李 莉 滕寶華 雷 雨

（電子科技大學(xué)應(yīng)用物理系，四川 成都 610054）

1 引言

隨著激光技術(shù)的發(fā)展，激光器逐漸被應(yīng)用到醫(yī)學(xué)、工業(yè)、核研究等很多領(lǐng)域.然而，應(yīng)用于激光系統(tǒng)中的光學(xué)元件在強(qiáng)激光作用下可以在短時間內(nèi)遭到破壞，致使激光系統(tǒng)無法正常工作.光學(xué)元件的損傷一直是限制激光向高能量、高功率方向發(fā)展的“瓶頸”［1，2］.

光學(xué)元件的激光損傷是由于激光與物質(zhì)的相互作用導(dǎo)致元件性能或者結(jié)構(gòu)發(fā)生了宏觀變化.眾所周知，所謂激光，它是具有單色性好，能量密度大，亮度高等優(yōu)良特點(diǎn)的電磁波［3］.激光和光學(xué)元件的相互作用包括很多物理過程，比如激光電磁場的傳播，熱傳導(dǎo)過程，力學(xué)過程等.然而所有相關(guān)物理過程的第一步應(yīng)該是激光在材料內(nèi)的傳遞過程.由此，研究光學(xué)元件的激光損傷機(jī)理可以從激光電磁場在介質(zhì)中的傳播入手.

麥克斯韋將電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律概括為四個方程式構(gòu)成的方程組——麥克斯韋方程組.原則上求解給定條件的麥克斯韋方程組，就可以得到電磁場的三維時空分布［4］.在大學(xué)物理教學(xué)過程中，大家對麥克斯韋方程組的認(rèn)識停留在它可以結(jié)合邊界、初始條件描述電磁波的時空分布這樣一個較為淺表的定性概念的認(rèn)識上.

本文中，我們以工程上光學(xué)元件的激光損傷為切入點(diǎn)，基于麥克斯韋方程組，以熔石英為例，利用時域有限差分法數(shù)值計(jì)算平面電磁波在表面和亞表面具有缺陷的熔石英中傳播時的電場時域分布，研究了電磁波在具有缺陷的材料中的傳播特性.并力求利用大學(xué)物理的基本知識解釋電場受到缺陷調(diào)制這一物理現(xiàn)象的物理本質(zhì).

通過本工作，可以量化和加深大家對電磁波傳播特點(diǎn)的理解，尤其可以認(rèn)識到在非均勻介質(zhì)中的電磁波的傳播特點(diǎn).同時本工作也具有強(qiáng)烈的工程應(yīng)用背景，可為激光約束核聚變研究中如何提高光學(xué)元件的負(fù)載能力提供理論支持.

2 物理模型

三維情況下麥克斯韋旋度方程［5］為

各向同性線性介質(zhì)中具有的本構(gòu)關(guān)系為

其中ε 表示介質(zhì)介電系數(shù)，單位為法拉/米（F/m）；μ 表示磁導(dǎo)系數(shù)，單位為亨利/米（H/m）；σ表示電導(dǎo)率，單位為西門子/米（S/m）；σm表示導(dǎo)磁率，單位為歐姆/米（Ω/m）.這四個參數(shù)稱為電磁參數(shù).顯然不同的介質(zhì)具有不同的電磁參數(shù).本工作中我們正是通過不同的電磁參數(shù)來區(qū)別不同的介質(zhì).其中σ和σm分別與介質(zhì)的電損耗和磁損耗有關(guān).真空中σ＝0，σm＝0，以及ε＝ε0＝8.85×10－12（F/m），μ＝μ0＝4π×10－7（H/m）.

在直角坐標(biāo)系中，式（1）、（2）展開整理后，各方向分量可寫為

以及

采用有限差分法，對以上兩個方程組進(jìn)行離散化.以x 方向?yàn)槔?，?/p>

其中，

根據(jù)時域有限差分法，我們將計(jì)算區(qū)域分為總場區(qū)和散射場區(qū)，在吸收邊界設(shè)置吸收邊界條件［5］.本文所采取的吸收邊界條件為最近幾年發(fā)展起來的完全匹配層（PML），對入射波有更好的吸收效果［6］.在總場邊界處設(shè)置入射波.

利用計(jì)算機(jī)語言將離散后的方程、邊界條件和初始條件描述出來.對各參數(shù)賦值后即可進(jìn)行計(jì)算.

3 數(shù)值計(jì)算及分析

在計(jì)算過程中，我們采用三倍頻入射激光，波長為351nm，其電場幅值為1.0V/m.考慮激光為TM 波（所有對電場的計(jì)算結(jié)果都是x 方向的分量，即Ex）.計(jì)算過程中，網(wǎng)格尺寸為δ＝λ/12＝2.95×10－8（m）.

熔石英表面缺陷多種多樣，為簡化問題，本文以高斯形缺陷和球形缺陷為例，利用時域有限差分法求解麥克斯韋旋度方程，計(jì)算缺陷附近各位置的電磁場的瞬態(tài)分布.缺陷內(nèi)部為真空，其相對介電常數(shù)為1.0.

3.1 高斯形缺陷

圖2是熔石英亞表面高斯型缺陷的三維形貌示意圖，其中最底端坐標(biāo)為（0，0，0）.缺陷內(nèi)部為真空.缺陷表面滿足的三維數(shù)學(xué)公式：

其中，xOy 平面與材料表面平行，激光沿z 軸入射.（x0，y0，z0）為修復(fù)坑最底端坐標(biāo)，A，W 為控制高斯旋轉(zhuǎn)體形狀的兩參數(shù)，參數(shù)A 控制高斯球體的深度，參數(shù)W 控制高斯球體的寬度.其中TM 入射波入射面為xOz，垂直于材料表面，入射角為零.

圖1 高斯型缺陷的三維示意圖

設(shè)高斯型缺陷位于熔石英前表面，取缺陷的控制參數(shù)為A＝40δ，w＝30δ.修復(fù)坑最底端位置：（70δ，150δ，71δ）.圖2所示為x＝49δ的yOz平面的電場強(qiáng)度分布.計(jì)算中總場邊界取為（120δ，250δ，120δ）.由圖可見，熔石英內(nèi)的電場強(qiáng)度呈對稱分布，熔石英玻璃內(nèi)的電場強(qiáng)度分布表現(xiàn)為受到強(qiáng)烈的調(diào)制，顯然這是由于高斯形缺陷的存在而導(dǎo)致的.從圖中可以看到缺陷附近的電場得到了加強(qiáng)，而在缺陷的正后方形成了一個較寬的激光散射區(qū).分析其原因，這是由于此時缺陷內(nèi)為真空，其相對介電常數(shù)為1.0，小于熔石英的相對介電常數(shù)2.25，所以就象在缺陷處設(shè)置了一個凹透鏡，入射激光受缺陷坑的散射作用，而在與周圍入射光重疊的區(qū)域進(jìn)行疊加，當(dāng)滿足干涉的相干相長時，光場強(qiáng)度得到加強(qiáng)，反之減弱從而形成如圖所示的電場分布形貌［7］.

圖2 x＝70δ的yOz 平面的電場強(qiáng)度分布

3.2 球形缺陷

在材料加工過程不可避免地會產(chǎn)生表面再沉積層中的氣泡，金屬、氧化物的顆粒.我們以球形氣泡為例討論亞表面缺陷對入射激光電磁場的調(diào)制.圖3所示為亞表面三維球形缺陷的平面示意圖.圖4所示是熔石英亞表面氣泡對入射光場調(diào)制后的分布圖.計(jì)算中總場邊界取為（110δ，240δ，130δ）.氣泡半徑r＝20δ，其中心位置為（70δ，150δ，31δ）.由于氣泡的介電常數(shù)是小于熔石英（εr＝2.25）的，氣泡在此處的功能也等同于一個凹透鏡，入射激光電磁場受氣泡作用散射開，并與周圍的入射光再次疊加，數(shù)據(jù)顯示，經(jīng)氣泡對光場調(diào)制過后，氣泡周圍的最大電場強(qiáng)度約增強(qiáng)為原來的2倍，而在氣泡的后面區(qū)域形成了陰影區(qū).

圖3 亞表面三維球形缺陷的平面示意圖

圖4 氣泡附近電場強(qiáng)度分布

4 結(jié)論

本文基于麥克斯韋方程組的旋度方程，利用三維時域有限差分法，計(jì)算電磁波在有缺陷的材料內(nèi)部傳播時電場強(qiáng)度分布，詳細(xì)討論了熔石英亞表面和亞表面高斯型和球形兩種缺陷對電場強(qiáng)度的調(diào)制作用.發(fā)現(xiàn)當(dāng)缺陷內(nèi)部為真空時，材料內(nèi)部缺陷附近的電場得到干涉加強(qiáng)，而電場加強(qiáng)點(diǎn)勢必成為材料的薄弱點(diǎn)，在這些位置其激光功率密度會急劇上升，成為產(chǎn)生熔融和力學(xué)破毀的初始位置，這在工程上是非常危險的.通過本工作，一方面大家對利用麥克斯韋方程組討論電磁波在材料中的傳播有更加深刻認(rèn)識，另一方面本工作也具有強(qiáng)烈的工程應(yīng)用背景，可為激光約束核聚變研究中如何提高光學(xué)元件的負(fù)載能力提供理論支持.

［1］Génin F Y，Kozloski M R，F(xiàn)eit M D.Contamination effects on optical damage.UCRL2ID20130003，1998

［2］孫承偉.激光輻照效應(yīng)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2002

［3］滕寶華，廖旭.大學(xué)物理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2010

［4］梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1980

［5］葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分法［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2002

［6］Berenger J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves［J］.J Comput Phys，1994，114（2）：185～200

［7］潘篤武，賈玉潤，陳善華.光學(xué)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1997