張衛(wèi)星

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身參與特定的教學(xué)活動(dòng)，獲得一些體驗(yàn)，并且通過自主探索，合作交流，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并對(duì)此進(jìn)行解釋和應(yīng)用?！睌?shù)學(xué)教育家張奠宙先生曾明確指出：“數(shù)學(xué)教育，自然是以‘?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)容為核心。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)劣，自然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好‘?dāng)?shù)學(xué)為依據(jù)。”可見，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，使生活材料數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)教學(xué)生活化，讓教學(xué)具備適度的數(shù)學(xué)味，讓學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)的無窮魅力，從而潛移默化地?fù)碛袛?shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)眼光。那么，如何讓數(shù)學(xué)教學(xué)保持適度的數(shù)學(xué)味呢？

一、讓數(shù)學(xué)情境自然延伸

學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)，因此學(xué)習(xí)應(yīng)與一定的情境相聯(lián)系。讓學(xué)生在實(shí)際情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)同化當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)。這里所說的“情境”不僅僅指“生活情境”，孩子的認(rèn)知起點(diǎn)、思考性的問題等都是一個(gè)有效的教學(xué)情境。良好的情境創(chuàng)設(shè)能有效激發(fā)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，但是如果情境只是起到激發(fā)學(xué)生興趣和引入的作用，那么情境的運(yùn)用就是淺層的。讓創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境自然延伸，及時(shí)延伸，找到更多的觸點(diǎn)，在延伸中提升、引領(lǐng)學(xué)生思維，自然而然地觸及數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和本質(zhì)，這樣的情境才是自然有效的，這樣的課堂才更有數(shù)學(xué)味。

如在教學(xué)“確定位置”一課時(shí)，一位教師經(jīng)歷了如下的教學(xué)片斷：

師：每個(gè)學(xué)期我們都要召開家長會(huì)，你是怎樣給爸爸、媽媽介紹你在教室里的位置的？

生：我在南邊第2組第3排。

生：我在第4組第8排靠墻。

（學(xué)生各抒已見）

師：大家介紹自己位置的說法不同，容易混淆。為了方便，我們把豎排叫做列，從左邊起，分別是第一列、第二列……把橫排叫做行，從前邊開始分別是第一行、第二行……

師：現(xiàn)在統(tǒng)一了標(biāo)準(zhǔn)，你能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地介紹一下自己的位置了嗎？

生：我在第2列第3行。

生：我在第8列第6行。

……

師：現(xiàn)在誰能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地介紹一下你好朋友的位置，讓大家猜猜他是誰？

（學(xué)生用“第幾列第幾行”來確定好朋友的位置）

師：你還能想到用什么方法來確定自己的位置？請(qǐng)把你的想法寫下來。

（學(xué)生寫下來后交流展示）

生：8-2。

生：5、4。

生：6列3行。

……

師：大家覺得這幾種方法有什么共同點(diǎn)？

生：他們都是用兩個(gè)數(shù)來表示的。

師：為什么要用兩個(gè)數(shù)來確定呢？一個(gè)數(shù)不是更省事嗎？

生：因?yàn)榇_定了第幾列第幾行才能確定他的位置。

師：這兩個(gè)數(shù)分別表示什么？

生：第一個(gè)數(shù)表示第幾列，第二個(gè)數(shù)表示第幾行。

師：數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)是簡(jiǎn)練，其中第一個(gè)數(shù)表示的是第幾列，第二個(gè)數(shù)表示的是第幾行。同學(xué)們能夠想到用兩個(gè)數(shù)分別表示“列”和“行”來確定位置，很了不起。為了交流的方便，我們可以用一對(duì)數(shù)表示，比如（5，4），表示第5列，第4行。數(shù)學(xué)上把這一對(duì)數(shù)稱為數(shù)對(duì)（板書：數(shù)對(duì)）。請(qǐng)你用數(shù)對(duì)來確定自己在教室里的位置。

……

上述教學(xué)片斷中，教師始終關(guān)注現(xiàn)場(chǎng)情境，及時(shí)延伸，圍繞“數(shù)對(duì)”問題，通過三個(gè)層次的延伸，掌握了“用數(shù)對(duì)確定位置”這一內(nèi)容。所創(chuàng)設(shè)的情境接近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，自然提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力?？梢?，讓數(shù)學(xué)情境在教學(xué)中自然延伸，可以促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考、探索，激發(fā)積極的情感體驗(yàn)，從而讓學(xué)生享受適度數(shù)學(xué)味所帶來的樂趣。

二、讓教學(xué)難點(diǎn)充分演繹

教學(xué)難點(diǎn)是指學(xué)生不易理解的知識(shí)或不易掌握的技能技巧。在一般情況下，使大多數(shù)學(xué)生感到困難的內(nèi)容，教師要著力想出各種有效辦法加以突破，否則不但這部分內(nèi)容學(xué)生聽不懂學(xué)不會(huì)，還會(huì)為理解以后的新知識(shí)和掌握新技能造成困難。因此，教師要從學(xué)生的學(xué)習(xí)思路出發(fā)對(duì)教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行充分演繹，力求讓學(xué)生能夠深刻理解。

如“植樹問題”是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)行人教版教材把它作為數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容編入四年級(jí)下冊(cè)。教學(xué)中很多教師對(duì)于“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”這樣三種情況的區(qū)分予以了特別關(guān)注。為了提高解決問題的正確率，他們往往要求學(xué)生牢牢記住相應(yīng)的“計(jì)算公式”（“加1”“不加不減”“減1”），但實(shí)際情況卻并非教師想象中的那么順利與簡(jiǎn)單，因?yàn)樗麄兒鲆暳酥矘鋯栴}教學(xué)的難點(diǎn)就是這個(gè)“1”。那么，如何讓學(xué)生快速理解這個(gè)“1”呢？為此，在學(xué)生經(jīng)歷了操作、驗(yàn)證過程，并得出“間隔數(shù)+1=棵樹”這一規(guī)律后，一位教師及時(shí)追問，讓學(xué)生通過交流與分析，理解植樹問題中的“1”從哪里來。具體教學(xué)片斷如下：

⒈教師追問：為什么要“加1”呢？這個(gè)“1”是從哪里來的呢？

⒉組織學(xué)生討論，并在自己研究的線段圖上圈一圈，找出“1”代表哪棵樹。

⒊根據(jù)學(xué)生的回答，用課件演示“間隔數(shù)與棵數(shù)間一一對(duì)應(yīng)”的過程，并分析如下兩種情況：

⑴“1”表示最后一棵樹

教師引導(dǎo)學(xué)生解釋：在小路邊，一端先種一棵樹，一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，再種一棵樹，再對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔……10棵樹應(yīng)該對(duì)應(yīng)10個(gè)間隔，40棵樹應(yīng)該對(duì)應(yīng)40個(gè)間隔……最后還有一棵樹沒有對(duì)應(yīng)，因此要“加1”。這個(gè)“1”就是沒對(duì)應(yīng)的那一棵樹，所以在“兩端都栽”的情況下求棵樹要間隔數(shù)加1。

⑵“1”表示第一棵樹

通過課件的直觀演示，師生共同歸納得到：“1”指的是前面第一棵樹。

上述教學(xué)，執(zhí)教者通過課件一一對(duì)應(yīng)的直觀演示，讓學(xué)生理解這個(gè)“1”可以代表前面第一棵樹，也可以代表最后一棵樹。當(dāng)學(xué)生真正理解了這個(gè)“1”的由來，植樹問題的模型也就順利建構(gòu)?？梢?，讓教學(xué)難點(diǎn)充分演繹，既可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，又可以讓數(shù)學(xué)味得到適度體現(xiàn)。

三、讓數(shù)學(xué)概念逐步建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對(duì)象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對(duì)象的“量”的范圍。因此，概念教學(xué)必須要小步子推進(jìn)，讓學(xué)生真正理解概念的來龍去脈。

“有余數(shù)除法”是人教版實(shí)驗(yàn)教材三年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，是“表內(nèi)除法”的延伸和發(fā)展，是學(xué)生學(xué)習(xí)多位數(shù)除法的基礎(chǔ)。教材內(nèi)容抽象、概念性強(qiáng)，學(xué)生剛學(xué)過表內(nèi)除法，已經(jīng)習(xí)慣用乘法口訣求商，不容易理解“余數(shù)”概念，對(duì)于除法不能直接從乘法口訣求商有許多困惑。因此，如何讓學(xué)生獲得鮮明的表象，建立“余數(shù)”的概念，是執(zhí)教者必須要思考的一個(gè)問題。為此，一位教師在學(xué)生能夠用實(shí)物小棒搭正方形后，設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)片斷：

師：同學(xué)們，你們能在腦中用9根到20根的小棒獨(dú)立搭正方形嗎？分別有怎樣的結(jié)果？能用算式表示嗎？（生思考并寫算式）

生匯報(bào)如下：

9÷4=2（個(gè)）……1（根）

10÷4=2（個(gè)）……2（根）

11÷4=2（個(gè)）……3（根）

12÷4=3（個(gè)）

13÷4=3（個(gè)）……1（根）

14÷4=3（個(gè)）……2（根）

15÷4=3（個(gè)）……3（根）

16÷4=4（個(gè)）

17÷4=4（個(gè)）……1（根）

18÷4=4（個(gè)）……2（根）

19÷4=4（個(gè)）……3（根）

20÷4=5（個(gè)）

……

師：觀察上面的商和余數(shù)，你有什么想法？

生：12÷4=3（個(gè)），可以看成是余0根。

生：余數(shù)是1、2、3、1、2、3重復(fù)。

師：為什么余數(shù)只出現(xiàn)1、2、3，不出現(xiàn)4、5呢？

生：因?yàn)?、2、3根小棒不能搭成1個(gè)正方形，多4根的話，還可以搭1個(gè)正方形，多5根的話，還可以用其中的4根搭1個(gè)正方形，還多1根。

師：余數(shù)和除數(shù)的大小有什么關(guān)系？

生：余數(shù)不能比除數(shù)大。

生：余數(shù)要比除數(shù)小。

……

腦中搭正方形在內(nèi)容上與實(shí)物操作相似，但體現(xiàn)了不同的思維水平，加深了學(xué)生對(duì)余數(shù)意義的理解。從小棒的實(shí)際操作到數(shù)學(xué)算式，學(xué)生經(jīng)歷了橫向數(shù)學(xué)化的過程，通過擺“9根、10根……20根小棒”，學(xué)生經(jīng)歷了縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程。從實(shí)物小棒圖到頭腦小棒圖，不管是多1根、多2根、多3根，都不夠搭1個(gè)正方形。學(xué)生逐步建構(gòu)起了“余數(shù)要比除數(shù)小”的概念?？梢?，通過數(shù)形結(jié)合等方式讓學(xué)生體驗(yàn)有余數(shù)除法的含義，既可以讓學(xué)生理解余數(shù)的概念，又可以讓學(xué)生在試商、調(diào)商計(jì)算技能方面獲得一定的基礎(chǔ)。同時(shí)，引導(dǎo)并提煉“余數(shù)要比除數(shù)小”這一結(jié)論的過程也是數(shù)學(xué)味油然而生的過程。

四、讓數(shù)學(xué)知識(shí)融為一體

數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯性，各知識(shí)點(diǎn)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。如果能把各知識(shí)點(diǎn)按一定的線索進(jìn)行梳理，就可以溝通知識(shí)間的前后聯(lián)系，使所有的知識(shí)融為一體，大大減少學(xué)生理解與識(shí)記的壓力，從而提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。同時(shí)，還可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的本質(zhì)味道——科學(xué)與嚴(yán)密。

基于上述思考，筆者在教學(xué)“多邊形的面積復(fù)習(xí)”一課時(shí)，嘗試引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)角度整理，從梯形的變形入手，通過直觀圖形的比較和抽象公式的溝通，橫向打通了梯形和三角形公式、平行四邊形及長方形之間的內(nèi)在聯(lián)系。具體教學(xué)片斷如下：

談話：其實(shí)，我們換個(gè)角度看，這些公式之間還有另外一些聯(lián)系。

⒈梯形與三角形面積公式

⑴出示梯形：它的面積怎么算？（出示公式S=（a+b）h÷2）

⑵課件展示上底不斷縮短變成三角形的過程：如果還用這個(gè)公式計(jì)算面積，你有什么看法？（要把公式中一個(gè)底變成0）

⑶用0代替一個(gè)底，再整理一下，看看變成了什么？（出示公式S=（a+0）h÷2=ah÷2）

⒉梯形與平行四邊形面積公式

⑴把這個(gè)梯形再變一變（課件展示上底不斷變長成為平行四邊形的過程），如果還用梯形這個(gè)公式，你有什么建議？（要把上底、下底變成同一個(gè)字母）

⑵把上底和下底都用a表示，再整理一下看看，變成了誰的公式？（出示S=（a+a）h÷2=ah）

⒊梯形與長方形面積公式

⑴當(dāng)然還可以再變，（課件展示上底向兩邊同時(shí)變長成為長方形的過程）還能用梯形這個(gè)公式嗎？（上底下底變得相同，高用b表示）

⑵再整理一下，變成了誰的公式？（出示公式S=（a+a）b÷2=ab）

⒋小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，梯形面積公式可以作為這幾個(gè)圖形的通用公式，當(dāng)梯形的一個(gè)底變成0時(shí)，梯形公式就變成了三角形公式（板書：b=0時(shí)→S=ah÷2），當(dāng)上底與下底一樣長時(shí)，梯形公式就變成了平行四邊形公式（板書：b=a時(shí) →S=ah），進(jìn)一步還可以變成長方形的面積公式（S=ab）。

上述平行四邊形、三角形、梯形等三個(gè)面積公式，除了在縱向推導(dǎo)過程中存在千絲萬縷的聯(lián)系外，在橫向比較時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的計(jì)算公式在形式上也有相通之處。筆者就是把這種相通之處進(jìn)行適度提煉，讓所有的學(xué)生都能有所感受和理解，從而讓學(xué)生較為深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密之美。

總之，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程既是從感性到理性的抽象概括，同時(shí)也是從理性到理性的同化遷移過程。教學(xué)時(shí)，我們要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重視學(xué)生獲取知識(shí)的思維過程，力求用數(shù)學(xué)本身的魅力——數(shù)學(xué)味去吸引學(xué)生。因?yàn)橛袛?shù)學(xué)味的數(shù)學(xué)課才能讓學(xué)生越來越喜歡，越來越聰明；有數(shù)學(xué)味的課堂才能使學(xué)生積極主動(dòng)參與，從而構(gòu)建起新的知識(shí)體系，進(jìn)而提高其數(shù)學(xué)思維能力。當(dāng)然，數(shù)學(xué)味的創(chuàng)設(shè)要適度，應(yīng)以大部分學(xué)生能夠接受為宜。

（作者單位：浙江省仙居縣嶺下張小學(xué)）

責(zé)編/張曉東