周?chē)?guó)全

（武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院物理系，湖北 武漢 430072）

1 引言

在電磁場(chǎng)理論中，均勻分布的環(huán)狀電荷在其中心軸線上任意一點(diǎn)的靜電場(chǎng)，以及環(huán)形恒定電流在其中心軸線上任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)，這兩個(gè)典型問(wèn)題，在幾乎任何一本電磁學(xué)或大學(xué)物理教材中均為經(jīng)典的例題或習(xí)題［1～6］，其結(jié)果表達(dá)式均顯繁鎖，難于記憶，不便應(yīng)用.文獻(xiàn)［7］通過(guò)引進(jìn)立體角的概念，給出了這類(lèi)問(wèn)題的一種簡(jiǎn)潔表達(dá)式.本文推導(dǎo)出這類(lèi)問(wèn)題的一種簡(jiǎn)潔緊湊，易于記憶的三角函數(shù)表達(dá)形式，并將其羅列對(duì)比，以饗同仁.

2 圓環(huán)電流在軸線上任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)

如圖1所示，半徑為R 的環(huán)形通有恒定電流I，在其中心軸線上到圓心距離為x 的任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 可運(yùn)用畢奧－薩伐爾定律加以計(jì)算，結(jié)果為［1，2］

其 中，μ0為 真 空 磁 導(dǎo) 率，i 為x 方 向 單 位矢量.

圖1 圓環(huán)電流在軸線上的磁場(chǎng)

當(dāng)x＝0時(shí)，式（1）表示的即是圓心O 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BO，記為

圓環(huán)上任意一點(diǎn)與P 點(diǎn)的連線即圓環(huán)為底面以P為頂點(diǎn)的錐體的母線，它與錐軸（x 軸）的夾角為α，易知

則表達(dá)式（1）可改寫(xiě)為如下形式

可記為

它顯然形式簡(jiǎn)潔，易于記憶，便于應(yīng)用.僅舉以下兩例說(shuō)明.

1）運(yùn)用式（4）與式（2），很容易證明，對(duì)于軸線上從左端無(wú)窮遠(yuǎn)到右端無(wú)窮遠(yuǎn)的唯一的一條不閉合的磁場(chǎng)線，安培環(huán)路定理依然成立.因?yàn)閤＝Rcotα，所以如下積分易如反掌

2）如圖2所示，圓臺(tái)的側(cè)面分布有均勻的環(huán)繞面電流，面電流密度為η；兩圓形底面的半徑分別為R1與R2.則其錐形側(cè)面的圓錐頂點(diǎn)P 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度可如下算出：

圖2 錐形圓臺(tái)側(cè)面環(huán)繞面電流在圓臺(tái)錐頂點(diǎn)的磁場(chǎng)

由式（2）并代入以上二式可得

運(yùn)用公式（4），并將式（6）代入可得

3 均勻圓環(huán)電荷在軸線上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)

無(wú)獨(dú)有偶的是，靜電場(chǎng)中也有類(lèi)似的問(wèn)題.如圖3所示，半徑為R 的圓環(huán)帶有均勻線分布的電荷，總電量為q.則其中心軸線上到圓心距離為x的任意一點(diǎn)P 的電場(chǎng)強(qiáng)度E 可應(yīng)用庫(kù)侖定律和微積分算出為如下公式

圖3 圓環(huán)電荷在軸線上的電場(chǎng)

其中EPoint＝E∞即為x?R 時(shí)的點(diǎn)電荷近似的理想結(jié)果，亦即將全部電荷視為集中于圓心的點(diǎn)電荷時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式.公式（9）與公式（4）比較，相映成趣，有著幾分神似，便于對(duì)照記憶，因而在多年的教學(xué)實(shí)踐中深受同學(xué)們的喜歡.公式（9）的應(yīng)用舉例如下.要計(jì)算一個(gè)無(wú)限大均勻帶電平板附近任意一點(diǎn)的電場(chǎng)，我們先計(jì)算具有均勻面電荷分布σ，內(nèi)外半徑分別為為R1與R2的環(huán)狀圓盤(pán)在其軸線上距離圓心為x 處的電場(chǎng)強(qiáng)度.如圖4所示，

圖4 無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)

其中，α1，α2分別是圓盤(pán)內(nèi)外圓周對(duì)軸上點(diǎn)P 所張的錐面頂角之半.

結(jié)果表明，場(chǎng)強(qiáng)與P 點(diǎn)坐標(biāo)x 無(wú)關(guān)，因而無(wú)限大均勻帶電平面兩側(cè)均為勻強(qiáng)電場(chǎng).

4 結(jié)語(yǔ)

具有同樣環(huán)狀分布的電流的磁場(chǎng)（軸線上）BP＝BOsin3α 與 電 荷 的 電 場(chǎng)（軸 線 上）EP＝E∞cos3α的表達(dá)式之間，既有著如此驚人而美妙的相似之處，又有著本質(zhì)特性的不同.這種情形在電磁場(chǎng)理論中并不鮮見(jiàn)，例如在有限或無(wú)限長(zhǎng)直線電荷/流分布的電/磁場(chǎng)的表達(dá)式之間，也有著同樣奇妙的相似與不同之處；又如電偶極子的電勢(shì)與磁偶極子的磁標(biāo)勢(shì)之間的相似表達(dá)方式［3～6］，凡此種種，不一而足.其本質(zhì)原因在于決定點(diǎn)電荷電場(chǎng)的庫(kù)侖定律具有平方反比特性，且電場(chǎng)是一極矢，而元電流的磁感強(qiáng)度也具有平方反比特性，但磁場(chǎng)為一軸矢.這決定了電場(chǎng)與磁場(chǎng)兩者之間在空間分布上的神似與不同之處.

［1］趙凱華，陳熙謀.新概念物理《電磁學(xué)》［M］.北京：高等教育出版社，2003第二版.42；96～97

［2］張三慧，臧庚媛，華基美.《電磁場(chǎng)》［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1991第一版.17～19；229～230

［3］虞國(guó)寅，周?chē)?guó)全.電動(dòng)力學(xué)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社.2008第一版.74，88

［4］張之翔，王書(shū)仁，陳獻(xiàn)偉.電動(dòng)力學(xué)［M］.1988第一版.130～145；362～364

［5］俎棟林.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2006 第一版.109，96～97

［6］蔡圣善，朱耘.經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1985第一版.187～190

［7］佘守憲.立體角概念在電磁學(xué)中的應(yīng)用.物理與工程，2004，14（2），5～11