林俊宇，鄒晨，徐曉杰

（華南理工大學 數(shù)學學院，廣東 廣州 510640）

液晶是區(qū)別于氣體、液體和固體之外的第四種特殊物質(zhì)，其中向列型液晶是最常見的類型.本文將研究下面不可壓向列型液晶流的柯西問題：

和初值條件

文獻[1]在Koch-Tataru[2]框架下，得到了小初始值問題的溫和解的存在性.文獻[3]研究了文獻[1]的溫和解的正則性(也可見文獻[4]).林和丁在Lebesgue空間的框架下，得到了小初值問題的解的存在性[5].在Lorentz空間的框架下，文獻[6]得到小初值的整體溫和解的存在性.文獻[7]研究了溫和解的唯一性.對于Besov空間中的溫和解，可參見文獻[8-10].對于弱解以及強解的研究，參見文獻[11-15].對于不可壓液晶流的其他研究成果，參見文獻[16].

本文將研究在弱-Ln空間（記為L(n，∞)(?n)）中溫和解的漸進穩(wěn)定性.首先回顧Lorentz空間的有關記號和性質(zhì).

設f為可測函數(shù)，p，q為正實數(shù).定義

引理1[18-19]（廣義Young不等式）記T為卷積算子以及h=T(f，g)為f與g的卷積.

引理2[18]（廣義H?lder不等式）設滿足如果和g∈那么其中s≥1是滿足的任意常數(shù).并且有估計其中

下面給出一些函數(shù)空間記號.

給定常數(shù)q＞n，記是滿足下面條件的所有實值函數(shù)的集合：

記?為L2(?n)上到的正交投影算子.Stokes算子-?Δ和Laplace算子-Δ在Lorentz空間中分別生成一致有界解析半群

方程組（1～4）可重寫為下面的積分形式

其中（記*為函數(shù)的卷積運算）

引理3[6]99設f，g∈X，那么，對q＞n有

并且有估計

引理4[6]99設q＞n.假設那么

特別地，當h≡1，有

引理5[21]對于t＞0，設是兩個正函數(shù).如果存在正函數(shù)1(0，1)f∈L滿足并且

那么存在另外一個正函數(shù)1(0，1)g∈L使得

下面是由文獻[6]得到的存在性結果.

定理1[6]101設滿足??u0=0和d0∈S2，?d0∈L(n，∞)(?n).那么存在常數(shù)ε0＞0使得當時，方程組（1～4）有整體溫和解(u，d)滿足

且對q＞n，

本文的主要結果是

定理2給定q＞n.設u0，v0∈L(n，∞)(?n)滿足??u0=??v0=0以及d0，h0∈S2滿足?d0，?h0∈L(n，∞)(?n).設由定理1得到的（1～4）對應初始值的解分別為(u，d)和(v，h).假設

那么

若進一步假設

那么

證明我們只需證明在式（9）和（11）的條件下式（12）是成立的，因為式（10）可以用類似的方法證明.先估計

事實上，對于t＞0，

由引理3可得

以及

類似地，可得

因此

其中C(n，q)是正常數(shù)，僅依賴于

事實上，對t＞0，

類似引理4的證明，可得對t＞0，

結合式（13～14），可得

記A(t)=A1(t)+A2(t)，其中

以及

利用變量替換τ=st，其中s∈[0，1]，由式（15）可得

定理2證畢.