張連芳 傅敏學(xué) 劉瀅瀅 高 紅 柯偉平

（清華大學(xué)物理系，北京 100084）

混沌研究是20世紀(jì)物理學(xué)的重大事件.物理學(xué)對(duì)于不同的自然現(xiàn)象，如天體運(yùn)動(dòng)、布朗運(yùn)動(dòng)等，分別用確定論和概率論兩套不同的理論體系來(lái)描述，兩種體系在認(rèn)識(shí)論上是對(duì)立的.作為非線(xiàn)性科學(xué)研究最重要的成果之一，混沌研究縮小了兩個(gè)體系的鴻溝.混沌研究表明，一個(gè)完全確定的系統(tǒng)，即使非常簡(jiǎn)單，但由于自身的非線(xiàn)性作用，同樣具有內(nèi)在隨機(jī)性.混沌既不是具有周期性和對(duì)稱(chēng)性的有序，又不是絕對(duì)無(wú)序，而是可用奇怪吸引子等來(lái)描述的復(fù)雜有序——混沌呈現(xiàn)非周期有序性.

為了在物理實(shí)驗(yàn)課程中增加非線(xiàn)性的內(nèi)容，自2002年起，我們開(kāi)設(shè)了混沌電路實(shí)驗(yàn).隨著實(shí)驗(yàn)的深入和多次改型，我們堅(jiān)持用分立元件與學(xué)生自組的實(shí)驗(yàn)方案，堅(jiān)持理論與實(shí)驗(yàn)過(guò)程相結(jié)合.現(xiàn)在混沌電路實(shí)驗(yàn)包括非線(xiàn)性元件電阻、電感或電容的選擇，倍周期分岔產(chǎn)生混沌的過(guò)程，混沌吸引子、電路波形和頻譜分析圖等混沌狀態(tài)顯示，計(jì)算機(jī)模擬混沌吸引子的演化過(guò)程等內(nèi)容，成為一個(gè)頗有趣味的非線(xiàn)性實(shí)驗(yàn).

1 混沌的研究方法

混沌研究從非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程y＝ax2＋bx＋c 開(kāi)始，寫(xiě)成參量方程

其中，μ（a，b，c）為參量集合；x 方次為2即是拋物線(xiàn)方程.研究方程隨時(shí)間t演化即為一階自治差分方程

下一時(shí)刻的xn＋1狀態(tài)取決于方程參數(shù)和當(dāng)前狀態(tài)xn.方程（2）的一種標(biāo)準(zhǔn)形式為

方程（3）包含了混沌的主要特征［1］.研究xn隨k的演化過(guò)程用倍周期分岔圖（圖1）來(lái)表示，顯示了系統(tǒng)從穩(wěn)定軌道經(jīng)過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌的途徑，而且在混沌帶中呈現(xiàn)了新的周期窗口和自相似的分岔圖等復(fù)雜結(jié)構(gòu).

圖1 混沌演化的分岔圖

2 非線(xiàn)性電路中的混沌

研究非線(xiàn)性混沌電路，分析電路特性和產(chǎn)生周期、非周期振蕩的條件，可以了解混沌產(chǎn)生的方法和混沌現(xiàn)象的基本性質(zhì).

一個(gè)簡(jiǎn)單而典型的非線(xiàn)性混沌電路如圖2，它又稱(chēng)蔡氏電路（Chua's circuit），即三階互易非線(xiàn)性自治電路.其中的非線(xiàn)性元件是電阻RN（g＝1/RN），且呈現(xiàn)負(fù)阻性.L 和C2組成無(wú)損耗振蕩電路作為振蕩源.耦合電阻G（實(shí)際是電導(dǎo)）呈現(xiàn)正阻性，它與非線(xiàn)性電阻RN和電容C1組成耦合電路消耗能量，以防止由于非線(xiàn)性電路的負(fù)阻效應(yīng)使電路中的電壓與電流不斷增大.

圖2 蔡氏混沌電路原理圖

電路的狀態(tài)方程式（即電路中節(jié)點(diǎn)或支路的電流、電壓關(guān)系式）為

其中，iN是非線(xiàn)性電阻RN上的電流.

圖2電路中的非線(xiàn)性元件為RN，是具有分段線(xiàn)性的負(fù)阻器件，其特性見(jiàn)圖3，數(shù)學(xué)表達(dá)式合式為

實(shí)驗(yàn)中用于產(chǎn)生非線(xiàn)性電阻的方法很多，如單結(jié)晶體管、變?nèi)荻O管以及運(yùn)算放大電路等.最初蔡氏方案選用單一運(yùn)放電路作為非線(xiàn)性元件的電路，俗稱(chēng)蔡氏二極管［2］.為了方便調(diào)整，電路很快改為圖4的雙運(yùn)放電路［3］，其伏安特性與圖3相似.實(shí)驗(yàn)時(shí)，只需改變耦合電阻G，電路即可從穩(wěn)定周期振蕩過(guò)渡到混沌狀態(tài).蔡氏電路的混沌狀態(tài)，呈現(xiàn)出兩個(gè)無(wú)限多次循環(huán)的層狀結(jié)構(gòu)以螺旋形式相互卷在一起，稱(chēng)為雙漩結(jié)構(gòu)（double scroll）.具有雙漩結(jié)構(gòu)的吸引子稱(chēng)為雙漩吸引子.將VC1－VC2信號(hào)輸入示波器x－y 軸可觀(guān)察雙漩結(jié)構(gòu)，圖5表示改變G 的值，相圖VC1－VC2從單周期P，倍周期2P，4P，……單漩……3P……雙漩進(jìn)入混沌的過(guò)程，這種過(guò)程與第一節(jié)的理論分析是一致的.

圖5 從倍周期分岔到雙漩吸引子

3 混沌電路實(shí)驗(yàn)的擴(kuò)展內(nèi)容

3.1 非線(xiàn)性電阻RN 伏安特性的測(cè)量

RN的特性對(duì)混沌電路非常重要.在非線(xiàn)性電阻輸出端接入可變電阻和電壓表與電流表，可直接測(cè)量iR＜0區(qū)域RN的非線(xiàn)性伏安特性，各線(xiàn)段分段擬合后得

測(cè)量表明，這種電路在分段線(xiàn)性方面要求與混沌電路要求的理論特性相近.但是U 過(guò)大或過(guò)小時(shí)都出現(xiàn)了負(fù)阻向正阻的轉(zhuǎn)折，這是運(yùn)算放大器進(jìn)入飽和區(qū)的輸出現(xiàn)象，這個(gè)特性導(dǎo)致在電路中產(chǎn)生附加的周期軌道，對(duì)產(chǎn)生混沌吸引子和倍周期分岔軌道沒(méi)有影響.

圖6 雙運(yùn)放RN 的實(shí)驗(yàn)I—V 曲線(xiàn)

具有電路分析技能的實(shí)驗(yàn)者也能從運(yùn)放電路的參數(shù)分析得到電路輸出的伏安特性.根據(jù)運(yùn)放的型號(hào)TL－082和輸出Swing電壓為±13V 等參數(shù)可得到與I1、I2基本相同的關(guān)系式，但I(xiàn)3差別比較明顯.具體原因可能是運(yùn)放參數(shù)Swing電壓不一定準(zhǔn)確或者別的未知因素.好在這段參數(shù)對(duì)產(chǎn)生混沌軌道沒(méi)有影響，暫時(shí)未做深究.

3.2 混沌電路的變化

電路中產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的必要條件是電路中具有非線(xiàn)性器件，這種非線(xiàn)性器件可以是變?nèi)荻O管（電容是端電壓的非線(xiàn)性函數(shù)），帶磁芯的電感或互感，非線(xiàn)性電阻等.電感變化產(chǎn)生的混沌電路如圖7，L2和C2用來(lái)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的振蕩電路［4］.電感線(xiàn)圈共有三個(gè)繞組，L0用于直流激磁，L1、L2為互感線(xiàn)圈，互感量為M.

圖7 帶電感的混沌電路

在i0一定條件下，電路方程是以i1、i2，u2為變量的三階方程.電路方程為

改變電感的參數(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)電路從倍周期分岔，即從基頻（1P），二分頻（2P），四分頻（4P），八分頻（8P）……進(jìn)入混沌狀態(tài)的過(guò)程.實(shí)驗(yàn)中也可觀(guān)察到在混沌帶復(fù)雜的區(qū)域中部出現(xiàn)正規(guī)的周期窗口的過(guò)程.改變L0中電流、改變信號(hào)源V0sinωt幅值V0、改變信號(hào)源角頻率ω 等多種途徑都可以實(shí)現(xiàn)混沌過(guò)程.

3.3 蔡氏混沌電路的計(jì)算機(jī)模擬

從前面分析可以看出，蔡氏電路是一個(gè)三階非線(xiàn)性自治電路，而混沌過(guò)程是電路隨時(shí)間演化達(dá)到某種約束的穩(wěn)定或非穩(wěn)定狀態(tài).計(jì)算機(jī)模擬對(duì)這樣的過(guò)程是容易實(shí)現(xiàn)的.我們用Mathematica編寫(xiě)的程序可以模擬蔡氏電路方程的狀態(tài)，輸入L1，C1，R（R＝1/G）與RN的參數(shù)m0、m1、BP，就可以得到蔡氏電路的iL－uC2，uC1－uC2，iL－uC1的相圖和u1的波形圖，圖8用程序模擬了電路中波形變化及雙漩吸引子形成的過(guò)程.模擬程序也為正確選擇電路參數(shù)提供了分析的手段.

值得注意的是對(duì)蔡氏電路及其吸引子的研究已成為一種檢驗(yàn)電路行為的診斷程序，Bilotta E，Pantano P［5］等用實(shí)驗(yàn)電路和計(jì)算機(jī)模擬等手段得到幾百種蔡氏電路的吸引子，形成了令人嘆為觀(guān)止的吸引子博物館，為電路研究和混沌現(xiàn)象提供了龐大的案例.這樣的案例可能不是混沌電路研究完全必要的，但已成為電路和混沌現(xiàn)象研究的重要路徑.正如計(jì)算機(jī)對(duì)圓周率π的計(jì)算已達(dá)幾百位小數(shù)并不是現(xiàn)實(shí)世界的必需，而是檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)能力的一種重要判據(jù).

圖8 程序模擬的蔡氏電路狀態(tài)圖

多年來(lái)混沌實(shí)驗(yàn)的教學(xué)之路使我們感悟到：實(shí)驗(yàn)是發(fā)現(xiàn)、檢驗(yàn)和解決理論問(wèn)題的基本和權(quán)威路徑，要重視用實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題的方法和能力；實(shí)驗(yàn)提供了豐富多彩的知識(shí)和技術(shù)，而實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)者一定要具備寬厚的理論知識(shí)，熟悉和掌握現(xiàn)代的技術(shù)工具.

［1］郝柏林.從拋物線(xiàn)談起——混沌動(dòng)力學(xué)引論［M］.上海：上海科教出版社，1995.1～35

［2］T.Matsumoto et al.，The Double Scroll（Part Ⅰ），IEEE Transaction on Circuits and Systems，Vol.CAS－32，1985，798～804

［3］王珂，田真，陸申龍.非線(xiàn)性電路混沌現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)裝置的研究［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，1999，（4）

［4］曹惠賢，李蓉等.普通物理實(shí)驗(yàn)教程［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.302～309

［5］Bilotta E，Pantano P，Stranges S..A gallery of Chua attractors：Part I，International Journal of Bifurcation and Chaos.2007，17（1）：1～60