王學(xué)文 何樂康 曹小芳 婁青青 曹晶

(湖南科技大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖南 湘潭 411201)

在多年教學(xué)經(jīng)歷中，筆者深深地體會到很多學(xué)生物理學(xué)習(xí)得很努力，但物理成績始終難以提高，原因是受到了他們的數(shù)學(xué)水平的制約．很多物理問題的解決都是用數(shù)學(xué)方法，是他們的數(shù)學(xué)水平嚴(yán)重影響了他們的物理水平；還有的學(xué)生數(shù)學(xué)水平還可以，但是由于不能靈活地把數(shù)學(xué)知識學(xué)以致用地用到物理問題中來，所以解決物理問題的水平也不高；而那些善于運用數(shù)學(xué)手段分析解決物理問題的學(xué)生卻學(xué)得輕松自如．能把物理問題駕馭得很好的原因除了他們對物理知識的深刻理解外，更重要的是他們對物理與數(shù)學(xué)有清晰而正確的認(rèn)識．為此我們需要重新審視我們正在學(xué)習(xí)和運用的物理學(xué)與數(shù)學(xué)．

1 數(shù)學(xué)的基本特點

在學(xué)習(xí)、工作和生活的經(jīng)歷中我們已察覺到數(shù)學(xué)具有這樣的特點.

第一是數(shù)學(xué)的抽象性．其抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來．我們運用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來，我們在學(xué)校里學(xué)的是抽象的乘法表——總是數(shù)字的乘法表，而不是人數(shù)乘上梨的數(shù)目，或者是梨的數(shù)目乘上梨的價格等．同樣在幾何中研究的，例如是直線而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質(zhì)，只留下在一定方向上的伸長．總之，關(guān)于幾何圖形的概念是舍棄了現(xiàn)實對象的所有性質(zhì)，只留下其空間形式和大小的結(jié)論，全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征．?dāng)?shù)學(xué)在它抽象方面的特點還在于：

(1)在數(shù)學(xué)抽象中首先保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄其他一切．

(2)數(shù)學(xué)的抽象是經(jīng)過一系列階段而產(chǎn)生的．它們達到的抽象程度大大超過了自然科學(xué)中的一般抽象．

第二是數(shù)學(xué)的精確性或者更好地說是邏輯的嚴(yán)格性以及結(jié)論的正確性．?dāng)?shù)學(xué)推理的進行具有這樣的精密性，這種推理對于只要懂得它的每個人來說，都是無可爭辯和確定無疑的．?dāng)?shù)學(xué)證明的這種精密性和確定性，在中學(xué)的課本中就已懂得了．?dāng)?shù)學(xué)真理本身也是完全不容爭辯的．

第三是數(shù)學(xué)應(yīng)用的極端廣泛性．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用非常廣泛也是它的特點之一．

(1)我們經(jīng)常地、幾乎每時每刻地在生產(chǎn)、生活中運用著最普通的數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，然而并不意識到這一點．

(2)如果沒有數(shù)學(xué)，全部現(xiàn)代技術(shù)的產(chǎn)生和應(yīng)用都是不可能的．

(3)幾乎所有的科學(xué)部門都在多多少少地利用著數(shù)學(xué)．

太陽系的八大行星之一的海王星是在用數(shù)學(xué)計算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的；英國物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為方程形式．他運用純數(shù)學(xué)的方法從這些方程中推導(dǎo)出可能存在著電磁波，并且這種電磁波應(yīng)該以光速傳播著．根據(jù)這一點，他提出了光的電磁理論，這一理論后來被全面地發(fā)展和論證了．

2 物理學(xué)的基本特點

(1)物理學(xué)是一門實驗和科學(xué)思維相結(jié)合的科學(xué)．實驗是物理學(xué)的基礎(chǔ)，科學(xué)思維是物理學(xué)的生命．在物理學(xué)中，概念的形成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和理論的建立都有堅實的基礎(chǔ)．

(2)物理學(xué)也是一門嚴(yán)密的理論科學(xué)．物理學(xué)是以基本概念和基本規(guī)律為主干而構(gòu)成一個完整的體系，其中基本概念、基本規(guī)律是中心，基本方法是紐帶．

(3)物理學(xué)又是一門精密的定量科學(xué)．自從伽利略開創(chuàng)了把觀察、實驗、抽象思維同數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的研究途徑之后，物理學(xué)就迅速地發(fā)展成為一門精密的定量科學(xué)．

在物理學(xué)中，許多物理概念和物理規(guī)律具有定量的含義；物理學(xué)中的基本定律和公式都是運用數(shù)學(xué)的語言予以精確表達的．此外，數(shù)學(xué)方法還是物理學(xué)研究的推理論證的工具和手段．物理學(xué)與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系，物理學(xué)的研究離不開數(shù)學(xué)這一有效的工具和手段，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也依賴物理學(xué)這塊肥沃的土壤．許多物理問題需要運用數(shù)學(xué)知識來求解，當(dāng)然，同時也有一些數(shù)學(xué)問題需要借助物理原理進行求解．物理學(xué)與數(shù)學(xué)無論在形式、內(nèi)容和方法等方面都具有互補性．

3 求解物理問題的認(rèn)知特點與認(rèn)知過程

學(xué)生在學(xué)習(xí)物理過程中常常對求解物理問題感到困難，其原因往往是他們習(xí)慣于用學(xué)習(xí)概念、規(guī)律的認(rèn)識方式來求解物理問題，未能突出求解物理問題的認(rèn)知特點的緣故．從認(rèn)知的角度考察，求解物理問題具有自身的認(rèn)知特點.

(1)在新情境中推廣、應(yīng)用物理知識．物理概念、規(guī)律學(xué)習(xí)是在典型的情境中對物理知識進行理解，求解物理問題是在各種新的情境中推廣、應(yīng)用物理知識．學(xué)生常常由于對引入或說明概念、規(guī)律的典型情境十分熟悉，而產(chǎn)生一種思維定勢，對題目給的新情境不能很快適應(yīng)或錯誤地把新情境按原來的典型情境加以處理．

(2)需要較為復(fù)雜的邏輯判斷．物理概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)在進行的邏輯推理和判斷時比較簡明直接，而求解物理問題卻需要較為復(fù)雜的邏輯判斷．在概念、規(guī)律教學(xué)中，教師為了使學(xué)生易于理解，充分利用學(xué)生原有知識和經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生進行的討論一般都直接指向?qū)⒁贸龅慕Y(jié)論．學(xué)生往往感到這種為得出結(jié)論而進行的邏輯推理和判斷是思維的自然進程．當(dāng)學(xué)生自己去解決問題時，問題的結(jié)論一般不是容易直接就能看出來的，而是需要學(xué)生進行復(fù)雜的邏輯推理，對問題的進行方向獨立地做出判斷．

求解物理問題的認(rèn)知過程，是把與具體環(huán)境問題有關(guān)的信息和學(xué)生頭腦中已有知識經(jīng)驗相聯(lián)系的過程．這個過程可以描繪成如圖1所示.

圖1 求解物理問題認(rèn)知過程

從上面的方框圖可以看出，求解物理問題有兩個重要的信息變化環(huán)節(jié)：識別現(xiàn)象和運用規(guī)律．

(1)識別現(xiàn)象．感知問題后，學(xué)生頭腦中首先進行抽象思維，要識別這是什么物理現(xiàn)象？應(yīng)該屬于哪一類物理問題？在這里，事物的非物理學(xué)屬性被拋棄，物理學(xué)的屬性被抽象出來了，這種抽象的結(jié)果便把實際問題轉(zhuǎn)化成物理模型．

(2)運用規(guī)律．在認(rèn)識到要求解的物理問題及所建立的物理模型的基礎(chǔ)之后，就觸發(fā)了一系列的解題思維活動，利用相應(yīng)的規(guī)律列出有關(guān)的方程式．此后物理問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題了.這是另一個重要的信息變化環(huán)節(jié)．以后的運算雖然還受物理條件制約，但主要受數(shù)學(xué)規(guī)律支配，是關(guān)于問題的量的討論．

4 數(shù)學(xué)知識在物理問題求解中的功能

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科．任何事物都有一定的量，原則上都可以作為數(shù)學(xué)研究的對象．物理學(xué)是一門精確定量的科學(xué)，它與數(shù)學(xué)的關(guān)系最為密切．在解決物理問題時，不僅要有定性的分析，更要得出定量的結(jié)果．解答物理問題離不開數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識的運用是物理解題的一個不可缺少的內(nèi)在因素．?dāng)?shù)學(xué)知識在物理解題中的主要功能可以概括為以下幾個方面．

4.1 物理問題一般要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

在把物理問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程中，除了選擇合適的物理學(xué)方法，還要靈活地運用數(shù)學(xué)知識．至于數(shù)學(xué)問題推理計算求出結(jié)果的過程，更加明顯地說明它是一個數(shù)學(xué)過程．可見，凡是需要定量分析的物理問題，數(shù)學(xué)的運用是必不可少的．

4.2 數(shù)學(xué)是描述物理問題的語言

物理學(xué)中的數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的差異是由兩門學(xué)科各自的特點決定的．?dāng)?shù)學(xué)具有高度的符號化、抽象化、形式化、邏輯化、簡單化的特點．客觀世界中的任何形式和關(guān)系，只要它們能夠抽象出來，并用一定的方式表達，即成為數(shù)學(xué)的研究對象，因此，數(shù)學(xué)具有廣泛的適用性，不承載任何真實的物理意義．物理學(xué)是研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)、基本相互作用和基本運動規(guī)律的學(xué)科，它以實驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)為思維語言和推理、計算工具來描述物理現(xiàn)象，揭示物理規(guī)律，所以物理學(xué)中的數(shù)學(xué)是生動和具體的，符號是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)之間的基本要素．

把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是為物理問題尋找一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)為語言表達出物理量之間的相互關(guān)系，其一般步驟為：

(1)利用數(shù)學(xué)語言豐富、深化物理模型．如運用已知數(shù)據(jù)進行簡化處理，進行物理過程的定量分析等．通過找出數(shù)量關(guān)系，給物理模型加入定量的因素．

一旦波形確定,s和s′是可以提前求得的,這里認(rèn)為其是常數(shù)。以下是具體的估計過程,首先由于s遠大于s′Δt1和v,可以先得到α1的粗估計,

(2)用符號來表示物理量．符號是物理內(nèi)容的載體，它把復(fù)雜的事物代碼化，可以一目了然地加以把握感知對象．

(3)根據(jù)物理規(guī)律列出問題中物理量間的關(guān)系，最后把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)了物理過程的數(shù)學(xué)化．

4.3 數(shù)學(xué)是推理計算的工具

列出物理量間的關(guān)系式之后，下面的任務(wù)就是采用最好的方法，準(zhǔn)確地求出結(jié)果．這就要求善于利用一切學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，靈活地求解問題．應(yīng)該注意運算的技巧，盡量簡化運算的程序．有的學(xué)生在理解題意，分析過程中花了很多精力，因而在求解運算過程中就不愿多動腦筋了，一味采用最基本的代入消元法或一開始就代入數(shù)值進行繁雜的數(shù)值運算．其實，好的數(shù)學(xué)技巧一旦找到，計算時間就會大大減少．

5 物理解題與數(shù)學(xué)運算的區(qū)別

雖然物理和數(shù)學(xué)的關(guān)系十分密切，物理解題離不開數(shù)學(xué)，但是，物理解題與數(shù)學(xué)運算還是有本質(zhì)區(qū)別的．物理是以實驗為基礎(chǔ)的，它具有質(zhì)和量的統(tǒng)一性；而數(shù)學(xué)研究的是事物共有的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它拋開了其他具體內(nèi)容．因此，在把數(shù)學(xué)知識用于物理解題時，其適應(yīng)范圍要受到物理規(guī)律的制約，不能用數(shù)學(xué)方法代替物理概念．許多中學(xué)生亂套公式，一個很重要的原因就是按解數(shù)學(xué)題的習(xí)慣來解物理題．物理解題與數(shù)學(xué)運算的顯著區(qū)別具體表現(xiàn)在：它們在建立各自的模型中所進行的科學(xué)抽象不同，它們在解決實際問題時所進行的近似處理不同，它們在論證推理中所用的歸納方法不同，它們對得出結(jié)果的解釋不同．

5.1 數(shù)學(xué)抽象與物理抽象

數(shù)學(xué)抽象和物理抽象有著密切的關(guān)系．經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象建立的數(shù)學(xué)模型與經(jīng)過物理抽象建立的物理模型之間有著不可分割的內(nèi)在聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)上有幾何點的模型，物理上有質(zhì)點、點光源、點電荷等模型；數(shù)學(xué)上有線的概念，物理上有光線、電場線、磁感線等模型；數(shù)學(xué)上有面的概念，物理上就有面電荷、等勢面等模型．

數(shù)學(xué)抽象和物理抽象有著本質(zhì)上的區(qū)別．?dāng)?shù)學(xué)抽象是高度、嚴(yán)密的抽象，它僅保留了量的關(guān)系和空間形式而放棄了一般的具體現(xiàn)象；而物理抽象則沒有數(shù)學(xué)抽象那樣的高度和嚴(yán)格，仍然具有若干物理實體的共同特征，而且物理抽象是有條件的，它隨著具體問題的不同而發(fā)生變化．?dāng)?shù)學(xué)模型高度抽象的共性與物理模型一般抽象的特殊性、數(shù)學(xué)模型高度的思辨性與物理模型的實踐性、數(shù)學(xué)模型廣泛的適用性與物理模型具體的局限性都是它們本質(zhì)屬性不同的根本表現(xiàn)．比如說數(shù)學(xué)中的點，只表示空間的一個位置，它的其他物質(zhì)屬性都不存在了．與此相應(yīng)的物理中的質(zhì)點，雖然也是一種抽象，但它的抽象程度不如數(shù)學(xué)中的抽象程度高，它沒有大小，但具有質(zhì)量，而且一個實際物體能否抽象為質(zhì)點也是相對的．在解物理題時，要注意兩種抽象的區(qū)別，不要用數(shù)學(xué)抽象局限或代替物理抽象．

5.2 數(shù)學(xué)近似和物理近似

5.3 數(shù)學(xué)歸納法和物理歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是極其嚴(yán)格的，它通過一次或幾次驗證加一次推理來完成．用數(shù)學(xué)歸納法來證明一個命題成立是天衣無縫的．而物理歸納法則不然，它通過多次(但是有限次)實驗來歸納出物理規(guī)律．物理歸納法不可能像數(shù)學(xué)歸納法那樣嚴(yán)密推證、天衣無縫，而是存在漏洞．不過，用物理歸納法得出的結(jié)論是以實踐來驗證的．一旦實驗發(fā)現(xiàn)結(jié)論與實驗不符，該結(jié)論就被否定．

5.4 物理解和數(shù)學(xué)解

經(jīng)過數(shù)學(xué)推理計算得出的物理問題的結(jié)果應(yīng)當(dāng)受到物理規(guī)律的制約，有時得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)上看是完全正確的，但在物理上是錯誤的．這就是說，數(shù)學(xué)解不等于物理解．用數(shù)學(xué)知識求出結(jié)果后，應(yīng)當(dāng)用物理規(guī)律衡量其是否有實際意義．如果結(jié)果只在數(shù)學(xué)上有意義而在物理上沒有意義，說明在前面識別物理現(xiàn)象和分析物理過程的環(huán)節(jié)上存在錯誤，應(yīng)重新加以考慮并建立起正確的數(shù)學(xué)方程式．

總之，數(shù)學(xué)既是進行辯證思維的有利工具，又是表達辯證思想的科學(xué)語言和邏輯形式．因此，從學(xué)習(xí)物理基礎(chǔ)知識開始，就要注意如何應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題．不論是物理實驗中的測量和計算，還是概念的定義、定律的表達、習(xí)題的答解等，都要注意正確的運用數(shù)學(xué)方法．要把培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力作為物理教學(xué)的一個重要課題．

參考文獻

1 祝道福，郭銓.中學(xué)物理中的數(shù)學(xué)方法.哈爾濱：黑龍江教育出版社，1991

2 施良方.學(xué)生認(rèn)知與優(yōu)化教學(xué).北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，1991

3 喬際平,梁樹森,等.中學(xué)物理習(xí)題教學(xué)研究.北京：北京師范學(xué)院出版社，1993