韓松輝，杜 蘭，歸慶明，顧勇為，馬朝忠

1.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450052；2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州450052；3.信息工程大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州450001

1 引 言

復(fù)共線性存在于很多測量數(shù)據(jù)處理問題中，它對估計結(jié)果有很大的影響。如果設(shè)計矩陣存在復(fù)共線性，很小的觀測誤差就有可能造成估計結(jié)果嚴(yán)重偏離真值。為了得到精確、可靠的平差結(jié)果，必須消弱和克服設(shè)計矩陣復(fù)共線性對參數(shù)估計的不良影響［1］。

克服復(fù)共線性影響的前提是準(zhǔn)確地找到設(shè)計陣中存在的復(fù)共線性關(guān)系，即進(jìn)行復(fù)共線性診斷。到目前為止，國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于復(fù)共線性診斷已經(jīng)提出了10余種方法［1－7］，大致分為3大類：第1類是基于相關(guān)系數(shù)的方法，第2類是基于特征系統(tǒng)（特征值和特征向量）的方法；第3類是基于條件指標(biāo)方差分解比的方法。這些方法可以診斷復(fù)共線性關(guān)系的存在性和嚴(yán)重程度，但在確定復(fù)共線性關(guān)系的個數(shù)時往往存在一些問題，尤其是大部分方法不能準(zhǔn)確地確定每個復(fù)共線性關(guān)系存在于哪些數(shù)據(jù)列之間，而這些信息對于如何更有針對性地削弱和克服設(shè)計陣復(fù)共線性對參數(shù)估計的不良影響具有重要的參考價值。第3類方法以條件數(shù)大小判斷是否存在復(fù)共線性。該指標(biāo)是不盡合理的，另外當(dāng)設(shè)計陣存在多個復(fù)共線性時，“回歸”方法無法全面判斷設(shè)計陣的復(fù)共線性。在上述復(fù)共線性診斷方法中，特征分析法簡單易行，是一個不錯的復(fù)共線性診斷方法。特征分析法雖然可以判斷設(shè)計陣中存在幾個復(fù)共線性關(guān)系，但是法矩陣的特征值比較小是一個很模糊的說法，現(xiàn)實中不易操作。本文對特征分析法進(jìn)行改進(jìn)，給出判斷小特征值的具體標(biāo)準(zhǔn)。

條件數(shù)是目前用來判斷復(fù)共線性的另一個主要指標(biāo)。文獻(xiàn)［8］專門討論了廣義嶺估計的精度隨條件數(shù)變化的情況。文獻(xiàn)［9］利用廣義條件數(shù)研究了非線性病態(tài)法方程的求解問題。隨著測量手段的改進(jìn)，尤其是衛(wèi)星導(dǎo)航的發(fā)展，出現(xiàn)了條件數(shù)很大但是LS估計精度很好的測量平差和數(shù)據(jù)處理情況。條件數(shù)大時設(shè)計矩陣是否一定存在復(fù)共線性，條件數(shù)大對LS估計的影響如何都是尚未解決問題。本文用矩陣?yán)碚撟C明了復(fù)共線性存在時一定導(dǎo)致條件數(shù)很大，反之則不然的結(jié)論。然后，討論條件數(shù)大對LS估計的影響。

目前，大多數(shù)文獻(xiàn)在發(fā)現(xiàn)病態(tài)性后，直接采用正則化方法或有偏估計等方法來克服病態(tài)性對估計值的危害［10－11］，而沒有事先對復(fù)共線性進(jìn)行詳實的全面診斷、進(jìn)而有效地利用病態(tài)性信息構(gòu)造更有針對性的正則化方法或有偏估計以更好地消除病態(tài)性的影響。文獻(xiàn)［7］利用LS估計的信噪比揭示了復(fù)共線性結(jié)構(gòu)的特征，然后提出基于信噪比的正則化方法，對設(shè)計陣的復(fù)共線性作出了比較準(zhǔn)確的、有節(jié)制的消除。本文則利用改進(jìn)的特征分析法診斷出設(shè)計陣的具體復(fù)共線性關(guān)系后將提出更有針對性的雙k型嶺估計。

在GEO定軌數(shù)據(jù)處理中，由于衛(wèi)星的高軌靜地特性和受限的地面區(qū)域跟蹤，定軌動力學(xué)約束弱且觀測幾何結(jié)構(gòu)差，引起法方程的病態(tài)性［12－13］。在仿真算例中，本文運用上述方法對GEO定軌數(shù)據(jù)處理中的病態(tài)性問題進(jìn)行分析討論。診斷出GEO定軌數(shù)據(jù)處理中法矩陣的復(fù)共線性個數(shù)和各復(fù)共線性具體存在于哪幾列之間，并用基于復(fù)共線性診斷提出的雙k型嶺估計克服復(fù)共線性的影響。

2 改進(jìn)的特征分析法

設(shè)線性模型為

式中，L為觀測值向量；A為設(shè)計陣；X為未知參數(shù)向量；Δ為觀測誤差向量，假設(shè)E（Δ）＝0，cov（Δ）＝σ20P－1，σ0為未知的單位權(quán)中誤差，權(quán)陣P為已知對稱正定陣。線性模型的法矩陣為N＝ATPA，設(shè)λ1≤λ2≤…≤λt為N的特征值，Q＝［q1q2…qt］為對應(yīng)的正則化特征向量構(gòu)成的正交矩陣。

2.1 復(fù)共線性關(guān)系存在性診斷

目前，當(dāng)法矩陣存在小的特征值時，表明法矩陣存在復(fù)共線性已經(jīng)得到許多學(xué)者的認(rèn)可［1，14］。但是什么是小的特征值是一個很模糊的說法。實際上，不可單純地從特征值本身的大小判斷是否存在復(fù)共線性，而是應(yīng)該從特征值對法矩陣各列之間關(guān)系的影響大小判斷法矩陣是否存在復(fù)共線性。

法矩陣特征值求解表達(dá)式為

式中，當(dāng)特征值λ相對于法矩陣元素絕對值很小時，則λ的存在對法矩陣對角線上的t個元素N11、N22、…、Ntt的改變很小，即λ的存在對法矩陣各列之間的關(guān)系影響很小。由于f（λ）是關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，故當(dāng)λ很小時，可得

式中，說明法矩陣各列之間近似線性相關(guān)，即法矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系。如果λ本身比較大，只是λ相對于法矩陣中元素絕對值很小，則λ和法矩陣所有元素同除以一個常數(shù)，總能把λ變成一個比較小的數(shù)，使得表達(dá)式（3）成立。

如果不存在相對于法矩陣中元素絕對值很小的特征值，則表達(dá)式（3）不成立。此時最小特征值λ1相對于也不小，所以λ1的存在已經(jīng)改變了法矩陣中各列之間的線性關(guān)系，即法矩陣各列之間的線性關(guān)系經(jīng)過大的改變之后才使得f（λ1）＝0成立。另外，此處的λ1是最小的特征值，其他特征值令f（λ）＝0成立時對法矩陣各列之間的線性關(guān)系改變更大。故此時法矩陣的各列之間本身不存在近似的線性關(guān)系，即法矩陣不存在復(fù)共線性關(guān)系。

綜上可知，判斷法矩陣是否存在復(fù)共線性，不能簡單地看特征值本身大小，應(yīng)看特征值相對于法矩陣元素絕對值的大小。如果法矩陣存在相對于其自身元素絕對值很小的特征值，則說明法矩陣或是設(shè)計矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系。一般特征值的數(shù)量級小于法矩陣元素絕對值最小值10－2以上的才能算是小的特征值。

2.2 具體復(fù)共線性關(guān)系診斷

根據(jù)特征分析法，設(shè)計陣存在復(fù)共線性與小的特征值是對應(yīng)的。首先考慮最小的特征值λ1，由λ1可得

由于λ1對應(yīng)一個復(fù)共線性，復(fù)共線性關(guān)系是近似的線性關(guān)系，故

由于法矩陣N和設(shè)計矩陣A具有相同的復(fù)共線性，所以可得

設(shè)A＝［a1a2…at］，q1＝［q11q21…qt1］T，有

式中，Aq1是由t個列qi1ai（i＝1，2，…，t）相加得到的近似等于0的向量。此處Aq1近似等于0是由于設(shè)計矩陣中存在一個復(fù)共線性引起的，因此設(shè)計矩陣中有幾列元素之間存在近似的線性關(guān)系。故矩陣［q11a1q21a2…qt1at］的t個列中會出現(xiàn)幾列元素絕對值大于其余列元素絕對值的現(xiàn)象，這幾列即是對此復(fù)共線性貢獻(xiàn)比較大的幾列。記設(shè)計陣中r個列qi11ai1、qi21ai2、…、qir1air（r≤t）的元素絕對值比較大，刪除其余的列不影響表達(dá)式Aq1≈0的成立，故可得

式中，設(shè)計矩陣A中r個列ai1、ai2、…、air之間存在復(fù)共線性關(guān)系，而這個復(fù)共線性關(guān)系的系數(shù)即為q1中的元素qi11、qi21、…、qir1。

3 復(fù)共線性與條件數(shù)的關(guān)系

除了特征分析法外，條件數(shù)也是目前常用的判斷復(fù)共線性的指標(biāo)。在很多情況下條件數(shù)大就表明法矩陣存在病態(tài)性。但是隨著測量手段的改進(jìn)，尤其是衛(wèi)星導(dǎo)航的發(fā)展，出現(xiàn)了條件數(shù)很大但是LS估計精度很好的測量平差和數(shù)據(jù)處理情況。由此引發(fā)條件數(shù)和復(fù)共線性之間的嚴(yán)格關(guān)系是什么的思考。

3.1 存在復(fù)共線性時條件數(shù)一定大

對于t階方陣N，在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定存在t個特征值，并且根據(jù)Collatz包含定理可以給出特征值的上下限。這個定理可簡單地敘述如下［15］：

命x是任取的一個列向量（在實際應(yīng)用中x當(dāng)然應(yīng)該是一個恰當(dāng)?shù)剡x取的列向量）。記y＝Nx，設(shè)x、y的各個元素為

再記

Collatz包含定理斷定，在區(qū)間

內(nèi)至少存在一個方陣N的特征值。

根據(jù)Collatz包含定理可以證明如下定理。

定理1：法矩陣存在復(fù)共線性時，一定存在相對于法矩陣元素絕對值很小的特征值。

證明：令N＝［N1N2…Nt］如果法矩陣N存在一個復(fù)共線性關(guān)系，不妨仍設(shè)存在復(fù)共線性關(guān)系的幾列為Ni1、Ni2、…、Nir，則Ni1、Ni2、…、Nir之間存在近似的線性關(guān)系，即存在不完全為零的一組數(shù)bi1、bi2、…、bir，使得

故向量bi1Ni1＋bi2Ni2＋…＋birNir中，各元素的絕對值遠(yuǎn)小于法矩陣中元素絕對值。令Collatz包含定理中的向量x的元素為

則y＝Nx≈0，故λ－和λ＋均是相對于法矩陣元素絕對值很小的實數(shù)，因此在區(qū)間［λ－，λ＋］中至少存在一個相對于法矩陣元素絕對值很小的特征值。證畢。

不妨仍記這個相對于法矩陣元素絕對值很小的特征值為λ1。在測量數(shù)據(jù)處理中，一般設(shè)計矩陣只會存在少數(shù)的幾個復(fù)共線性關(guān)系，即不會出現(xiàn)法矩陣的t個特征值均很小的情況。故λt是一個大小正常的特征值，所以λt相對于λ1會很大，則條件數(shù)λt／λ1很大。

另外，由2.1中論述和定理1可得以下定理。

定理2：法矩陣存在相對于本身元素絕對值小得多的特征值是法矩陣存在復(fù)共線性的充分必要條件。

3.2 條件數(shù)很大不一定存在復(fù)共線性關(guān)系

根據(jù)定理2可知：若不存在相對于法矩陣元素絕對值很小的特征值，則法矩陣不存在復(fù)共線性。所以條件數(shù)大是由于λt遠(yuǎn)大于λ1引起的，并不表示法矩陣中一定存在復(fù)共線性關(guān)系。

4 無復(fù)共線性時條件數(shù)大對LS估計的影響

當(dāng)法矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系時，觀測誤差對LS估計的影響很大，這已經(jīng)得到很多專家學(xué)者的認(rèn)可，此處不再進(jìn)行相關(guān)討論。本節(jié)只討論無復(fù)共線性關(guān)系時，條件數(shù)很大對LS估計有什么影響。

首先討論特征值和特征向量的幾何意義。方陣的特征向量是經(jīng)過矩陣變換后保持方向不變，只是進(jìn)行長度伸縮的向量，而特征值反映了特征向量在矩陣變換時的伸縮倍數(shù)。另外由譜定理［16］（spectral theorem）知道，一個方陣完全可以由它的特征向量表示，特征值即是矩陣在對應(yīng)特征方向的貢獻(xiàn)率大小。于是一個矩陣完全可以由特征值和特征向量組成的“特征”來表示。

如果法矩陣不存在復(fù)共線性，但是條件數(shù)很大，只是說明法矩陣在某個特征方向的特征明顯，并不會放大觀測誤差對LS估計的影響。詳細(xì)分析如下。

4.1 不考慮觀測誤差

線性模型（1）的法方程為

易知法矩陣的t個特征向量是線性無關(guān)的，可構(gòu)成t維空間的一組基，故可設(shè)法方程中＾X由其線性表示為

故

由上式可以看出，法矩陣的條件數(shù)比較大，只是把待估參數(shù)＾X變成與方向qt接近的向量ATPL，即把＾X拉向了法矩陣特征最明顯的特征方向。

法矩陣病態(tài)性對LS估計的影響主要施加在法矩陣求逆階段，同理條件數(shù)很大對LS估計的影響也主要在法矩陣求逆階段。通過法方程可以得到LS估計的表達(dá)式為

因此不考慮觀測誤差時法方程的求解是純數(shù)學(xué)問題，可以得到嚴(yán)格的、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解。此處的法矩陣不存在復(fù)共線性，實際上通過上式還可以看出，即使法矩陣存在復(fù)共線性，只要觀測值很準(zhǔn)確，依然可以通過法方程得到準(zhǔn)確的LS估計。

4.2 考慮觀測誤差

由于法矩陣不存在復(fù)共線性，則沒有相對于法矩陣元素很小的特征值，此處條件數(shù)大是由于λt相對于λ1很大引起的，因此只討論λt和qt對LS估計的影響。設(shè)ATPL在stλtqt方向存在小的誤差Δtqt，其中Δt是一個小的數(shù)，則

由于λt很大，故其倒數(shù)λ－1t很小，故λ－1tΔtqt很小，所以觀測誤差沒有被放大。

5 雙k型嶺估計

采用上述改進(jìn)的特征分析法，可以準(zhǔn)確地判斷復(fù)共線性的個數(shù)，并且可以判斷每個復(fù)共線性具體存在于設(shè)計陣中的那幾列。確定復(fù)共線性關(guān)系后，需要克服復(fù)共線性對估計值的影響。線性模型（1）的 LS估計和嶺估計［17－21］分別為

式中，k＞0為普通嶺估計的嶺參數(shù)。

對于GPS快速定位中的雙差模型，已經(jīng)證明其病態(tài)性是由于在設(shè)計陣中，模糊度系數(shù)所在列可以近似線性表示出坐標(biāo)改正數(shù)系數(shù)所在列造成的［20－21］。筆者針對GPS快速定位中的雙差模型中病態(tài)性特征，提出了雙k型嶺估計［20－21］為

式中，K′＝diag（k′1，k′1，k′1，k′2，…，k′2）為對角矩陣，k′1＞0和k′2＞0為雙k型嶺估計的兩個嶺參數(shù)。易知，LS估計和普通嶺估計為雙k型嶺估計的特例。

根據(jù)改進(jìn)的特征分析法，可以準(zhǔn)確地判斷出法矩陣中具體那幾列之間存在復(fù)共線性關(guān)系。由此復(fù)共線性關(guān)系提出新的相應(yīng)的雙k型嶺估計如下

式中，K為對角矩陣，對角線元素由兩個嶺參數(shù)k1、k2（k1＞k2＞0）組成，k1和k2的排列順序由法矩陣中確切的復(fù)共線性關(guān)系確定。不妨假設(shè)i1＜i2＜…＜ir列之間存在復(fù)共線性關(guān)系，其中1≤i1，ir≤t，則K中對角線上第i1、i2、…、ir個元素為嶺參數(shù)k1，其余的對角元素取嶺參數(shù)k2，即法矩陣中存在復(fù)共線性關(guān)系的幾列對應(yīng)比較大的嶺參數(shù)k1，其余的列對復(fù)共線性貢獻(xiàn)很小對應(yīng)嶺參數(shù)k2。

合理地確定k1和k2是一個應(yīng)用上十分重要的問題。注意到雙k型嶺估計是廣義嶺估計的特例，故應(yīng)用從廣義嶺估計出發(fā)確定普通嶺估計中嶺參數(shù)的思想［22］確定k1和k2。

利用文獻(xiàn)［17］公式，兩個嶺參數(shù)k1和k2分別取為

式中，α＝［α1α2…αp］T＝QTX為原參數(shù)向量X的典則參數(shù)Λ＝diag（λ1，λ2，…，λt），V＝－L，0＜c＜1。

當(dāng)模型存在復(fù)共線性時，雙k型嶺估計可以有效地克服病態(tài)性影響。當(dāng)模型不存在復(fù)共線性關(guān)系時，雙k型嶺估計退化為LS估計。

6 算例與分析

算例1：仿真線性模型。對于設(shè)計陣只包含一個復(fù)共線性關(guān)系的情況，改進(jìn)的特征分析法可以很容易地判斷出復(fù)共線性情況，此處不再討論。討論復(fù)雜的設(shè)計陣數(shù)據(jù)列之間存在兩個復(fù)共線性，并且兩個復(fù)共線性關(guān)系相互影響的情況。例如，設(shè)計陣為

用下列兩個表達(dá)式構(gòu)造設(shè)計陣的復(fù)共線性

式中，εi～N12（0，0.12E）。設(shè)法矩陣元素絕對值最小值為其中i，j＝1，2，…，t。則法矩陣的、法矩陣特征值λi的數(shù)值如表1所示。

表1 算例1的min（｜Nii｜）和λi 數(shù)值大小Tab.1 Numerical values of min（｜Nii｜）andλiof example 1

由表1可以看出，法矩陣存在2個復(fù)共線性。計算A12×8q1＝q11a1＋q21a2＋…＋q81a8，由于篇幅有限，給出矩陣［q11a1q21a2…q81a8］的前3行為

由此矩陣可以看出，第4、7列的元素值很小，故這兩列不包含在復(fù)共線性之內(nèi)。在設(shè)計陣中，第1、2、3、5、6、8列之間存在復(fù)共線性關(guān)系。最小特征值對應(yīng)的特征向量q1為

則［1 3.00 －3.00 0 －0.50 2.00 0 －1.00］T此系數(shù)與式（13）減去式（14）后的系數(shù)，即與

的系數(shù)是一致的。

考慮第2個復(fù)共線性。計算A12×8q2＝q12a1＋q22a2＋…＋q82a8，給出矩陣［q12a1q22a2…q82a8］的前3行為

由此矩陣可以看出，仍然是設(shè)計陣第1、2、3、5、6、8列之間存在復(fù)共線性關(guān)系，特征向量q2為

則

由于第2個復(fù)共線性較弱，此系數(shù)與表達(dá)式1.5×（13）＋（14），即與

的系數(shù)是近似一致的。

由以上分析可以看出，雖然設(shè)計陣中的復(fù)共線性關(guān)系是由式（13）、式（14）引起的，但是設(shè)計陣出現(xiàn)小的特征值或者法矩陣條件數(shù)很大不是因為這兩個表達(dá)式中某一個造成的。設(shè)計陣的復(fù)共線性是這兩個表達(dá)式共同作用的結(jié)果，并且這兩個表達(dá)式的組合造成了一強一弱兩個復(fù)共線性關(guān)系。

以估計值和真值差的模作為估計評價標(biāo)準(zhǔn)，則LS估計和本文提出的雙k型嶺估計的評價標(biāo)準(zhǔn)分別為26.477和2.715 9。雙k型嶺估計的估計效果遠(yuǎn)高于LS估計的估計效果。

算例2：設(shè)GEO衛(wèi)星定點于160°E，3個模擬地面觀測站為北京、三亞和成都，基本觀測量是站星之間的單程測距，以均值為1m、方差為1的正態(tài)分布隨機變量為隨機誤差，數(shù)據(jù)采樣間隔為60s，初始?xì)v元的衛(wèi)星位置三分量均附加10m固定偏差。采用動力法進(jìn)行LS批處理定軌，待估狀態(tài)向量X為初始?xì)v元的衛(wèi)星位置和速度向量、2個光壓參數(shù)η和、兩個測站（三亞和成都）系統(tǒng)偏差參數(shù)、沿跡方向的2個周日周期經(jīng)驗力振幅觀察上述矩陣可以很容易發(fā)現(xiàn)，矩陣［q11a1q21a2…qt1at］第1、2、3、4、9、10列元素絕對值較大。故其對此復(fù)共線性貢獻(xiàn)較大，即這幾列之間存在復(fù)共線性關(guān)系。這個結(jié)論也驗證了GEO衛(wèi)星軌道易受系統(tǒng)誤差影響大的普遍看法［12－13］。根據(jù)此復(fù)共線性關(guān)系，令共12參數(shù)。定軌弧長從4h至3d，其中針對機動后軌道快速恢復(fù)的4h短弧跟蹤條件只解算軌道6參數(shù)。

為考察復(fù)共線性對定軌弧長的敏感性，逐歷元累加法矩陣。設(shè)法矩陣元素絕對值最小值為，其中i，j＝1，2，…，t。則6參數(shù)4h觀測數(shù)據(jù)和12參數(shù)8h觀測數(shù)據(jù)法矩陣的、法矩陣特征值λi的數(shù)值如表2所示。

表2 算例2的min（｜Nii｜）和λi 數(shù)值大小Tab.2 Numerical values of min（｜Nii｜）andλiof example 2

分析表2發(fā)現(xiàn)：

（1）采用6參數(shù)進(jìn)行定軌時，法矩陣不存在復(fù)共線性。此處條件數(shù)大只是最大特征值和最小特征值之間的比值大，不會放大觀測誤差對估計值的影響。故采用LS估計即可得到很好的估計結(jié)果。

（2）采用12參數(shù)進(jìn)行軌道確定時，法矩陣存在一個嚴(yán)重的復(fù)共線性關(guān)系，必須要克服此復(fù)共線性關(guān)系對估計值得影響。

對解算12參數(shù)的情況，下面采用特征分析法討論復(fù)共線性具體存在于設(shè)計陣的那幾列。由于觀測歷元較少時復(fù)共線性比較明顯，此處采用前10個歷元的設(shè)計陣A30×12進(jìn)行分析。計算

采用四舍五入方法給出第3個歷元數(shù)據(jù)計算得到的矩陣［q11a1q21a2…q12，1a12］如下

式中，k1和k2由文中相應(yīng)的嶺參數(shù)公式確定，c＝1／2。

由于GEO軌道的確定一般采用比較長的觀測數(shù)據(jù)，隨著觀測數(shù)據(jù)的增加，復(fù)共線性會逐漸減弱。當(dāng)存在復(fù)共線性時，采用雙k型嶺估計可以克服其影響；當(dāng)不存在復(fù)共線性關(guān)系時，雙k型嶺估計退化為LS估計。故采取兩種方案進(jìn)行分析討論：

方案1采用LS估計；

方案2采用本文提出的雙k型嶺估計。

以衛(wèi)星位置的三維定軌誤差絕對值的平均值為定軌評價標(biāo)準(zhǔn)。上述兩種方案的位置誤差隨定軌弧長從4h（240歷元）到3d（4320歷元）的變化情況如圖1所示。

圖1 算例2中方案1和方案2定軌誤差Fig.1 Orbit error of scheme 1and scheme 2of example 2

由圖1可以看出：

（1）當(dāng)觀測歷元較少時，設(shè)計陣病態(tài)性比較嚴(yán)重，LS估計遠(yuǎn)不如雙k型嶺估計效果好。隨著觀測歷元的增加，病態(tài)性逐漸減弱。在1000歷元到2000歷元之間病態(tài)性較弱，LS估計和雙k型嶺估計的結(jié)果相當(dāng)，定軌誤差均在5m以內(nèi)。

（2）2000歷元以后，由于觀測歷元增多，設(shè)計陣已不存在復(fù)共線性，此時雙k型嶺估計完全退化為LS估計，兩種方案的定軌誤差曲線完全重合。但是由于累積誤差的影響，此時相應(yīng)的定軌評價標(biāo)準(zhǔn)在10m以內(nèi)。

6 結(jié) 論

（1）證明了以下定理：法矩陣存在復(fù)共線性與法矩陣存在相對于本身元素絕對值小得多的特征值是充分必要條件。

（2）給出了判斷法矩陣是否存在小的特征值的方法，進(jìn)而完善了特征分析法。

（3）若法矩陣存在復(fù)共線性，則條件數(shù)一定很大。若不存在相對于法矩陣元素絕對值很小的特征值，即使條件數(shù)很大，法矩陣本身也不存在復(fù)共線性。

（4）不存在復(fù)共線性時，條件數(shù)很大只是反映了法矩陣特征值差異較大，它不會放大觀測誤差對LS估計的影響。

（5）準(zhǔn)確判斷出法矩陣中具體那幾列之間存在復(fù)共線性關(guān)系后，本文提出的相應(yīng)雙k型嶺估計可以有效地克服復(fù)共線性的影響。采用從廣義嶺估計出發(fā)確定普通嶺估計中嶺參數(shù)的思想，給出了確定雙k型嶺估計中嶺參數(shù)的合理方法。

（6）采用6參數(shù)對GEO衛(wèi)星定軌時，法矩陣不存在復(fù)共線性。采用12參數(shù)對GEO衛(wèi)星定軌時，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)較少時復(fù)共線性很嚴(yán)重，隨著觀測時間的增加復(fù)共線性越來越弱，當(dāng)觀測時間為兩天時法矩陣已完全不存在復(fù)共線性。

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