【摘 要】類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜測(cè)另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。在各種邏輯推理方法中，類比思想方法是富于創(chuàng)造的一種方法。本文以數(shù)學(xué)教學(xué)為例，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談如何運(yùn)用類比思想方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；類比思想；運(yùn)用感悟

數(shù)學(xué)問題浩如煙海，面對(duì)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題如何求解？有些學(xué)生做了大量的題目，但考試遇到新題型或只是稍微變化一下，就不知所措了，原因是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，缺乏掌握數(shù)學(xué)思考方法。康德曾說過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)”。解決問題的根本思想在于尋求客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的樣式，從已解決的問題中概括出思維模式，再用模式去處理類似的問題，進(jìn)而形成新模式，構(gòu)成相似系列，即各種概念、命題與方法的相似鏈。

因此，在數(shù)學(xué)中類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理、公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段。根據(jù)初中生抽象邏輯思維能力發(fā)展的特點(diǎn)和初中數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)，教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用類比方法，不僅能突出問題的本質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力等思維品質(zhì)，提高認(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力。

一、概念教學(xué)中類比思想的運(yùn)用

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過程、同化過程，就決定了對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。波利亞也說過：“當(dāng)你不能解決一個(gè)問題時(shí)，不妨回到定義去”。而各種各樣的問題也往往是在數(shù)學(xué)概念之上“開枝散葉”的。

在初中代數(shù)中“一元一次方程”和“一元一次不等式”、“一元一次方程”和“一元二次方程”、一元一次不等式”和“一元二次不等式”、“一元二次方程”和“一元二次不等式”、“二次三項(xiàng)式”和“一元二次方程”還有“二次函數(shù)”等概念都可以通過類比思想去展開教學(xué)。

通過對(duì)前后概念類比教學(xué)，抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過與熟悉的概念類比，可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。

二、性質(zhì)、定理、公式等方面類比思想的運(yùn)用

歐拉曾說過：“類比就是大膽創(chuàng)造，不過，你應(yīng)該首先找到雙方的相似屬性”。數(shù)學(xué)教育家波利亞也說：“類比就是一種相似?！卑褍蓚€(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們相似的地方，從而推出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的其它一些屬性也有類似的地方，這在性質(zhì)、定理、公式的教學(xué)中也是最常用的方法。

例如“等式的基本性質(zhì)”和“方程的基本性質(zhì)”、“等式的基本性質(zhì)”和“不等式的基本性質(zhì)”、“分式的基本性質(zhì)”和“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”、三角形全等的判定定理”和“三角形相似的判定定理”、“線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理”和“角平分線的性質(zhì)和判定定理”、“圓的相交弦定理”和“圓的切割線定理及推論”、“扇形的面積=圓面積×n/360”、“扇形的弧長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)×n/360”等都有很多相同或相似之處，在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過類比將這些知識(shí)緊密地聯(lián)系起來，既便以記憶又能正確記憶，為這些性質(zhì)、定理、公式地準(zhǔn)確運(yùn)用奠定基礎(chǔ)。

在多年的教學(xué)實(shí)踐中，我從不讓學(xué)生去抄寫或默寫有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、公式等，學(xué)生也比較樂于用類比方法去理解、記憶有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、公式等，提高了他們學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，教學(xué)效果較好。

三、尋求解題思路中類比思想的運(yùn)用

“在求解（求證）一個(gè)問題時(shí)，如果能成功的發(fā)現(xiàn)一個(gè)比較簡(jiǎn)單的類比題，那么這個(gè)類比問題可以引導(dǎo)我們到達(dá)原問題的解答”。這是數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》一書中的話，以下談?wù)勵(lì)惐人枷朐趯で蠼忸}思路中的運(yùn)用。

1.題目背景的類比

放在不同的背景中去研究同一類問題，這在初中數(shù)學(xué)中是常見的。也就是“換湯不換藥”，時(shí)髦說就是“重新包裝”。

例1 如圖1在鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求點(diǎn)E應(yīng)建在距離A多遠(yuǎn)處？

例2 如圖2有兩根直桿隔河相對(duì)，一桿高30m，另一桿高20m，兩桿相距50m，現(xiàn)兩桿上各有一只魚鷹，它們同時(shí)看到兩桿之間的河面上浮起一條小魚，于是以同樣的速度同時(shí)飛下來奪魚，結(jié)果兩只魚鷹同時(shí)到達(dá)，叼住小魚，兩桿底部到魚的距離BE、EC各是多少？

分析：這兩個(gè)題目都是勾股定理的應(yīng)用，如圖所示的設(shè)x，在兩個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理，再利用兩條斜邊相等，列出方程，求出x，進(jìn)而解決問題。例1是華師版八年級(jí)《導(dǎo)學(xué)練》上冊(cè)87頁(yè)例3，例2是八年級(jí)期中考試的一個(gè)考題。

例1解：設(shè)AE=x km，則BE=(25－x) km

在Rt△ADE中，DE2 = AD2 + AE2 = 102+x2

在Rt△BEC中，EC2 = BC2 + BE2 = 152 +(25－x)2

∵DE=EC ∴102 + x2 = 152 + (25－x)2

解之得：x=15

答：E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處。

例2的過程和例1是如出一轍的。由于平時(shí)類比思想在教學(xué)中滲透，學(xué)生在考試中的得分率較高。

2.計(jì)算方法的類比

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，還有很多計(jì)算方法可用類比，如因式分解與因數(shù)的分解相似；分式的加、減、乘、除與分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除類似；合并同類二次根式與合并同類項(xiàng)雷同；單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式教學(xué)中，可以類比以前所學(xué)的乘法公式m(a+b)=ma+mb。

例：(－2a2)·(3ab2－5ab3)＝－2a2·3ab2＋(－2a2)·(－5ab3)＝－6a3b2＋l0a3b3

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

m ·( a + b ) = m·a + m · b

通過這樣新舊知識(shí)來進(jìn)行類比，既有利于理解、掌握新知識(shí)，還能使舊知識(shí)得到鞏固，同時(shí)拓寬視野。

3.數(shù)與形的類比

中學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的一種類比就是數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與圖像，數(shù)學(xué)中形數(shù)之間關(guān)系是彼此相依的，要啟發(fā)學(xué)生用“數(shù)”來鞏固與研究“形”，利用“形”鞏固研究“數(shù)”。講函數(shù)時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)學(xué)生記性質(zhì)、想圖形，畫圖形、想性質(zhì)；對(duì)于二次函數(shù)的零點(diǎn)（y=0）、正數(shù)值(y>0)、負(fù)數(shù)值(y<0)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集這一類的問題也要強(qiáng)調(diào)學(xué)生形數(shù)聯(lián)想，利用圖解。

例3 函數(shù)y=-的圖象上有兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0

A.y1y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不確定

分析：這類題可以先畫出y=-的草圖(如圖3)，然后在圖象上找出滿足0

把知識(shí)看作一個(gè)過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡(luò)，學(xué)生的數(shù)學(xué)才會(huì)發(fā)展起來，要學(xué)生“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，會(huì)“數(shù)學(xué)地”提出問題，思考問題、解決問題，而類比就是這樣一種重要的思想方法，類比的基礎(chǔ)是觀察，類比的關(guān)健是聯(lián)想，在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中要充分地挖掘和利用好類比思想方法，不斷地減少學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，提高教學(xué)的質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]周海芳.例談?lì)惐人枷朐跀?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)[J].2001（4）

[3]蘇立志.2005.淺談概念教學(xué)的若干環(huán)節(jié).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版

（作者單位：江蘇省常熟市何市中學(xué)）