(yīng)力橢圓的長(zhǎng)半軸也在變大，而短半軸基本無變化，因而地應(yīng)力橢圓的離心率在逐漸變大，橢圓的不均勻性逐漸顯現(xiàn).在所有0°傾角截得的地應(yīng)力橢圓中，101°方位角對(duì)應(yīng)的地應(yīng)力橢圓與橫軸的夾角為4.11°，與地應(yīng)力橢球主軸σ1的傾角最接近，其離心率最大為0.778，接近該地應(yīng)力橢球的最大離心率0.782.

圖3 0°傾角不同方位橫截面上的地應(yīng)力橢圓Fig.3 Geo－stress ellipse cut by the planes at 0°inclination and different geodetic azimuths

地應(yīng)力橢球和橢圓在巷道合理設(shè)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值可歸結(jié)如下3個(gè)方面.

1）從圖3，4可知，當(dāng)巷道軸線設(shè)計(jì)在最大主應(yīng)力方向或接近最大主應(yīng)力的方向上（方位角11°或191°）時(shí)，巷道周圍受力既小又比較均勻；反之，隨著與最大主應(yīng)力方向夾角的增大，巷道周圍受力將增大，且地應(yīng)力橢圓的離心率也變大，巷道周圍受力的不均勻性逐漸增大.

2）在選擇巷道斷面形狀時(shí)，不但要考慮地應(yīng)力橢圓的大小，還要考慮到地應(yīng)力橢圓離心率的大小，以及主軸與水平面的夾角η；過地應(yīng)力橢球中心截得的地應(yīng)力橢圓中，σ1方向上的σ2與σ3主應(yīng)力橢圓最小，然而其離心率和η卻不一定最小.

3）當(dāng)巷道的軸向與σ1方向?yàn)榇蠼嵌认嘟粫r(shí)，對(duì)地下洞室的穩(wěn)定性不利，易出現(xiàn)頂、底板和兩幫受力不對(duì)稱的情況.如北材料庫(kù)測(cè)孔，由于巷道的軸向與σ1方向的夾角為80.29°，巷道受壓變形嚴(yán)重，從左右兩幫同水平的兩個(gè)鉆孔取出的巖芯看，右?guī)偷乃蓜?dòng)范圍達(dá)到8.6m，左幫的松動(dòng)范圍大約6.9m，其形狀與應(yīng)力橢圓相近，具有明顯的不對(duì)稱性，大大增加了巷道支護(hù)和維護(hù)的難度.因此，可以將應(yīng)力橢圓視為圍巖破碎帶的形狀，從而進(jìn)行巷道支護(hù)參數(shù)的優(yōu)選.當(dāng)巷道走向與σ1方向?yàn)樾〗嵌认嘟粫r(shí)對(duì)地下洞室的穩(wěn)定性有利，一般與σ1方向平行的巷道變形較小，通過普通支護(hù)巷道基本穩(wěn)定，變形能夠得到較好的控制，其圍巖穩(wěn)定性最好；反之，當(dāng)它們?yōu)榇蠼嵌认嘟粫r(shí)對(duì)地下洞室的穩(wěn)定性不利，在巷道走向選擇時(shí)，應(yīng)盡量避免，否則在圍巖支護(hù)設(shè)計(jì)時(shí)要進(jìn)行特殊的加固設(shè)計(jì).

圖4 0°傾角時(shí)最大總應(yīng)力隨方位角的變化曲線Fig.4 Curve of the maximum－h(huán)orizontal stress with different azimuths at 0°inclination

3 結(jié)論

從地應(yīng)力橢球和橢圓的角度，結(jié)合實(shí)測(cè)的地應(yīng)力結(jié)果，以及礦區(qū)地質(zhì)資料、地應(yīng)力測(cè)量中揭露的地質(zhì)情況，深入研究了原巖應(yīng)力對(duì)巷道松動(dòng)圈的影響.結(jié)果表明：當(dāng)巷道設(shè)計(jì)與地應(yīng)力作用方式相協(xié)調(diào)，即巷道軸線布置在地應(yīng)力橢球長(zhǎng)軸方向上，斷面幾何形狀與地應(yīng)力橢圓形狀相似時(shí)，可以避免出現(xiàn)應(yīng)力集中區(qū)，易于形成壓力拱，從而提高巷道的穩(wěn)定性.

根據(jù)地應(yīng)力橢球的大小和方向兼顧現(xiàn)場(chǎng)施工地質(zhì)條件，綜合考慮選擇最佳巷道走向和斷面形狀，是減少巷道支護(hù)和維護(hù)費(fèi)用的有效措施之一.圍巖破碎帶受很多因素影響，如圍巖是否進(jìn)入塑性狀態(tài)、發(fā)生流變現(xiàn)象和二次擾動(dòng)的影響等 .雖然文中方法是較理想狀態(tài)下的分析方法，但是將圍巖破碎帶近似視為應(yīng)力橢圓的形狀對(duì)巷道走向和斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值.

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［9］王連捷，潘立宇，廖椿庭.地應(yīng)力測(cè)量及其在工程中的應(yīng)用［M］.北京：地質(zhì)出版社，1991.

Loose Circle Calculation Method Based on Geo－Stress Ellipsoid and Ellipse

QI Yu－liang1，2，3，HU Zhi－zhong4，YU Zi－ping5，LU Jia4
（1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering，Ministry of Education，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Earthquake Engineering Laboratory of Kyushu University，F(xiàn)ukuoka 819－0395，Japan；3.Guangdong Zhuhai Engineering Investigation Institute，Zhuhai 519002，China；4.Zhejiang Construction Investment Group Co.Ltd.，Hangzhou 310012，China；5.Zhejiang Civil Engineering Group Co.Ltd.，Hangzhou 310012，China）

Based on the in－situ geo－stress data of Juji mine，and combined with the mine geological data and the geological conditions obtained in the geo－stress measuring process，the method of the stress ellipsoid and ellipse is used to study the relationship between in－situ rock stress and the roadway loose circle.The results indicate that：under the action of geo-stress，different roadway strike will affect the force condition of the surrounding rock；the non－uniformity of roadway force increases with the increment of stress ellipse eccentricity.To certain roadway strike，it is reasonable and feasible that the roadway cross－section shape and support parameters are optimized by regarding the geo－stress ellipse as the shape of rock fracture zone.

geo－stress；loose circle；geo－stress ellipsoid；geo－stress ellipse

黃曉楠 英文審校：方德平）

TD 311；TU 452

A

1000－5013（2012）02－0195－06

2011－09－03

戚玉亮（1981－），男，工程師，博士，主要從事巖土力學(xué)與地下結(jié)構(gòu)工程抗震的研究.E－mail：cupid.7＠163.com.

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2006AA11Z118）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（40872179）