邢樹果，蘇 彥，周建鋒，劉建忠

（1.中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 3.清華大學(xué)工程物理系天體物理中心，北京 100084）

基于最大熵方法月球表面亮溫度數(shù)據(jù)處理模擬*

邢樹果1，2，蘇 彥1，周建鋒3，劉建忠1

（1.中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 3.清華大學(xué)工程物理系天體物理中心，北京 100084）

由天線成像原理可知，通過密云50m天線、“嫦娥一號”衛(wèi)星（CE-1）和“嫦娥二號”衛(wèi)星（CE-2）所搭載微波探測儀獲取的月球亮溫度圖是微波天線方向圖與真實亮溫度圖的卷積，所以想清晰準(zhǔn)確地還原亮溫度圖，就必須采取反卷積方法。在處理過程中引入最大熵方法，選擇基于Bonavito提出的直接迭代法求解方式，并論證了其作為反卷積方法的可行性，通過一系列的模擬仿真驗證其反卷積的有效性。仿真結(jié)果理想，對后期處理真實數(shù)據(jù)（密云50m天線觀測數(shù)據(jù)，微波探測儀觀測數(shù)據(jù)）打下堅實的基礎(chǔ)。

射電天文學(xué)；最大熵方法；反卷積；亮溫度

1 概述

月球是距離地球最近的天體，月球本身不發(fā)光，但是會反射太陽光。在紅外和微波波段，月球遵循熱輻射機制輻射能量，這和月球表層與次表層結(jié)構(gòu)和特性相關(guān)。亮溫度是天體輻射強度的一種表達(dá)方式，等效為同一波長下相同輻射度黑體的溫度。要開發(fā)月球必須對月球進行全面的探測，了解月球資源，并逐步對資源進行開發(fā)。研究月壤特性，在微波頻段研究亮溫度是必不可少的。另外密云50m天線的衛(wèi)星通信目前使用的頻段是S波段和X波段，當(dāng)?shù)孛娼邮仗炀€指向探月衛(wèi)星接收探測和測控數(shù)據(jù)的時候，就必然要引入月球射電輻射的影響，因此必須要考慮月球射電輻射對天線的接收數(shù)據(jù)的影響，即對接收系統(tǒng)噪聲溫度的增加。因此亮溫的研究具有重要的意義。

月球的微波觀測主要可以分為地基望遠(yuǎn)鏡觀測和嫦娥系列衛(wèi)星探測。密云50m口徑的射電望遠(yuǎn)鏡，是目前國內(nèi)自主設(shè)計和建造的口徑最大、功能最強的主焦、輪軌式天線。密云50m天線不僅完成了探月工程一期賦予的任務(wù)，而且還在探月二期任務(wù)中繼續(xù)承擔(dān)科學(xué)數(shù)據(jù)接收和衛(wèi)星精密測定軌的工作，并將在我國空間碎片監(jiān)測、射電天文觀測與研究等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。微波波段對亮溫的觀測，可以實現(xiàn)在X頻段（8.4GHz）和S頻段（2.3GHz）對月觀測，X頻段角分辨率達(dá)到3'，S頻段角分辨率達(dá)到11'。由密云50m天線觀測得到的月球亮溫度圖是月球真實亮溫分布圖與天線方向圖的卷積。

微波探測儀（CELMS）是“嫦娥一號”衛(wèi)星（CE-1）和“嫦娥二號”衛(wèi)星（CE-2）的有效載荷之一，在執(zhí)行任務(wù)期間，多次覆蓋月球表面，獲取了大量的微波數(shù)據(jù)，從而開辟了即“紅外月球（Infrared Moon）”和“可見光月球（Visible Moon）”后，又一新的概念“微波月亮”（The Microwave Moon，簡稱MicM）［1］。CE-1和CE-2搭載的微波探測儀是一個4頻段微波輻射計，工作頻率分別為3.0、7.8、19.35和37.0GHz。CE-1的繞月飛行高度為200 Km，CE-2的繞月飛行高度為100 Km。

天線觀測原理得知，利用微波天線收集輻射時，由天線獲取的亮溫為天線的亮溫值，即天線方向圖與月表亮溫值的加權(quán)。實際上，期望得到的是月球表面的亮溫度，所以一個適合有效的亮溫重建算法是迫切需要的。

在射電天文學(xué)的圖像重建領(lǐng)域，CLEAN算法和最大熵方法（Maximum Entropy Method，MEM）一直占據(jù)著統(tǒng)治地位。CLEAN算法在處理點源時，效果理想；最大熵方法在處理面源時，會更具有優(yōu)勢［2］。

19世紀(jì)中葉，克勞修斯首先把熵引進熱力學(xué)，d S=d Q/T，其中T表示物質(zhì)的熱力學(xué)溫度，d Q表示熵增加過程中加入物質(zhì)的熱量。從微觀上說，熵是組成系統(tǒng)的大量微觀粒子無序度的量度，系統(tǒng)越無序、越混亂，熵就越大。熱力學(xué)過程不可逆性的微觀本質(zhì)和統(tǒng)計意義就是系統(tǒng)從有序趨于無序，從概率較小的狀態(tài)趨于概率較大的狀態(tài)。

1948年香農(nóng)在創(chuàng)立信息論時，找到一個唯一的量來度量信源的不確定性，這個量與熱力學(xué)和統(tǒng)計力學(xué)中的熵數(shù)學(xué)形式和物理意義都相近，所以也稱為熵，公式定義為S=-P log P，P表示系統(tǒng)中某個事件發(fā)生的概率。信息論中的熵，通常稱之為信息熵或香農(nóng)熵，信息熵是信息論中用于度量信息量的一個概念。一個系統(tǒng)越是有序，信息熵就越低；反之，一個系統(tǒng)越是混亂，信息熵就越高。所以，信息熵也可以說是系統(tǒng)有序化程度的一個度量。

在圖像恢復(fù)領(lǐng)域中，F(xiàn)rieden于1972年首先引入圖像熵的概念，導(dǎo)出了圖像熵的表達(dá)式為：s= -∑x（i，j）ln x（i，j），其中x（i，j）為圖像在像素點（i，j）的灰度值。Frieden圖像熵概念的引入，使得在圖像處理時，有了新的度量標(biāo)準(zhǔn)。針對最大熵算法的具體應(yīng)用背景及局限性，F(xiàn)rieden、Gull-Daniell、Skilling-Bryan等學(xué)者提出了以各自名字命名的最大熵方法［3-5］。

本文在Frieden最大熵方法的基礎(chǔ)上，用Bonavito［6］提出的直接迭代法求解最大熵，并通過模擬仿真，驗證了基于Bonavito直接迭代法作為求解反卷積方程的有效性。

2 最大熵方法

2.1 最大熵方法的可行性

利用最大熵方法［7］作為一種有效的反卷積方法處理月球表面的亮溫度，同時滿足了最大多重性原理、第一原理、熵增加原理。

最大多重性原理是指最可能的狀態(tài)具有最大多重性，即某個狀態(tài)的多重性越大，則系統(tǒng)最終處于這種狀態(tài)的可能性也就越大。在圖像復(fù)原時，用圖像熵最大作為約束條件，有公式的定義形式可以保證圖像的正定性，也可以證明最大似然分布與最大熵分布是統(tǒng)一的。

第一原理是指在數(shù)據(jù)不充分的情況下求解，解必須和已知的數(shù)據(jù)相吻合，而又必須對未知的部分做最少的假定。而圖像復(fù)原可以認(rèn)為是從已知數(shù)據(jù)中提取信息的過程，這一過程由于已知數(shù)據(jù)量的不足而變得不可唯一求解。信息可以看成是由兩個部分導(dǎo)出，一是已知數(shù)據(jù)，二是由于數(shù)據(jù)不完全不得不對未知部分做假定。要求熵最大，意味著要求總信息量最少，即由假設(shè)而添加的信息量最少，因此最大熵解是最合適的。

熵增加原理指出，一個孤立系統(tǒng)的熵永遠(yuǎn)不會減少，即趨于最大。所以，最大熵方法對解所作的選擇是“合乎自然”的。

2.2 最大熵方法模型

2.2.1 亮溫接收模型

通過天線獲取的亮溫度圖為月球表面目標(biāo)亮溫度圖與天線方向圖的卷積，模型表示如下：

式中，y（i，j）為實際測量的亮溫度為天線的亮溫度；x（i，j）表示月球表面目標(biāo)亮溫度；PSF為天線方向圖函數(shù)，此處忽略噪聲。

2.2.2 亮溫重建模型

利用最大熵方法重建月球表面真實亮溫度的，模型表示如下：

解一個反問題都會遇到解的存在性和唯一性問題，難以精確求解。實際的解決辦法是尋求一個在某種特定原則下與原圖像盡可能接近的近似解或估計解。此處引入圖像熵的概念，最大熵恢復(fù)就是對圖像復(fù)原問題加以最大熵約束的恢復(fù)方法，在所有滿足條件的圖像解中，選取熵最大的那組解作為最優(yōu)解。

2.3 最大熵求解過程

Frieden提出的最大熵方法給出，利用拉格朗日乘子法可以直接求出（2）式中的x（i，j）的表達(dá)式

式中，λ11，…，λij為 i*j個朗格朗日乘子；Z（λ11，…，λij）為 λ11，…，λij的函數(shù)，為配分函數(shù)。Frieden提出的方法就是把（3）、（4）式代入（2）式中，求解非線性的方程組，從而將x（i，j）的最終值求解出來，但是計算量巨大。

當(dāng)G為0時，x（i，j）為期望的解，初始時設(shè)定λ11，…，λij的初值為0，從而可以確定x（i，j），然后代入（5）式，利用（7）式不停地迭代λ11，…，λij，從而不停地迭代x（i，j），直到最后G的取值為0或接近0，從而確定了x（i，j）為卷積方程的一組解。同時x（i，j）的表達(dá)形式保證了每次迭代滿足最大熵的約束條件，進而保證了這組解為滿足熵最大的條件。

3 模擬仿真計算與結(jié)果分析

月球的角徑大約有30'，模擬展源1°×1°，經(jīng)度、緯度各采樣100個點，并且結(jié)合密云50m的天線方向圖，然后將面源與方向圖進行卷積，得到實際天線接收的臟圖。然后基于Bonavito提出的基于直接迭代法的最大熵方法對臟圖進行了潔化，得到潔化后的圖像。

圖像質(zhì)量評價［8］從方法上可分為主觀評價方法和客觀評價方法，前者憑借實驗人員的主觀感知來評價對象的質(zhì)量；后者依據(jù)模型的量化指標(biāo)來衡量圖像質(zhì)量。在客觀評價方法全參考圖像質(zhì)量評價方法中，均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）是最基本和最簡單有效的質(zhì)量評價算法，可以一定程度上反映圖像的重建質(zhì)量，所以此處用均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）作為還原后圖像質(zhì)量的評價指標(biāo)。

其中均方誤差定義：

峰值信噪比的定義：

其中天線方向圖的模擬計算公式：在50m天線中，D=50m，λ=3.5 cm，工作在X波段；然后在-0.5°到0.5°中采樣99個點，以尋求和臟圖的數(shù)據(jù)矩陣一致。

整個仿真是從下面3個方面展開：3.1主要給出了單一天線方向圖的最大熵處理效果；3.2是在不斷改變天線的方向圖參數(shù)，從而改變天線的半功率波束寬度，進而探討最大熵方法的有效性；3.3中撇開規(guī)則的亮溫分布圖，通過隨機的亮溫分布驗證最大熵方法的有效性。

3.1 模擬仿真-1

圖1給出了單一天線方向圖的仿真流程，其中，（a）為原始數(shù)據(jù)分布圖；（b）為擬合的天線方向圖；（c）為得到臟圖；（d）為最大熵的處理結(jié)果圖。表1給出了計算得到的臟圖和最大熵處理結(jié)果圖的均方誤差和峰值信噪比。

圖1 最大熵處理過程圖（a）原始圖像；（b）天線方向圖/臟束；（c）卷積之后的圖像/臟圖；（d）最大熵重建后的圖像Fig.1 An example of simulated data processed with the MEM（a）True image；（b）dirty beam；（c）blurred image；（d）image resulting from the processing with the MEM

3.2 模擬仿真-2

保持原始數(shù)據(jù)不變，天線分辨率降低，產(chǎn)生不同的天線方向圖，從而得到不同的臟圖；最大熵基于不同的方向圖進行還原，看得到的潔圖隨天線方向圖的變化關(guān)系。

表1圖像質(zhì)量評價指標(biāo)MSE和PSNRTable 1 Comparison of MSE and PSNR values of the blurred image and MEM result image

圖2是天線分辨率（D/λ分布取1 000，800，600，400）的不斷改變，從而導(dǎo)致天線方向圖的不斷變化，隨之臟圖對應(yīng)不同天線方向圖的響應(yīng)。圖3是利用最大熵方法基于臟圖和其對應(yīng)的天線方向圖還原出的潔圖。表2是利用MSE和PSNR對最大熵還原后的潔圖進行的一個質(zhì)量評估結(jié)果。圖4和圖5中分別繪制了對應(yīng)不同波束寬度MSE和PSNR的變化曲線。3.3 模擬仿真-3

圖2 不同的天線方向圖以及對應(yīng)的臟圖Fig.2 Different antenna patterns and the corresponding dirty images

圖3 不同的天線方向圖與其對應(yīng)最大熵重建圖Fig.3 Different antenna patterns and corresponding MEM result images

考慮到上面兩個模型都是基于簡單的有規(guī)則的亮溫分布，本仿真的構(gòu)建思路如下：

a、隨機生成一個100×100的矩陣擬合亮溫度，數(shù)值范圍在250到280之間，如圖6（a）；圖4 不同天線方向圖下對應(yīng)的MSE值Fig.4 The MSE values corresponding to

different antenna patterns圖5 不同天線方向圖對應(yīng)的PSNR值Fig.5 The PSNR values corresponding to

different antenna patterns

圖6 最大熵處理過程圖（a）原始圖像；（b）天線方向圖/臟束；（c）卷積之后的圖像/臟圖；（d）最大熵重建后的圖像Fig.6 An example of simulated complex image processed with the MEM.（a）True image；（b）dirty beam；（c）blurred image；（d）image resulting from processing with the MEM

b、生成一高斯函數(shù)擬合天線方向圖，矩陣大小為15×15，E面表示如圖6（b）；

c、將亮溫度圖與天線方向圖做卷積，結(jié)果如圖6（c）；

d、對6（c）圖進行最大熵還原，結(jié)果如圖6（d）。3.4 仿真結(jié)果分析

表2不同方向圖下對應(yīng)的MSE和PSNRTable 2 The MSE and PSNR values of blurred images and MEM result images corresponding to different antenna patterns

模擬仿真1中，擬合100×100的數(shù)據(jù)矩陣作為面源，經(jīng)過天線方向圖加權(quán)臟化后，明顯可以看出與原始面源存在差異。臟圖經(jīng)過最大熵方法重建后，首先從主觀上就可以看出重建后的圖像較臟圖更加接近原始面源；其次從客觀角度，MSE由1 503.51下降到4.202 3，PSNR從14.249 5提升到了39.785 8。

模擬仿真2中，保持原始不變，隨著天線方向圖分辨率的降低，對原始數(shù)據(jù)觀測得到臟圖的質(zhì)量明顯下降，MSE呈現(xiàn)增大趨勢，從1 503.51增大到2 299.71；PSNR不斷降低，由14.249 5減小到12.403 9。臟圖經(jīng)過最大熵重建后，MSE變化范圍為4.202 3到14.847 4；PSNR變化范圍為39.785 8到14.847 4。

利用最大熵重建后，均方誤差降低，峰值信噪比提高，圖像質(zhì)量改善。但是也很容易可以看出隨著方向圖的變化重建后的潔圖的質(zhì)量會有相應(yīng)的影響，但相比對應(yīng)的臟圖，圖像的質(zhì)量有了很大提高。

模擬仿真3中，通過不規(guī)則的展源分布作為原始數(shù)據(jù)，對其進行卷積，然后用最大熵進行還原，從結(jié)果圖中可以直觀的看出還原后的圖像比臟圖更加接近原始圖像，進一步驗證了最大熵方法作為一個反卷積方法的有效性。

4 結(jié)論

本文討論了最大熵方法作為一個反卷積方法的可行性，并在此基礎(chǔ)上進行了一系列的模擬仿真，仿真結(jié)果理想，驗證了其有效性，為下一步處理密云50m天線觀測數(shù)據(jù)、CE-1和CE-2微波探測儀探測微波數(shù)據(jù)奠定了良好的基礎(chǔ)。目前針對嫦娥系列CELMS探測得到的月球亮溫多采用線性的方式［9］，最大熵方法的應(yīng)用能有效的填補這一空缺，具有較大的實用和推廣價值。

［1］Jiang J S，Wang Z Z.The microwave moon-microwave sounding the lunar surface from China lunar orbiter CE-1 satellite［R］.37th COSPAR meeting，Montreal，Canada，June 2008.

［2］Srarck JL，Pantin E，Murtagh F.Deconvolution in astronomy：a review［J］.The Publications of the Astronomical Society of the Pacific，2002，114（800）：1051-1069.

［3］Frieden B R.Restoring with maximum likelihood and maximum entropy［J］.Journal of the Optical Society of America，1972，62（4）：511-518.

［4］Gull SF，Daniell JG.Image reconstruction from incomplete and noisy data［J］.Nature，1978，272：686-690.

［5］Skiling J，Bryan R K.Maximum entropy image reconstruction：general algorithm［J］.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，1984，211：111-124.

［6］Bonavito N L，Dorband JE，Busse T.Maximum entropy restoration of blurred and oversaturated Hubble Space Telescope imagery［J］.Applied Optics，1993，32（29）：5768-5774.

［7］吳乃龍，袁素云.最大熵方法［M］.湖南：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1991：12.

［8］蔣剛毅，黃大江，王旭，等.圖像質(zhì)量評價方法研究進展［J］.電子與信息學(xué)報，2010，32（1）：219-226.Jiang Gangyi，Huang Dajiang，Wang Xu，et al.Overview on Image Quality Assessment Methods［J］.Journal of Electronics＆Information Technology，2010，32（1）：219-226.

［9］王振占，李蕓，張曉輝，等.“嫦娥一號”衛(wèi)星微波探測儀數(shù)據(jù)處理模型和月表微波亮溫反演方法［J］.中國科學(xué)（D輯：地球科學(xué)），2009，139（8）：1029-1044.Wang Zhenzhan，Li Yun，Zhang Xiaohui，et al.In-orbit calibration and antenna pattern correction to CE-1 lunar microwave sounder（CELMS）［J］.China Science（Series D：Earth Sciences），2009，139（8）：1029-1044.

Simulations of Processing of Data of Brightness Tem perature M ap of the Lunar Surface w ith the M aximum Entropy M ethod

Xing Shuguo1，2，Su Yan1，Zhou Jianfeng3，Liu Jianzhong1
（1.National Astronomical Observatories，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100012，China，Email：xingsg@nao.cas.cn； 2.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China；3.Tsinghua Center for Astrophysics，Department of Engineering Physics，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

As understandable from the data acquisition processes a brightness temperature map of the lunar surface recorded by the microwave detector on the Miyun 50m radio telescope，CE-1，or CE-2 is the convolution of the actual brightness temperature distribution by the antenna pattern.If we want to accurately restore the brightness temperature distribution a deconvolution method is needed.Among the deconvolution methods of the radio astronomy，the CLEAN method and the Maximum Entropy Method（MEM）are themost popular.Though the results of the CLEAN method in processing data of point sources are satisfactory，the MEM hasmore advantages in dealing with those of extended sources.This paper chooses the MEM for this reason.The paper first describes the MEM and a direct iterative solution algorithm proposed by Bonavito.The paper shows the feasibility of the Bonavita algorithm and validates it through a series of simulations.The satisfactory simulation results provide the basis for future use of the MEM to deconvolve actual data observed by the Miyun 50m radio telescope，CE-1，and CE-2.Currently，the data processing method for the Chang E Series CELME detection uses the linear method.The application of the MEM can effectively open new opportunities for improving data quality and leading to potential discoveries.

Radio astronomy；Maximum Entropy Method；Deconvolution；Brightness temperature

T161

：A

：1672-7673（2013）03-0255-09

國家自然科學(xué)基金（11173038）資助.

2012-09-20；修定日期：2012-10-22

邢樹果，男，碩士.研究方向：天文技術(shù)與方法.Email：xingsg@nao.cas.cn

CN 53-1189/P ISSN 1672-7673