涂金基，謝利紅

（1.江門職業(yè)技術學院 數學教研室，廣東 江門 529000；2.五邑大學 數學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

1 引言與記號

拓撲代數是目前國際上研究的熱點方向之一，拓撲群、仿拓撲群以及半拓撲群等是其中的主要研究對象.

定義1[1]12設(G，×)是一個抽象的群，τ是G上的一個拓撲，

1）如果群G上的乘法運算×:G×G→G關于拓撲τ是左連續(xù)的，則稱(G，τ)為左拓撲群；

2）如果群G上的乘法運算×:G×G→G關于拓撲τ是右連續(xù)的，則稱(G，τ)為右拓撲群；

3）如果群G上的乘法運算×:G×G→G關于拓撲τ是聯合連續(xù)的，則稱(G，τ)為仿拓撲；

4）設(G，τ)是一個仿拓撲群，如果G中的求逆運算也是連續(xù)的，則稱(G，τ)是一個拓撲群.

本文簡記(G，τ)為G.顯然每一個拓撲群都是一個仿拓撲群；每一個仿拓撲群都是一個左拓撲群和右拓撲群.

作為度量的推廣，Kramosil等[4]引入了模糊度量.研究表明，模糊度量在研究模糊結構方面是個強有力的工具[3，5-7]；一些拓撲學家應用模糊度量研究拓撲群[8-10]時發(fā)現：某些特殊的模糊（擬）度量將使一些拓撲代數結構變成更強的拓撲結構.例如：

定理1[10]81設G是一個抽象群以及(M，*)是G上的一個左不變的模糊擬偽度量，如果(G，M，*)是一個模糊擬偽度量右拓撲群，那么(G，M，*)是一個模糊仿拓撲群.

本文主要研究抽象群上由一些特殊的模糊（擬）偽度量誘導的拓撲.下面介紹本文用到的定義和符號.

定義2設X是一非空集合，d:X×X→[0，+∞)是一個函數：

1）若d滿足：i）對任意的x∈X有d(x，x)=0和ii）對任意的x，y，z∈X有d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)，則稱d是X上的一個擬偽度量；

2）如果d是X上的一個擬偽度量且滿足：iii）對任意的x，y∈X有d(x，y)=0當且僅當x=y，則稱d是X上的一個擬度量；

3）如果d是X上的一個擬偽度量且滿足：iv）對任意的x，y∈X有d(x，y)=d(y，x)，則稱d是X上的一個偽度量；

4）如果d是X上的一個偽度量且滿足上面的條件iii），則稱d是X上的一個度量.

設X是一非空集合，d是X上的一個擬偽度量，記其中對任意的x∈X，ε＞0有：那么可知，τd是X上的一個拓撲，而且βd是τd的拓撲基.

定義3[11]318如果二元運算*:[0，1]×[0，1]→[0，1]滿足如下條件，則稱*是一個連續(xù)的t-模：

1）*滿足結合律和交換律；2）*是連續(xù)的；3）對任意的a∈[0，1]有a*1=a；4）對任意的a，b，c，d∈[0，1]，如果有a≤c，b≤d，則有a*b≤c*d.

已知對于任意的連續(xù)t-模*有：*≤?，其中?是如下定義的連續(xù)t-模：

定義4[2]30設X是一集合，*一個連續(xù)t-模以及M是X×X×[0，+∞)上的一個模糊集，如果對于任意的x，y，z∈X和t，s＞0有（M，*）滿足：1）M（x，y，0）=0；2）M（x，x，t）=1；3）M（x，z，t+s）≥M（x，y，t）*M（y，z，s）；4）M（x，y，_）:[0，+∞)→[0，1]是左連續(xù)的，則稱（M，*）是X上的一個模糊擬偽度量；如果（M，*）還滿足：5）M（x，y，t）=M（y，x，t）對任意的x，y∈X和t＞0，則稱（M，*）是X上的一個模糊偽度量.

定義5[10]80設（M，*）是群G上的一個模糊偽度量，對任意的a，x，y∈G和t＞0，如果：

1）（M，*）滿足M(x，y，t)=M(ax，ay，t)，則稱（M，*）是左不變的；

2）（M，*）滿足M(x，y，t)=M(xa，ya，t)，則稱（M，*）是右不變的；

3）如果（M，*）既是左不變的，又是右不變的，則稱（M，*）是不變的.

2 主要結果

定義6[2]31設X是一集合，（M，*）是X上的一個模糊（擬）偽度量，那么稱(X，M，*)為一個模糊（擬）偽度量空間.

設(X，M，*)是一個模糊（擬）偽度量空間，記其中對任意的有：

引理1[8]110設(X，M，*)是一個模糊擬偽度量空間，那么τM是X上的一個拓撲，而且βM構成τM的一個拓撲基.

定理2設G是一個抽象群，(M，*)是G上的一個模糊擬偽度量，則：

1）如果(M，*)是左不變的，那么(G，τM)是一個左拓撲群；

2）如果(M，*)是右不變的，那么(G，τM)是一個右拓撲群；

3）如果(M，*)是不變的，那么(G，τM)是一個仿拓撲群.

證明設e是群G的單位元，記Be=｛M（e，ε，t）:ε∈（0，1），t＞0｝.

1）根據引理1可知τM是G上的一個拓撲，下面證明群的乘法運算關于τM是左連續(xù)的.任取x，y∈G和包含xy的一個開集U，根據引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）?U.又因為M是左不變的，因此有xBM（y，ε，t）=BM（xy，ε，t）?U，顯然BM（y，ε，t）是y的開鄰域，因此證明了群G的乘法運算關于τM是左連續(xù)的，從而(G，τM)是一個左拓撲群.類似可證2）.

3）根據引理1可知τM是G上的一個拓撲，下面證明群的乘法運算關于τM是聯合連續(xù)的.任取x，y∈G和包含xy的一個開集U，根據引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）?U.因為t-模*是連續(xù)的，所以對于上面的ε可以找到ε0∈（0，1）滿足（1-ε0）*（1-ε0）＞1-ε.

從而xy∈BM（e，ε，t），這就證明了顯然是x的鄰域、是y的鄰域，下面只需證明即可.

注意到（M，*）既是左不變的又是右不變的，因此很容易驗證：對任意的成立，所以有：得證.

（X，d）是一個（擬）偽度量空間，定義X×X×[0，+∞)上的模糊集那么（Md，?）就是X上的一個模糊（擬）偽度量，從而對于任意的t-模*有（Md，*）是X上的一個模糊（擬）偽度量.已知在X上由（Md，*）誘導的拓撲τM和由d誘導的拓撲τd是一樣的，所以根據定理2很容易得到以下結論：

推論1設G是一個抽象群，d是G上的一個擬偽度量，則：

1）如果d是左不變的，那么(G，τd)是一個左拓撲群；

2）如果d是右不變的，那么(G，τd)是一個右拓撲群；

3）如果d是不變的，那么(G，τd)是一個仿拓撲群.

定理3設G是一個抽象群，(M，*)是G上的一個模糊偽度量，如果(M，*)是不變的，那么(G，τM)是一個拓撲群.

證明因為每一個模糊偽度量都是一個模糊擬偽度量，因此根據定理2的3）可知(G，τM)是一個仿拓撲群.下面只需證明G中的求逆運算是連續(xù)的.

任取x∈G以及包含x-1的開鄰域U.根據引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有x-1∈BM（x-1，ε，t）?U.下面只需證明BM（x，ε，t）-1?U即可.任取z∈BM（x，ε，t），由于(M，*)是不變的模糊偽度量，從而有：

這就證明了BM（x，ε，t）-1?U，所以(G，τM)是一個拓撲群.

由定理3可以直接得到以下結論：

推論2設G是一個抽象群，d是G上的一個偽度量，如果d是不變的，那么(G，τd)是一個拓撲群.