程 培

（安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601）

概率論是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學學科，其研究方法獨特，研究內(nèi)容實際，應用廣泛，是我國高等院校本科教育中的三大基礎數(shù)學課程之一.然而，在概率論教與學的過程中，教師普遍反映概率論難講，學生普遍抱怨概率論難學.究其原因，主要有以下三個方面：一是概率論不同于數(shù)學分析和高等代數(shù)等研究確定性現(xiàn)象的純粹的數(shù)學學科，概率論的學習要求學生從確定性思維轉(zhuǎn)變到隨機性思維，學生普遍感到不適應.二是因為概率論與測度論聯(lián)系緊密，目前我國概率論教材為了強調(diào)數(shù)學結構上的嚴謹性和體系性，使得知識抽象化和理論化，缺少通俗性和趣味性，學生學起來覺得晦澀難懂.三是教學課時少而內(nèi)容多，教師普遍采用填灌式的講授方式而忽視了學生主體作用，無法調(diào)動學生的學習積極性，導致學生求知興趣下降、學習動力不足.因此，在課堂上以學生為中心，適當、適時地采用合理的啟發(fā)式教學，通過創(chuàng)設問題環(huán)境和聯(lián)系實際社會現(xiàn)象等方法，使系統(tǒng)化和理論化的概率知識變得生動活潑起來，從而調(diào)動學生的學習熱情和興趣，是這門課程教學能取得好效果的關鍵所在.

啟發(fā)式教學，是指在教學過程中，以學生為中心，教師根據(jù)教學目的、內(nèi)容、學生的知識水平及掌握知識的規(guī)律，采取啟發(fā)引導辦法傳授知識、培養(yǎng)能力，使學生更加積極主動地學習，以促進身心更好地發(fā)展.啟發(fā)式教學法不是具體的教學方法，而是一種教學原則，是教學思想和教學觀，它以激發(fā)學生的積極性和主動性思維、喚起學生求知的欲望和興趣為著眼點,科學地引導學生開動腦筋，積極思考，主動發(fā)現(xiàn)和探索，發(fā)展智力，挖掘潛力.啟發(fā)式教學要求教師按照辯證唯物主義認識論和方法論組織課堂教學，在整過教學過程中，教師運用深刻的積極的思維活動，通過一定的引導和啟迪方式，引起學生的共鳴，使學生經(jīng)過積極思維后不僅接受了新知識，而且培養(yǎng)了學生運用已有知識進行獨立思考，獲得探索新知識、新技能的能力，進而提高分析問題和解決問題的能力[1].在《概率論基礎》課程的教學實踐中，筆者采取了一些辦法實施啟發(fā)式教學，取得了較為滿意的教學效果.下面談談筆者的做法和體會.

1 建立學習動機，激發(fā)學習興趣

興趣是最好的老師，是學生愛學樂學的基本情感，是學生面對新知識的一種積極態(tài)度，是探索求知的內(nèi)在動力.學生有了興趣，就能積極地、主動地、創(chuàng)造性地學習.因此，能使學生在愉悅的氣氛中學習，喚起學生強烈的求知欲望和興趣是教學成功的關鍵.在概率論的課堂教學中，可以通過下面的方法來調(diào)動學生的學習積極性.

1.1 上好第一堂課

良好的開始是成功的一半，而第一堂課就是一門課程的開始,是序曲，是了解這門課程的窗口.教師如果將這個序曲演繹得精彩了,那么學生通過這個窗口,就會對這門課程感到極大興趣并且認識到它的重要性.因此,講好第一堂課是激發(fā)學生學習興趣的重要機會.

首先,老師要以生動的語言、淺顯的事例介紹課程的特點和研究對象.概率論是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.可以在課堂上提問“什么是隨機現(xiàn)象”，筆者先引導學生從字面上來理解.所謂“隨機現(xiàn)象”自然應是不確定的現(xiàn)象，并舉出幾個實際生活中的例子，如擲一枚硬幣可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，抽查班上學生的生日可能出現(xiàn)在哪天等.然后讓學生想想生活或?qū)W習中遇到的有哪些現(xiàn)象是隨機的，并引導學生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中隨機現(xiàn)象隨處可見，因此研究隨機現(xiàn)象非常重要.緊接著提出貝特朗悖論讓同學發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象里面有“怪現(xiàn)象”，給同學們制造一個“懸念”，并告訴同學們我們在后面的講解中會從嚴格的概率論角度解釋這個怪現(xiàn)象.最后通過著名的“蒲豐投針試驗”和“高爾頓板模型”解釋一下隨機現(xiàn)象的“數(shù)量規(guī)律”，從而導出頻率穩(wěn)定性，并讓學生自己課下做“英文字母使用頻率”的試驗.這樣同學們既對這門課程產(chǎn)生了強烈的好奇心，同時也對課程有一個基本了解.

其次，用辯證的觀點和歷史唯物主義的觀點介紹概率論的產(chǎn)生、發(fā)展及其在現(xiàn)代科學技術和社會生產(chǎn)實踐中的廣泛應用.一般來說，一門學科的產(chǎn)生和發(fā)展是離不開生產(chǎn)和社會實踐活動的，概率論也不例外.概率論起源于中世紀生活中的一個博弈問題，1651年法國貴族德·梅爾向法國數(shù)學家帕斯卡提出了有趣的分賭注問題，帕斯卡苦苦思索了三年，到1654年終于有了眉目，于是和費馬通信討論，后來惠更斯也加入研究，在這些研究中建立了概率論的一些基本概念.其后，伯努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯和泊松等數(shù)學家在對伯努利概型的深入研究中發(fā)現(xiàn)了大數(shù)定律和中心極限定理.這些發(fā)展與概率論在射擊、保險、測量等領域的應用密切相關.經(jīng)過早期的輝煌后，概率論的發(fā)展有些停滯，在18世紀到19世紀整整200年中，極限定理的研究是概率論研究的中心課題，雖然內(nèi)容和形式都有發(fā)展，但沒有得到較好的解決，概率論嚴格的數(shù)學基礎一直也沒有建立.直到20世紀，概率論又開始復興和大發(fā)展，俄國數(shù)學家柯爾莫哥洛夫建立了概率論的公理化體系，古典概率問題得到解決和深化，概率論一躍稱為數(shù)學的主要分支之一[2].概率論的發(fā)展過程說明任何一門學科的發(fā)展都不是一蹴而就的，都要經(jīng)過漫長曲折的過程，是眾多科學家前赴后繼不斷努力的結果.這里面體現(xiàn)了學科間的普遍聯(lián)系，是學科間互相交融、互相作用的結果.概率論決不是某一單一學科的孤立發(fā)展，其隨機性的概率思想甚至滲入各個學科成了近代科學發(fā)展的明顯特征之一.近幾十年來，概率論結合各個工程技術和社會學科，形成了如數(shù)理金融、信息論、排隊論、可靠性理論等大量邊緣學科.

在概率論的近代發(fā)展史中其應用占有獨特的地位,極大地推動了相關學科的發(fā)展.幾乎在所有的自然科學和社會科學領域中都找到了它的用武之地.諸如在數(shù)值分析、圖論、微分方程、時間序列分析、最優(yōu)化原理、近代物理、無線電與自動控制、網(wǎng)絡通信、質(zhì)量管理、生物工程、醫(yī)藥和農(nóng)業(yè)試驗、金融保險業(yè)等學科領域都有其獨到的應用.通過介紹這些應用就解決了學生們?yōu)槭裁磳W的問題.筆者在課堂上還指出,即便如此,概率論在很多應用方面還是有局限，同其他學科一樣，它不是萬能的，它也有其自身的局限性,它仍然需要發(fā)展，事實上它目前也的確還在不斷地發(fā)展中.并指出,我們在座的同學也有可能為其發(fā)展做出貢獻.

1.2 穿插歷史著名問題和試驗，增添學習樂趣,培養(yǎng)創(chuàng)新精神

概率論中有很多的著名問題和試驗，教師在教學過程中可以適當?shù)丶右詰?如在教學過程中，教師多采用歷史上的著名問題，讓學生自己動手解決，讓學生體會到數(shù)學家的思維過程，這種再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)式的教學方式有助于提高學生的學習興趣，啟發(fā)學生的思維.比如在講古典概率模型時，教師可以風趣地把著名的“德?梅爾問題”“分賭注問題”[3]等介紹給學生，并作為思考題讓學生課后自己去找出正確的答案，以激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，培養(yǎng)學生獨立分析問題和解決問題的能力.經(jīng)過一段時間后，教師再把答案告訴學生，讓學生感受到問題解決的快樂.在教學過程中，遇到著名的試驗，試驗條件要求不高的，可以讓學生課后自己動手做一做，如前面提到的生日調(diào)查試驗、擲硬幣試驗、蒲豐投針試驗、英文字母使用頻率試驗.這樣既增添了學習的樂趣，也鍛煉了學生的動手能力.

1.3 教學緊密聯(lián)系學生的專業(yè)

學生學習最怕的是學了沒用，讓學生感覺到所學知識非常有用，是激發(fā)其學習動機的關鍵.根據(jù)概率論在眾多基礎學科和應用學科中的廣泛應用，教師在講授時完全可以緊密聯(lián)系學生的專業(yè)有針對性地做些介紹.如在講貝葉斯公式時，若面對的是電信學院的學生，就可以舉一些在信號估計和模式識別方面的應用；若面對的是經(jīng)濟學院的學生，就可以舉一些在市場預測中的應用.這樣可以激發(fā)學生在學習中去研究、去探索，使所學理論內(nèi)容展現(xiàn)它的活力.

2 創(chuàng)設問題情景、調(diào)動學習主動性

“思維自疑問和驚奇開始”，講授法要富有啟發(fā)性，離不開“問”.巧妙地創(chuàng)設問題情景，引導學生強烈的求知欲望，是開展啟發(fā)式教學的重要方法，是提高教學效果的重要一步.

2.1 提出適當問題并圍繞問題進行分析

并不是所有問題都能夠成問題情景，教師在備課時應該精心準備如何根據(jù)不同的知識點提出適當?shù)膯栴}，如何圍繞著這些問題進行分析，最終得到所要的結論.如筆者在講授全概率公式課前，提問“有五張票，其中只有一張是真正的電影票，五個同學先后各抽取一張，后抽的同學吃虧些嗎？”.有的同學說“后抽的吃虧”，有的說“先抽后抽都要一樣”.筆者緊接著問“為什么？”，這下學生普遍回答不出來原因，于是帶著疑問進入了新知識的學習，教師講授完新知識后順利地引導學生解決了課前提出的問題.整個課堂上，學生思維都很活躍，對所學的知識也覺得容易理解并且印象深刻.再如，講完博雷爾強大數(shù)定律后，筆者向?qū)W生提問“這個定律能否推廣一下，即定理中的條件能否更一般些？”，讓學生思考片刻后，引出后面的柯爾莫哥洛夫強大數(shù)定律，并讓學生自己發(fā)現(xiàn)兩個定律的不同.

2.2 采用啟發(fā)式的語言

課堂上，采用如下一些啟發(fā)式語言,如在定理的證明過程中可以問“下一步該怎么辦?”；在證明完幾個相似的定理后可以問“他們之間有何聯(lián)系？”；預先給出一個結論或一步證明過程讓同學們判斷其正確性并問“你認為是對的嗎”；給出幾個例子研究它的性質(zhì)并推廣到一般的情況時,可以問“從這里你能得出怎樣的結論?”.在每一個問題之后要適當沉默,給同學們留有一定的思考時間,并給出適當分析和啟發(fā),促使學生思維的深入.在每次課后,精心設計一些與下一次講課內(nèi)容有關的問題,讓學生們回去思考.這樣做,在課堂上有利于活躍思維,打破課堂沉悶氣氛,引發(fā)爭論,使學生在討論中接受新知識，同時也可以引起一些學生對某些重點問題的注意力.在課后又可以促使學生們進一步鞏固已學知識,并預習新知識.

3 加強概率知識的現(xiàn)學現(xiàn)用、培養(yǎng)解決實際問題的能力

概率論是所有數(shù)學學科中與現(xiàn)實生活聯(lián)系得最為緊密的一門學科，因而，教師可以充分挖掘生活資源引導學生適時適當?shù)乩孟鄳母怕手R去解釋和分析周圍熟悉的社會現(xiàn)象及實際問題，讓學生體會到學習概率論的樂趣，增強學生的學習動力，提高學生學習概率論的主動性和自覺性.其實，從各大商場的促銷活動，隨處可見的彩票銷售中心，馬路上的車來車往，到街頭小攤設獎的騙局，班上同學的生日和身高，自己接到的一個保險電話，父母的一次投資，甚至是我們經(jīng)常說的一句諺語，都可以作為例子在課堂上講.如教師在講授貝葉斯公式時，可以就同學們熟悉的狼來了的故事建立數(shù)學模型并分析為什么大人們對說謊小孩的話越來越不信任.在講完隨機變量的數(shù)學期望后，可以舉出生活中街頭小攤設獎的騙局例子以及最優(yōu)庫存的問題讓學生進行分析.再如，在講到小概率事件時，教師可以介紹概率論歷史上有名的生日問題[2]，班上任選的23個人中出現(xiàn)兩人生日相同的概率為0.507%，超過了50%.如果人數(shù)達到60人，生日相同的概率會達到99%以上，幾乎是必然事件.這看似違背了人們的常識，但實際上人們常說的諺語“常在河邊走，哪有不濕鞋”早已道出了這個原理.再拓展一下，還可以介紹這個原理在生活中的應用：任意一輛汽車行駛在馬路上都是有可能發(fā)生車禍的，但人們并沒有因此不敢開車出門，因為這個可能性很小，是一個小概率事件，然而，全中國卻沒有一天沒有車禍發(fā)生，這又是為什么呢？就此，教師再從理論上給學生證明和解釋小概率事件的累積效應[4].這樣，在教學過程中從實際生活中的素材入手，既使得學生對知識的理解更加深刻，同時也培養(yǎng)了學生利用所學知識解決分析實際問題的能力.

總之，筆者在概率論的教學實踐中嘗試了很多種辦法進行啟發(fā)式教學,取得了較為滿意的教學效果.實施啟發(fā)式教學沒有也不可能有一成不變的模式，通過進一步的摸索和實踐，一定還能取得更大的進步.

〔1〕王章豹,孫顯元,李鋼.高等學校教師教學科研方法 （第二版）[M].合肥：合肥工業(yè)大學出版社,2009.

〔2〕李賢平.概率論基礎(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2011.

〔3〕李賢平.概率論基礎學習指導用書[M].北京：高等教育出版社,2011.

〔4〕陳忠維,惠淑榮,鄭鈺.高等學校概率論教學改革的探索與實踐[J].沈陽農(nóng)業(yè)大學學報（社會科學版）,2011,13(3):331-334.