常 偉，張登玉，張宗兵，魏增飛

（1.西安電子科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710071；2.衡陽師范學(xué)院 物理與電子信息科學(xué)系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

隨著激光的出現(xiàn)和光電子技術(shù)的發(fā)展，對高斯波束研究開始為人們所重視。Kogelnik［1－2］在傍軸近似的條件下，研究了高斯波束場的分布特性。對于高度平行的激光束，傍軸近似理論成功地解釋了實驗數(shù)據(jù)。然而，半導(dǎo)體激光器及大數(shù)值孔徑光學(xué)透鏡的廣泛應(yīng)用，標(biāo)志著光源尺寸不斷接近波長數(shù)量級甚至更小，波束發(fā)散角增大，傍軸近似條件不再滿足。目前對于大角度波束的研究主要有三種方法，第一種是M.Lax提出的“微擾法”［3］，即將波束場量用無量綱的冪級數(shù)展開。Davis在M.Lax基礎(chǔ)上給出場強(qiáng)的一級修正解［4］。第二種角譜法［5－7］則將高斯波束用平面波展開，根據(jù)邊界條件確定角譜。第三種是曾小東［8］使用格林函數(shù)基于惠更斯原理直接求解波動方程得到了遠(yuǎn)軸高斯波束場表達(dá)式。

1 高斯波束及其性質(zhì)

電磁場的任意直角分量u（x，y，z）都滿足Helmholtz方程

波束場強(qiáng)在橫截面上的分布由具體的激發(fā)條件確定［9］，考慮一種最簡單的高斯分布，分布函數(shù)為e－（x2＋y2）／w2，波束的寬度w＝w（z），故u可以寫成

其中eikz表示沿z方向的傳播因子，不同于廣延于全空間中的平面波所具有的確定波矢，波束只能有大致的傳播方向。e－f（z）（x2＋y2）為限制波束寬度因子，g（z）表示波的振幅。

將g（z）和f（z）代入（2.2）式可以得到高斯波速場強(qiáng)函數(shù)［9］

圖1 高斯波束過軸線剖面

2 高斯波束場描述

2.1 傍軸近似理論

均勻各向同性無源介質(zhì)中沿z軸方向傳播的波束電場可以寫成［10］

將Laplace算子分解成橫向和縱向兩部分［11］

該方程解的最低階模即為高斯波束，具有形式［12］

將（8）式代入（5）式，得到傍軸近似條件下的高斯波束解

其中w（z）＝w0表示波束的尺寸，R（z）＝z（1＋z20／z2）表示波 前曲率半 徑，η（z）＝tan－1（z／z0），z0＝nπw20／λ。為描述波束的發(fā)散特性，將波束的發(fā)散角定義為

其中n為介質(zhì)折射率。對于平行度極好的激光束，傍軸近似理論與實驗數(shù)據(jù)已經(jīng)能高度吻合。

從高斯波束場強(qiáng)分布圖可以看到場強(qiáng)集中在軸線附近，往兩側(cè)迅速衰減，當(dāng)束腰半徑變大時其相位沿z軸有向前移動的趨勢。

2.2 微擾法

傍軸近似理論在實驗上獲得了巨大的成功，卻因為其只考慮場沿橫向極化，忽略了縱向分量，以至于傍軸解與Maxwell方程不能自洽［3－4］。為此，Lax提出將波束場分解成橫向和縱向兩個分量，求解嚴(yán)格的Maxwell方程，并將場量用束腰尺寸與發(fā)散長度之比s＝w0／l＝1／kw0的冪級數(shù)展開，建立對傍軸各級修正的微分遞推關(guān)系。Davis在此基礎(chǔ)上給出了傍軸解得一階修正表達(dá)式。

假設(shè)

在Lorentz規(guī)范下的滿足Helmholtz方程

將（11）式代入（13）式得到

將（12）式代入（14）式得到

其中s＝w0／l＝1／kw0，ξ＝x／w0，η＝x／w0，ζ＝z／l，l＝kw20為共焦參數(shù)，當(dāng)z＝l時，R取得最小值。求解（15）式得到

其中Q0＝1／（i＋2ζ），ρ2＝（ξ2＋η2）。根據(jù)電磁場與矢勢的關(guān)系

得到修正后的波束電場

2.3 角譜展開法

當(dāng)波長達(dá)到束腰半徑數(shù)量級或者更小時，傍軸近似條件不再成立，而微擾法得到的電場表達(dá)式將非常繁瑣。基于本征函數(shù)的角譜展開是Helmholtz方程在邊界條件下的嚴(yán)格解，不受傍軸近似條件限制，能夠用來研究傍軸區(qū)外場特性，而且場的角譜展開具有明顯的物理意義，即空間波束可以看做是沿各個方向具有不同振幅的平面波的疊加［13］，這對研究波束與介質(zhì)體的相互作用是很方便的。

設(shè)電場振幅在束腰平面內(nèi)具有高斯型函數(shù)分布

在平面坐標(biāo)系內(nèi)，將電場用平面波譜展開，各分量的具體形式為［6］

其中

將（25）式再代入到（22）式，可以得到

其中

在遠(yuǎn)場時，倏逝波的貢獻(xiàn)可以忽略，角譜展開法的遠(yuǎn)場解為

3 結(jié) 論

本文介紹高斯波束的基本理論，指出高斯波束與平面波的區(qū)別，平面波廣延于全空間并具有確定的波矢，而波束只有大致的傳播方向和一定的波束寬度，在波束腰部處其波陣面為平面，遠(yuǎn)離軸心處則為以腰部中點(diǎn)為球心的球面。分析比較了描述高斯波束的三種主要方法并基于角譜展開法推導(dǎo)波束場分量表達(dá)式，模擬了波束寬度內(nèi)場強(qiáng)及其相位分布。研究發(fā)現(xiàn)，高斯波束場能量主要分布在軸線附近，遠(yuǎn)離軸線時呈指數(shù)衰減。對于近軸解，這三種方法都可以退化到同一形式，對于遠(yuǎn)軸解角譜展開法有著更明確的物理意義、更高的精度和更廣的適用范圍。

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