李際平，郭文清，曹小玉

（中南林業(yè)科技大學(xué) 林學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

基于非線性度量誤差的馬尾松相容性立木生物量模型

李際平，郭文清，曹小玉

（中南林業(yè)科技大學(xué) 林學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

以南方馬尾松地上生物量數(shù)據(jù)為例，通過(guò)利用非線性度量誤差模型方法，研究建立了地上生物量與樹干、樹冠的相容性聯(lián)立方程組模型，并對(duì)模型的精度和適用性進(jìn)行了檢驗(yàn)。研究結(jié)果表明：方程最大平均絕對(duì)誤差和方程最大平均相對(duì)誤差均趨于無(wú)窮小，樹干生物量Y1和樹冠生物量Y2的確定系數(shù)分別為0.9502和0.8807，模型精度比較高，適用性較好。研究結(jié)果有助于為建立相容性立木生物量模型提供新方法。

馬尾松；生物量模型；非線性度量誤差；相容性

森林生物量是森林生態(tài)系統(tǒng)的最基本數(shù)量特征，生物量數(shù)據(jù)的研究是很多林業(yè)以及生態(tài)相關(guān)研究的基礎(chǔ)，林木的生物量包括干皮、干材、樹葉、樹枝以及樹根等分量。[1]我們都知道，要測(cè)定森林的生物量有很大的難度，而且要耗費(fèi)很大的時(shí)間和力量，因此對(duì)研究人員來(lái)講，能夠找到一種可行性大而且測(cè)定準(zhǔn)確的調(diào)查方法就顯得尤為重要。目前來(lái)講比較認(rèn)可的方法是對(duì)生物量建模然后進(jìn)行模型估計(jì)，它是通過(guò)推導(dǎo)的方法來(lái)測(cè)定生物量，簡(jiǎn)單來(lái)講就是通過(guò)林木能測(cè)定的因子來(lái)推導(dǎo)出不易測(cè)定的因子，這樣大大減少了外業(yè)工作量。[2]雖然建模時(shí)我們要測(cè)定關(guān)于樣木的大量生物量相關(guān)的數(shù)據(jù)，但是模型一旦建立，并且模型有了較高的精度。尤其是針對(duì)在較大范圍內(nèi)調(diào)查測(cè)定森林生物量，通過(guò)建立生物量模型可以大大減少調(diào)查工作量[3]。原則上來(lái)講各分量的生物量總和應(yīng)該等于林木的總生物量。為了滿足這一個(gè)基本的邏輯關(guān)系，在同時(shí)建立地上生物量和各分量生物量方程時(shí)，就必須要使各個(gè)方程之間能夠達(dá)到兼容[4]。所以，駱期邦等[5]經(jīng)過(guò)研究后得到了解決總量和分量之間相容性問(wèn)題的兩種方法，線性聯(lián)立模型和非線性聯(lián)合估計(jì)模型。

通常來(lái)說(shuō)，回歸模型都是假設(shè)因變量的觀測(cè)值帶有誤差，而自變量則沒(méi)有誤差。誤差來(lái)源估計(jì)有測(cè)量誤差、抽樣誤差等等，我們把這些誤差都稱為度量誤差。如果自變量和因變量的觀測(cè)值都含有度量誤差，那么這種方法就不能用于一般的回歸模型了，而采用度量誤差模型方法卻可以解決自變量和因變量的觀測(cè)值都含有度量誤差的模型[6-9]。李永慈等通過(guò)研究，編制了具有相容性的材積表和生長(zhǎng)過(guò)程表，而他們采用的就是度量誤差模型方法；[10]李永慈、唐守正[11]通過(guò)研究自變量、因變量均含有誤差的全林整體生長(zhǎng)模型，認(rèn)為用非線性兩立方程組的方法在很大程度上要優(yōu)于采用最小二乘法對(duì)全林整體生長(zhǎng)模型的研究，并且研究結(jié)果表明參數(shù)有很高的的精度對(duì)[12]。

馬尾松立木生物量模型中的自變量和因變量都含有度量誤差。所以，筆者運(yùn)用非線性度量誤差模型的方法，研究了我國(guó)南方的主要針葉樹種馬尾松Pinus massoniana，通過(guò)模擬并建立馬尾松人工林地上生物量與樹干、樹冠2 個(gè)分項(xiàng)生物量系統(tǒng)模型，且模型間具有相容性，最后檢驗(yàn)了模型的精度和適用性。

1 數(shù)據(jù)來(lái)源與處理

本研究的范圍僅限為馬尾松人工林立木的地上部分，研究的數(shù)據(jù)來(lái)源為我國(guó)南方8省區(qū)的63株樣木。每株樣木都要進(jìn)行伐前測(cè)量和伐木測(cè)量，伐前測(cè)量包括生境因子調(diào)查（采伐地點(diǎn)、地理位置（GPS）、地形地勢(shì)、土壤、地類、起源、植被類型等）、樣木胸徑、地徑和冠幅測(cè)量。伐木測(cè)量主要包括樹高/枝下高/冠長(zhǎng)測(cè)量、直徑測(cè)量（帶皮/去皮）以及樹皮厚度測(cè)量。各種樣木概況見(jiàn)表1。

表1 南方馬尾松人工林立木地上生物量實(shí)測(cè)樣木分配統(tǒng)計(jì)Tables 1 Distribution statistics of aboveground biomass measured sample trees in southern P.massoniana forests

伐木測(cè)量后要分別樹冠（樹枝/樹葉）、樹干稱其鮮重。對(duì)于小徑階樣木，可以一次性稱取整個(gè)樹干重量；對(duì)徑級(jí)較大、須分段稱重的樣木，一般在1/10、3.5/10、7/10樹高處鋸斷分別稱重后累計(jì)得到全樹干重量。樹冠部分則采用全稱重法。外業(yè)調(diào)查同時(shí)要抽取樹冠（樹枝/樹葉）、樹干樣品，將樣品帶回實(shí)驗(yàn)室，然后放在85℃恒溫下烘干至到衡質(zhì)量，通過(guò)測(cè)定樣品的含水率來(lái)計(jì)算樣木樹冠（樹枝/樹葉）、樹干干質(zhì)量。最后，樹枝和樹葉的干質(zhì)量相加得到樹冠的干質(zhì)量，樹干和樹冠干質(zhì)量相加得到全樹地上部分干質(zhì)量，即生物量總量。

2 研究方法

多元非線性度量誤差模型即非線性誤差變量聯(lián)立方程組的向量表達(dá)式形式為：

式中，其中q維無(wú)誤差變量的觀測(cè)值和p維誤差變量的觀測(cè)值分別是xi和 Yi，Yi的未知真實(shí)值是Yi，m維向量函數(shù)是f，方程中誤差的協(xié)方差矩陣可以為Φ=σ2Ψ，ei的誤差結(jié)構(gòu)矩陣是Ψ，估計(jì)誤差是σ2[6]。由于立木相對(duì)生長(zhǎng)模型描述生物體各“維量”之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系相當(dāng)準(zhǔn)確，因此采用下述模型描述變量的關(guān)系（即狀態(tài)方程）：

其中，x表示樹木直徑，Y1表示樹干生物量，Y2表示樹冠生物量，Y0表示地上部分生物量，y0=y1+y2。

由y0=y1+y2推出a1(x)，a2(x)的形式是

這樣，把方程改寫為

取得n組觀測(cè)值，xi和Yi=(Yi1，Yi2，Yi0)，i=1，…，n。直徑是可以選定的精確觀測(cè)的量，認(rèn)為它是無(wú)誤差變量（或說(shuō)外生變量）。觀測(cè)值Yi的誤差來(lái)自兩個(gè)方面：觀測(cè)誤差和隨機(jī)抽樣誤差，它是狀態(tài)變量的觀測(cè)值（內(nèi)生變量）。因此可以用非線性度量誤差模型來(lái)做參數(shù)估計(jì)。非線性度量誤差模型的參數(shù)不能有冗余，式（4）中存在多余參數(shù)，為此，將式（4）改寫成

令r1=c2/c1，r2=b2-b1，y0=y1+y2，得到相容性生物量模型的形式：

由于y0=y1+y2，所以得到非線性聯(lián)立方程組模型：

其中獨(dú)立參數(shù)為 c=(r1，r2，c0，b0)。

3 結(jié)果與分析

以我國(guó)南方8?。▍^(qū)）63株馬尾松樣木的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用 ForStat2.1 軟件對(duì)非線性誤差變量聯(lián)立方程組模型進(jìn)行擬合，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1 模型建立與精度分析

本文運(yùn)用統(tǒng)計(jì)和生物學(xué)模型即ForStat2.1軟件計(jì)算模型及參數(shù)，首先在數(shù)據(jù)窗口里建立數(shù)據(jù)文件，如圖1所示。

圖1 馬尾松立木生物量建模數(shù)據(jù)Fig.1 Modeling data of biomass models for single-tree biomass of P. massoniana

運(yùn)行程序，單擊統(tǒng)計(jì)分析，然后單擊其中的非線性誤差變量聯(lián)立方程組，結(jié)果彈出模型方程組以及模型參數(shù)的輸入窗口（如圖2所示）。

圖2 馬尾松立木生物量的非線性聯(lián)立方程組模型對(duì)話框Fig.2 Dialog box of nonlinear simultaneous equationsmodel for single-tree biomass of P. massoniana

在方程組輸入框中分別輸入有度量誤差以及沒(méi)有度量誤差的變量名稱，輸入模型方程式組，設(shè)定參數(shù)初始值（c0=1，b0=1，r1=1，r2=1），選擇模型參數(shù)估計(jì)方法（牛頓-唐法）、“誤差變量”估計(jì)方法（Lagrange）、方差結(jié)構(gòu)（TSEM），指定的允許誤差為0.000001，點(diǎn)擊確定即可得到模型參數(shù)：

“誤差變量”的協(xié)方差矩陣Φ為：

將建模用的參數(shù)和“誤差變量”的協(xié)方差矩陣Φ（8）代入模型（7），得到相容性立木生物量模型：

3.2 模型適用性檢驗(yàn)

通過(guò)對(duì)非線性誤差變量聯(lián)立方程組模型進(jìn)行擬合，可得出“誤差變量”的觀測(cè)值和估計(jì)值，如表2所示。

其中，方程最大平均絕對(duì)誤差值=0，方程最大平均相對(duì)誤差=0，2*似然函數(shù)值+n*p*log(2*π)=(-n*log(|Φ|)-tr[(Y-Ye)*inv(Φ)*(Y-Ye)'])=-944.263 690 298 471。

Y1的殘差平方和=100 096.5548，確定系數(shù)=0.950 2；Y2的殘差平方和=19 401.003 9，確定系數(shù)=0.880 7。

表2 “誤差變量”的觀測(cè)值和估計(jì)值對(duì)比Tables 2 Contrast between measured values and the estimated values of error variables

方程最大平均絕對(duì)誤差值和方程最大平均相對(duì)誤差越小，在一定程度上表示模型的建模精度越高；Y1和Y2的確定系數(shù)越大，也在一定程度上表示模型的建模精度越高。由計(jì)算結(jié)果可知，模型的預(yù)測(cè)效果較好。

由表2和圖3分析可知：非線性度量誤差模型的估計(jì)期望值和實(shí)測(cè)值均勻的分布在對(duì)角線附近，圖表說(shuō)明非線性誤差變量聯(lián)立方程組模型的模型實(shí)用性檢驗(yàn)效果較好。

圖3 非線性度量誤差模型實(shí)測(cè)值—估計(jì)期望值對(duì)比Fig.3 Comparison of nonlinear measurement error model between observed values and estimated values

4 結(jié)論與討論

（1）本文通過(guò)研究對(duì)馬尾松人工林立木地上生物量，建立了基于非線性誤差變量聯(lián)立方程組方法的馬尾松生物量模型系統(tǒng)，建模精度比較高，方程最大平均絕對(duì)誤差為0，方程最大平均相對(duì)誤差為0，方程最大平均絕對(duì)誤差和方程最大平均相對(duì)誤差是每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的估計(jì)值Y1$和Y2$代入方程后的平均最大誤差（等號(hào)左端和右端的差值）結(jié)果，均為0，都小于指定的允許誤差0.000001，說(shuō)明Y1$，Y2$估計(jì)值可用。

（2）計(jì)算選用的方差結(jié)構(gòu)是“二步估計(jì)”，認(rèn)為2個(gè)方程間的誤差相關(guān)，根據(jù)輸出的2個(gè)方程的殘差平方和和確定系數(shù)可以判斷回歸的效果，Y1的確定系數(shù)為0.950 2，Y2的確定系數(shù)為0.880 7，說(shuō)明回歸效果較佳。

（3）由于非線性度量誤差模型的估計(jì)期望值和實(shí)測(cè)值均勻的分布在對(duì)角線附近，這表明非線性度量誤差模型的實(shí)用性檢驗(yàn)效果較好。

針對(duì)馬尾松人工林觀測(cè)值存在度聯(lián)合誤差的情形，采用度量誤差模型的方法客觀的模擬分析了南方馬尾松人工林立木地上生物量模型，不僅解決了在一般的非線性模型中因變量本身含有度量誤而且在實(shí)際情況中馬尾松人工林觀測(cè)數(shù)據(jù)也存在度量誤差的矛盾。而且為建立相容性立木生物量模型提供了可行的方法。

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Compatibility single-tree biomass model for Pinus massoniana stands based on nonlinear measurement error

LI Ji-ping, GUO Wen-qing, CAO Xiao-yu
(School of Forestry, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, Hunan, China)

By taking the data of Pinus massoniana stands in south China as the examples, using the nonlinear measurement error model, the simultaneous equation models that the aboveground biomass tree trunks, crowns variables are compatible were set up, and the accuracy and applicability of models were verified. The results show that the model precision was high and the accuracy was well and the maximum absolute error and relative error were close to zero, the determination coefficient of stem wood biomass Y1and tree crown biomass Y2were 0.9502 and 0.8807 respectively. The results would be help to provide a new method for establishing the model of compatibility single-tree biomass stands.

Pinus massoniana; biomass model; nonlinear measurement error; compatibility

S791.748；S711

A

1673-923X(2013)06-0022-04

2013-01-07

“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃專題（團(tuán)隊(duì)）（2012BAD22B05-05），中南林業(yè)科技大學(xué)青年基金項(xiàng)目（101—0677）

李際平（1957-），男，湖南醴陵人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事林業(yè)系統(tǒng)工程教學(xué)與科研工作

[本文編校：吳 彬]