黃娟霞，張 靜，王 飛

(隴南師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系，甘肅 成縣 742500)

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，其中的相關(guān)概念、判定定理繁多，且比較抽象，往往難以理解和把握，尤其對于初學(xué)者來說，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容往往抓不住要領(lǐng)．然而，如果教師能夠在教學(xué)時深入挖掘其幾何意義，緊密使用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化；能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言變?yōu)橹庇^可視化的幾何圖形、抽象思維變?yōu)樾蜗笏季S，這將有助于學(xué)生對高等代數(shù)問題本質(zhì)的把握．因此，在高等代數(shù)的教學(xué)過程中，一定要注重對相關(guān)知識的幾何意義深入挖掘，借助于幾何的直觀性，探索其幾何意義，從而達到對代數(shù)問題本質(zhì)的理解，這樣可以達到事半功倍，化難為易的目的.

1 向量組線性相關(guān)概念幾何意義的教學(xué)探索

向量組的線性相關(guān)概念是高等代數(shù)的一個重要概念，是高等代數(shù)課程后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)，但是它比較抽象，初學(xué)的學(xué)生如果掌握不好，很難學(xué)懂后續(xù)高等代數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，進而會大大削減學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心和興趣．如何讓學(xué)生直觀、清晰地了解向量組線性相關(guān)概念蘊含的真正內(nèi)涵呢？教學(xué)時教師可以從幾何意義出發(fā)，善于利用矢量圖形，在矢量圖形中將要表達的代數(shù)意義刻劃出來，這樣學(xué)生可以直觀地理解單個向量、兩個向量，乃至多個向量線性相關(guān)的內(nèi)涵，一般容易掌握．

定義1 如果向量組α1，α2，…，αs(s>2)中有一個向量可以用其他的向量線性表出，那么向量組α1，α2，…，αs稱為線性相關(guān)的．由向量組線性相關(guān)的定義可以得到其幾何意義：

結(jié)論1 對于單個向量α來說，如果α線性相關(guān)，則α=0.

結(jié)論2 對于兩個向量α，β來說，如果α，β線性相關(guān)，則α，β共線，即一個向量可以由另一個向量線性表出，不妨設(shè)β=kα(如圖1)．

結(jié)論3 對于三個向量α，β，γ來說，如果α，β，γ線性相關(guān)，則α，β，γ共面，即至少有一個向量可以由另外兩個向量線性表出，不妨設(shè)γ=k1α+k2β(如圖2).

圖1 兩向量共線 圖2 三向量共面

結(jié)論4 對于一組n維向量α1，α2，…，αn來說，如果α1，α2，…，αn線性相關(guān)，則α1，α2，…，αn這n個向量同在某一個n-1維的“超平面”上，即至少有一個向量可以由其余n-1個向量線性表出．

2 歐氏空間中正交變換幾何意義的教學(xué)探索

正交變換是歐氏空間中兩種重要變換(正交變換和線性變換)中的一種，深入地理解它可以解決許多實際問題．在教學(xué)中廣大教師往往都是將其與線性變換類比講解，雖然理論上比較清晰，但可視化不強，因此，有必要從其幾何意義入手進行分析，這樣學(xué)生更容易理解和接受．

定義2 歐氏空間V的線性變換A稱為正交變換，如果它保持任意兩個向量的內(nèi)積不變，即對任意α，β∈V，有(Aα，Aβ)=(α，β).

由正交變換的定義，對任意α∈V，有(Aα，Aα)=(α，α)，即|Aα|=|α|，亦即正交變換不改變向量的長度.設(shè)正交變換A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣A，在幾何上，當(dāng)|A|=1時，正交變換表示把向量α旋轉(zhuǎn)某一角度θ；當(dāng)|A|=-1時，正交變換表示把α關(guān)于坐標(biāo)軸做鏡面反射再旋轉(zhuǎn)某一角度θ(如圖3).

圖3 正交變換

3 線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的通解之間關(guān)系幾何意義的教學(xué)探索

一般線性方程組通解的求法是高等代數(shù)教學(xué)中的一個重要知識內(nèi)容，它的通解應(yīng)該為它的導(dǎo)出組的通解與其本身的一個特解組成，然而現(xiàn)行教材中僅是從該問題的代數(shù)理論層面進行講解，相對抽象，學(xué)生不易接受，如果能將此問題結(jié)合其幾何意義進行深入分析，則會起到事半功倍的效果.

在幾何上，取空間坐標(biāo)系[Ο，x，y，z]，如圖4所示．

圖4 三元線性方程組的通解

4 Cramer法則幾何意義的教學(xué)探索

在高等代數(shù)中，利用加減消元法得到2×2、3×3線性方程組的公式解，通過引入二階、三階行列式對這些公式解進行簡潔地表示，從而得到2×2、3×3線性方程組的Cramer法則.但當(dāng)未知量的元數(shù)繼續(xù)增多時，難以再用加減消元法求解線性方程組，轉(zhuǎn)而研究二階、三階行列式的結(jié)構(gòu)，找出它們共同的規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律來定義n階行列式，然后用它來表示n×n線性方程組的解，即n×n線性方程組的Cramer法則.下面應(yīng)用分塊矩陣和向量代數(shù)的數(shù)量積直接推導(dǎo)出3×3線性方程組的Cramer法則，并用平行六面體的體積解釋了3×3線性方程組的Cramer法則，進而將這一幾何解釋推廣到n×n線性方程組的Cramer法則．

圖5 3x3線性方程組的Cramer法則

這樣利用平行六面體的體積解釋了3×3線性方程組的Cramer法則.類似地，可以用維的“平行六面體”的“體積”來解釋n×n線性方程組的Cramer法則.

5 結(jié)束語

對向量組線性相關(guān)概念、歐氏空間的正交變換、一般線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的通解的關(guān)系以及Cramer法則等相關(guān)知識進行幾何意義的探討，不僅可以使學(xué)生很好的學(xué)習(xí)到高等代數(shù)知識，有效培養(yǎng)學(xué)生的思維，同時也可以使學(xué)生掌握這樣一種學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的通用方法，對他們以后的學(xué)習(xí)受益匪淺，對于高等代數(shù)這門比較艱澀的抽象理論課程，其教學(xué)方法是值得我們數(shù)學(xué)工作者進一步研究的一個很好課題．

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