摘 要： “用二分法求方程的近似解”是高中《數(shù)學(xué)》必修1中新增加的內(nèi)容。它充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，同時(shí)也體現(xiàn)了算法思想。本文對(duì)“二分法”作了深入探討，提出了“二分法”教學(xué)設(shè)計(jì)思路，豐富了高中數(shù)學(xué)新課程資源。
　　關(guān)鍵詞： 二分法 近似解 精確度
　　《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1》新增加了“二分法求方程的近似解”。通過用二分法求方程近似解，深化了學(xué)生對(duì)函數(shù)和方程思想的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)，也使學(xué)生逐步了解算法思想。因此，在學(xué)習(xí)“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“用二分法求解方程的近似解”是非常必要的。在“用二分法求方程近似解”的教學(xué)過程中，需要思考以下幾個(gè)方面：（1）為什么要學(xué)習(xí)二分法？（2）二分法的由來？（3）二分法的引入、近似解、精確度、二分法定義及步驟如何處理？
　　一、學(xué)習(xí)二分法的緣由
　　隨著知識(shí)系統(tǒng)的不斷更新和發(fā)展，求方程的近似實(shí)數(shù)解在實(shí)際應(yīng)用中越來越重要。根據(jù)實(shí)際問題列出的方程多種多樣，許多方程就沒有公共解法。其實(shí)，實(shí)際問題對(duì)解的需求并不是嚴(yán)格的精確，而是滿足一定的精確度就行，所以人們更關(guān)心的是求方程近似解的方法，計(jì)算機(jī)的廣泛使用使得近似計(jì)算更加重要。二分法是簡(jiǎn)單有效的近似計(jì)算方法。
　　用二分法求方程近似解的過程中蘊(yùn)含著“算法思想”。算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)。新教材有目的、有意識(shí)地將算法思想滲透在高中數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容中，不斷加深對(duì)算法思想的理解，體會(huì)算法思想在解決問題和培養(yǎng)理性思維中的意義和作用。二分法正是這一思想的體現(xiàn)。
　　二、二分法的由來
　　二分法是在證明函數(shù)的零點(diǎn)存在定理中產(chǎn)生的，所以我們有必要向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹一下這個(gè)定理的證明思路。雖然證明是學(xué)生不能掌握的，但是證明思路學(xué)生是能夠理解的，就是一個(gè)“逐步逼近”的思想。這個(gè)證明教師是應(yīng)該掌握的，所以教師應(yīng)合理安排教學(xué)過程，給出這個(gè)定理的證明過程供學(xué)生參考。因?yàn)檫@個(gè)證明的思路是用二分法構(gòu)造閉區(qū)間套，將函數(shù)的零點(diǎn)給“套”出來，所以這種求函數(shù)零點(diǎn)亦即求方程的實(shí)根的方法叫做“二分法”。我們?cè)O(shè)想讓二分法無限地進(jìn)行下去，就能得到函數(shù)零點(diǎn)或方程實(shí)根的精確值。但實(shí)際是不可能無限進(jìn)行下去的，所以我們只能在誤差要求的范圍內(nèi)完成。
　　三、教學(xué)過程中的幾個(gè)問題處理
　　1.二分法的引入
　　高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。所以，從實(shí)例引入能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引起學(xué)生的求知欲。運(yùn)用實(shí)例是為引入二分法的原理做準(zhǔn)備，也說明二分法原理源于生活，并作用于生活?？杉ぐl(fā)學(xué)生原有知識(shí)，促進(jìn)新舊知識(shí)相互作用，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。進(jìn)而，體現(xiàn)新課程下的基本理念思想。
　　2.近似解的處理
　　在學(xué)習(xí)這節(jié)課的內(nèi)容時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是方程的近似解，在此基礎(chǔ)上才能促使學(xué)生更容易地理解和掌握用二分法解方程近似解。下面就一個(gè)具體的問題“求方程x-2x-1=0的一個(gè)近似解（精確到0.1）”，對(duì)什么是方程的近似解做討論。上述方程的近似解有兩種不同的理解：
　?。?）如果x是方程x-2x-1=0的一個(gè)解，那么當(dāng)|x-x|<0.1時(shí)，x就是方程的近似解；
　?。?）方程x-2x-1=0的近似解就是x精確到小數(shù)點(diǎn)后1位的近似值。
　　教材在介紹二分法的時(shí)候按第一種方式理解方程近似解，在做例題的時(shí)候則是按第二種方式理解方程的近似解。從理論上講，按第一種方式理解，方程的近似解有無窮多個(gè)；而按第二種方式理解，方程的近似解是唯一的。從實(shí)際求解的角度，按第一種方式理解，只要當(dāng)包含x-2x-1=0解x的區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度b-a<0.1時(shí)，[a，b]中的每個(gè)數(shù)x都滿足|x-x|<0.1，因此，都可以看做方程x-2x-1=0的近似解。按第二種方式理解，就有一些困難，因?yàn)槲覀儾恢婪匠探鈞的確切位置，也就不能根據(jù)x來確定它精確到小數(shù)點(diǎn)后1位的近似值。
　　3.精確度的處理
　　教科書直接給出了近似解的概念，通過求方程2x+3x-3=0的一個(gè)實(shí)數(shù)解，精度為0.01為例，并沒有對(duì)精確度作對(duì)比認(rèn)識(shí)，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，總會(huì)有意想不到的問題出現(xiàn)。在教學(xué)過程中，精確度的說明是一個(gè)無法避免的問題，而且需要和初中學(xué)習(xí)的“精確到”有所區(qū)別。這也就是教材安排和教學(xué)設(shè)計(jì)的不同之處。
　　精確度：近似數(shù)的誤差不超過某個(gè)數(shù)，就說它的精確度是多少，即設(shè)x為準(zhǔn)確值，x是精確度為ξ的x的一個(gè)近似值。精確度簡(jiǎn)稱精度。用二分法求方程的近似解時(shí)，只要根的存在區(qū)間（a，b）滿足|a-b|<ε，兩端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任意一數(shù)均可作為方程的近似解。
　　精確到：按四舍五入的原則得到準(zhǔn)確值x的前幾位近似值x，x的最后一位有效數(shù)字在某一數(shù)位，就說精確到某一數(shù)位。如：π=3.1415926…，若取3位有效數(shù)字，則x=3.14，精確到0.01（即百分位）；若取5位有效數(shù)字，則x=3.1416，精確到0.0001（即萬分位）。特別地，若已知x精確到@的近似值是x，則可知x的范圍是[x-ξ，x+ξ]。用二分法求方程精確到@的近似解，根的存在區(qū)間兩端點(diǎn)精確到ξ的近似值必須相同，若不相同，仍需繼續(xù)二分下去，直到符合要求為止。
　　4.二分法定義及步驟的處理
　　用二分法求方程近似解的思想脈絡(luò)就是將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后利用函數(shù)性質(zhì)解決問題。在二分法的定義及其解法的教學(xué)中，應(yīng)該以具體問題為載體，讓學(xué)生逐漸意識(shí)到和初步會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決一些問題。通過在實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生獲得解決問題的思路，在此過程中，總結(jié)出二分法的定義和求解步驟。
　　二分法（bisection）是指對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f（a）·f（b）<0的函數(shù)y=f（x），通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。
　　四、教學(xué)建議
　　利用多媒體輔助教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)問題情境，實(shí)例引入二分法，通過例題，師生互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究二分法的原理與步驟。
　　教學(xué)過程中應(yīng)注意：①由淺入深、循序漸進(jìn)地建立函數(shù)與方程的關(guān)系。在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖像和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的解。②讓學(xué)生在求解方程近似解的實(shí)例中感知二分法思想，認(rèn)識(shí)二分法的價(jià)值所在。③用流程圖表述利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過程。④利用科學(xué)計(jì)算器求解。掌握二分法只是掌握了求解的算法，具體計(jì)算往往需要用計(jì)算工具，但是盡管使用了科學(xué)計(jì)算器，求一個(gè)方程的解也是很費(fèi)時(shí)的，學(xué)生容易急躁和出錯(cuò)，因此要引導(dǎo)學(xué)生踏實(shí)學(xué)習(xí)，認(rèn)真做