徐章韜 ，陳 矛

（1．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 武漢 430079；2．華中師范大學(xué) 國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079）

1 引 言

實驗、理論和計算是科學(xué)研究的3大手段．實驗是發(fā)現(xiàn)、驗證理論正確與否的重要手段，同樣的，計算不僅僅只是作為驗證理論模型的正確性的手段，大量的事例表明它已經(jīng)成為重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要手段[1]．為了保證計算的合理性，計算的有效性，必須充分理解算理和算法之間的內(nèi)在關(guān)系．算理是客觀存在的規(guī)律，算法卻是人為規(guī)定的操作方法；算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了可行的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經(jīng)過算法實現(xiàn)優(yōu)化，它們是相輔相成的．如，阿基米德的計算幾何量的算法，既有計算方法，又有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃憷恚甅·克萊因曾指出：“一切有次序的形式運算歸根結(jié)底都是一種算法．特別來說，字母運算是一種算法．我們一再強調(diào)，算法在科學(xué)發(fā)展過程中一直起著極為重要的作用．它作為半獨立的力量，由公式本身的規(guī)律推動其前進(jìn)，并不取決于數(shù)學(xué)家的意圖和認(rèn)識，甚至往往相反．在無窮小分析初創(chuàng)時期，正如我們以后將看到的，算法往往強行推出新概念和新運算，后來才被人們所公認(rèn)．甚至在數(shù)學(xué)發(fā)展水平到了很高的階段時，算法研究還能起到很有效的作用，而且事實上也是如此，所以我們有理由稱其為數(shù)學(xué)發(fā)展的基干．”[2]現(xiàn)代意義上的算法，不僅僅限于數(shù)值計算，通常是指可用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序和步驟必須是明確的和有效的，經(jīng)過有限步驟后能完成．作為體現(xiàn)時代特點的算法已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容．算法具有多種教育價值[3]，算法學(xué)習(xí)的最高境界是具有算法化的眼光．誠如弗賴登塔爾所說，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是再創(chuàng)造數(shù)學(xué)化而不是數(shù)學(xué)，抽象化而不是抽象……算法化而不是算法[4]．顧泠沅先生指出，就數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點來說，中西方的差別也非常值得注意，這對建立中國特色教育理論不可或缺．……吳先生所說的兩種思維各具特色，一直發(fā)展到當(dāng)代公理化與算法化的兩大分野．兩種思維、兩大分野的融會，也許能為數(shù)學(xué)教育新體系的建立提供思路．內(nèi)容是把數(shù)學(xué)課程與其它學(xué)科課程區(qū)別開來的決定因素，因此對內(nèi)容及其變化的研究應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究不容忽視的一個方面[5]．具有算法化的眼光，學(xué)會從算法化和算理化的角度解讀中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，作深入的知識分析，有助于理解數(shù)學(xué)之兩翼的算法和演繹之間的辯證關(guān)系，有助于獲得對數(shù)學(xué)知識的深層理解，拓展數(shù)學(xué)學(xué)科知識，獲得較高的觀點．如，通過算理與算法并重；注重算法和算理的探索過程；注重算法多樣化、優(yōu)化和通性通法的歸納，可以改進(jìn)計算的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的運算能力[6]．下面分別從算法化和算理化的視角解讀中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，打開教學(xué)內(nèi)容中所蘊藏的深刻內(nèi)涵，體會數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)特征，并期望這種知識分析的工作能為教師深層次地把握學(xué)科內(nèi)容的特點、解讀教材提供概念框架，為教師的專業(yè)發(fā)展提供底層的技術(shù)支持，發(fā)展教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識．

2 知識分析的案例

一部數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的歷史，就是以邏輯為基礎(chǔ)的演繹證明體系與算理算法為基礎(chǔ)的運算體系互為影響、互為補充、各領(lǐng)風(fēng)騷和反復(fù)消長的歷史．中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在從問題出發(fā)以解決問題為主旨的發(fā)展過程中，建立了以構(gòu)造性與機械化為其特色的算法體系，這與西方數(shù)學(xué)以歐幾里得《幾何原本》為代表的公理化演繹體系正好遙遙相對．隨著計算機的廣泛應(yīng)用和進(jìn)一步地發(fā)展以及數(shù)學(xué)研究對象的不斷擴(kuò)大，算理和算法的重要意義將日益顯現(xiàn)出來．要求學(xué)生具有算理化法和算法化的思維模式理應(yīng)是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一．

2.1 算 法 化

有條理地思考和行動，能構(gòu)造性地解決問題，問題的解決策略最好能筑基已解決的問題之上，拾級而上．

作為計算核心的算法，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的某本概念之一．算法是算理外顯于行為的、具體的、有序的活動步驟及操作過程．算法化是指具有算法的思維方式，能按算法的要求有條理、符合邏輯地思維和行動，具有把復(fù)雜問題的解決轉(zhuǎn)化成一系列有序的、有限的、前后相依的步驟的意識和能力．

案例1 代數(shù)問題解決中有序的思維方式

在解決有關(guān)無理數(shù)的問題時，人們習(xí)慣于構(gòu)造有理數(shù)數(shù)列逼近無理數(shù)；在無理式與有理式的轉(zhuǎn)化中，還形成了一句膾炙人口的口訣“分子有理化、分母有理化”，分式問題整式化；在解決無理式與有理式的轉(zhuǎn)化中，人們總是設(shè)法化“無理”為“有理”，具體地可以是兩邊平方法、換元法、討論法、圖象法等．在解決某些特殊類型的超越方程、不等式時，人們總是設(shè)法化“超越”為“平常”，即分別把超越方程化為代數(shù)方程，超越不等式化為代數(shù)不等式，自然地，在轉(zhuǎn)化過程中要注意轉(zhuǎn)化的等價性和簡潔性，具體的做法可以是利用函數(shù)的單調(diào)性、換元法等．反三角函數(shù)與三角函數(shù)是一對互逆的概念，人們對三角函數(shù)研究得更為透徹些，更為熟悉些，在解決反三角函數(shù)問題時總是三角化．這些近乎是一套基本的程式，需要深刻領(lǐng)會，注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[7]．

誠如李文林先生所說，所謂算法，不只是單純的計算，而是為了解決一整類實際和科學(xué)問題而概括出來的、帶一般性的計算方法……它們是一種歸納思維能力的產(chǎn)物，這種能力與歐幾里得幾何演繹風(fēng)格迥然不同而又相輔相成[8]．用算法化的眼光看待上述種種做法，就可以歸結(jié)為兩個字：化歸！“化繁為簡”“化難為易”，就是化歸這種基本思想方法所生成的策略．這樣，就能理解數(shù)學(xué)科學(xué)展開的邏輯、問題解決的邏輯和教材編寫的邏輯了．知識可以編織成有序的思維鏈條，后面的知識是前面知識的拓展與演化，解決有關(guān)新知識問題的方法其實就蘊含在舊知識中，關(guān)鍵是要找到進(jìn)退之法，故可以“以舊促進(jìn)”“化新為舊”．夯實舊知識、吃透舊知識，尋求新知轉(zhuǎn)化為舊知的暢通渠道，機械化路徑，就是日常教學(xué)的重要任務(wù)之一．當(dāng)新知識成了舊知識時，發(fā)展便產(chǎn)生了．

案例2 運算規(guī)則中有序的思維方式

各種運算的優(yōu)先級別是不一樣的．乘、除的運算級別是高于加減運算的．在算術(shù)中，一般是先乘除后加減．乘方、開方的運算級別是高于乘、除運算的．非、且、或的運算級別逐漸降低．高級別的運算轉(zhuǎn)化為低級別的運算有助于理解運算的可行性．如，利用對數(shù)的運算法則可以把乘、除、乘方、開方運算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除運算．這樣，不僅加快了計算速度，也簡化了計算方法，顯示了對數(shù)計算的優(yōu)越性，有以簡馭繁之效．同樣的，冪的乘積運算可轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算，冪的乘方運算可轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算．這些都體現(xiàn)了運算的可降級性．推而廣之，空間問題總可轉(zhuǎn)化為平面問題解決，高維問題總可轉(zhuǎn)化為低維問題解決．這是運算規(guī)則中內(nèi)蘊的思想方法的活化應(yīng)用．

在同級運算中，可用正運算定義逆運算，這體現(xiàn)了算法體系的和諧性．減法是這樣定義的：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；除法是這樣定義的：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)．對數(shù)運算是指數(shù)運算的逆運算，這些互逆的運算都可統(tǒng)一為基于運算的可逆性，挖掘其中的思想火花，人們還形成了一種名為“正難則反”的解題策略，反證法就是其中一種策略性方法．

數(shù)學(xué)具有逐級抽象的特點，不僅要注重具體的算法，更重要的是要尋求通性通法，歸納出更加抽象、更加綜合、更加一般化的算法．如群、環(huán)、域等抽象代數(shù)概念的發(fā)展，不管參與具體運算的元素為何物，只是研究由運算法則表達(dá)出來的抽象結(jié)構(gòu)，開辟了全新研究領(lǐng)域和思維方式．代數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：明顯不同的邏輯結(jié)構(gòu)通過類比可以得到一個很簡練的由公理構(gòu)成的核心．如按結(jié)構(gòu)的觀點，在某種意義下，加法和乘法是同構(gòu)的，減法與除法是同構(gòu)的．這樣，等差數(shù)列的研究方法及有關(guān)結(jié)論，完全可以類比到等比數(shù)列中去．這種舍棄對象本身屬性，只關(guān)注其中的代數(shù)運算本身的性質(zhì)的觀點，使得中學(xué)數(shù)學(xué)研究對象——數(shù)（或向量）、式、方程、不等式、集合（或命題）、函數(shù)、圖形間有內(nèi)在淵源了（數(shù)集間建立映射后可建立函數(shù)關(guān)系式，有些函數(shù)關(guān)系式可用解析式表達(dá)，也可用圖形表達(dá)，解析式取零值時，便成了方程，解析式何時取正值、取負(fù)值的問題便是不等式問題）．這樣針對不同的對象，可以“大膽猜想，小心求證”，類比得到一些結(jié)論和做法．這對教學(xué)及教學(xué)觀念的革新是有益的，數(shù)學(xué)注重“一招一式”，但不崇尚“一招一式”，追求普遍性、統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)化是數(shù)學(xué)的本性使然．算法化的眼光使研究者超越具體而走向一般，走向結(jié)構(gòu)整體．

案例3 演繹的幾何也能以算代證并更具操作性

笛卡爾曾指出，“一切問題化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題化為方程組，化為代數(shù)方程組，代數(shù)方程組化為一個方程，這一個方程我們就能解決．”基于這樣一種宏圖，一種不同于歐氏幾何的幾何誕生了．在平面上建立了直角坐標(biāo)系之后，就可從方程的角度研究曲線的性質(zhì)了；建立有關(guān)標(biāo)架后，向量就是研究幾何圖形性質(zhì)的有力武器了．不用標(biāo)架，不用坐標(biāo)系，張景中院士的面積法也是研究平面幾何的利器之一．沒有計算方法的介入，幾何行之不遠(yuǎn)．在歷史上，自代數(shù)從幾何的束縛下解脫出來之后，不僅代數(shù)學(xué)獲得了長足的發(fā)展，也促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展．相較于演繹法，人們更習(xí)慣于以數(shù)解形，以算代證，雖然反過來，可以以形促數(shù)，為數(shù)配形，使數(shù)更形象，更生動．

在小學(xué)，學(xué)生常常為各式各樣的算術(shù)應(yīng)用題而頭疼；在初中，常常為形形色色的幾何證明而煩惱．當(dāng)有方程之后，算術(shù)應(yīng)用題的解法困難不攻自破了，當(dāng)用代數(shù)的方法研究幾何之后，平面幾何證明的學(xué)習(xí)困難迎刃而解了．這里并不是說方程、代數(shù)的思維量更小些，而是說算法較演繹更具有操作性，算法使高深的科學(xué)走下神壇，面向普通的學(xué)生．希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》是現(xiàn)代公理化方法的開山之作，較之歐氏幾何更嚴(yán)謹(jǐn)，在其中曾給出了一類幾何問題的機械化解題方法．有學(xué)者認(rèn)為，算法體現(xiàn)出來的邏輯化特點是繼形式邏輯和數(shù)理邏輯之后邏輯學(xué)發(fā)展的第三個階段．邏輯的特點是前后有序，如果邏輯的每一步具體可執(zhí)行，邏輯就可以機械的執(zhí)行，就成了算法了．演繹是從一些命題出發(fā)，按一定規(guī)則推演新的命題的過程；計算也不外乎是按一定的算法，從一些數(shù)、函數(shù)、命題等出發(fā)，按一定的規(guī)則得出新的數(shù)、函數(shù)、命題等的過程．在某種意義，計算也可以看作演繹，故而可以以算代證．這樣，尋找蕪雜中有序的思維模式，尋求研究方法的革新就是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種進(jìn)化方向了．

算法采用有限遞歸構(gòu)造和有限非遞歸構(gòu)造的問題解決策略，算法的每一步做什么具體而明確，前一步和后一步之間有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，不可隨便倒置．算法化的思維要求人們能有條理地思考和行動，要求人們能精心謀劃，能構(gòu)造性地解決問題，問題的解決策略最好能筑基已解決的問題之上，一步一個腳印，拾級而上．這些是富于教育意義的，是培養(yǎng)心性、養(yǎng)成縝密思考方式的極好素材．

2.2 算 理 化

行動和思想同源同構(gòu)，行動可以有序機械地實施，思想亦然，有序而自由地思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求．

算理是算法的思維本質(zhì)，算法是算理的外在表達(dá)形式，是避開了復(fù)雜思維過程的程式化的操作步驟．教學(xué)實踐表明，學(xué)生即使不明算理，也能學(xué)會算法．但是只知“列方程解算術(shù)題”、“建直角坐標(biāo)系，用向量法解立體幾何題”并不是學(xué)習(xí)方程、向量的初衷．沒有對方程、向量等基本概念的深刻理解，不能認(rèn)識到方程、向量概念引入之于數(shù)學(xué)的重要意義，雖能熟練操作，卻不能改進(jìn)這些算法，并在此基礎(chǔ)上提出新的算法，也不能算學(xué)到了真功夫．理解遠(yuǎn)不止于會計算[9]．明算理，識算理乃是第一位的．前蘇聯(lián)心理學(xué)家列昂節(jié)夫指出，內(nèi)部活動與外部活動并不分離，內(nèi)部活動和外部活動具有共同的結(jié)構(gòu)[10]．內(nèi)部心智活動外顯于一系列由操作組成的行動．真正地從算法化的視角對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作深度知識分析，還應(yīng)能深入到算理化的層面．

案例4 代數(shù)系統(tǒng)的擴(kuò)張

帶有運算的集合叫代數(shù)系統(tǒng)．代數(shù)系統(tǒng)的基本通性就是努力保持其所具有的運算律，這是一條基本原則．如，在數(shù)系的屢次擴(kuò)張中，起內(nèi)在突出作用的是運算的封閉性．整數(shù)對除法的不封閉導(dǎo)致有理數(shù)的出現(xiàn)，有理數(shù)對開方的不封閉導(dǎo)致無理數(shù)的出現(xiàn)，正數(shù)對減法的不封閉導(dǎo)致負(fù)數(shù)的出現(xiàn)．負(fù)數(shù)不能開平方問題導(dǎo)致虛數(shù)的問現(xiàn)．由于虛數(shù)的出現(xiàn)，解決了n次多項式根的存在性問題，無需再擴(kuò)大數(shù)系．又如，在指數(shù)概念的推廣中，為了保留正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，逐步形成了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．在擴(kuò)大研究對象的同時，要盡可能多地保留原有的運算律，這是推廣數(shù)學(xué)概念的一個基本原則．

任何事物都有兩面性．作為代數(shù)系統(tǒng)核心的運算律也是如此．各種運算律都是對偶地出現(xiàn)的．如：減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，這是人皆共知的常識．從運算律的互逆性上生發(fā)新概念是一種常見的方法．如，已知底數(shù)和指數(shù)，求冪的運算就是指數(shù)運算，反之，已知底數(shù)和冪，求指數(shù)的運算就是指數(shù)運算的逆運算——對數(shù)運算．那么什么叫對數(shù)呢？這時，矛盾聚集在指數(shù)上，給其一個新名稱——對數(shù)．這正如在 MAB= 中，A叫被乘數(shù)，B叫乘數(shù)；而在，A≠0中，A叫除數(shù)，B叫商．道理是相通的．用這樣的方式講授新概念的發(fā)生，破除了數(shù)學(xué)知識的神秘感，使學(xué)生感受到了新知識生發(fā)于舊知識中，也起到以舊促新的作用．反函數(shù)的出現(xiàn)，補集的出現(xiàn)，命題的否定，負(fù)矢量的出現(xiàn)，無一不是追求運算律互逆的結(jié)果．更進(jìn)一步，還可以發(fā)展到對偶的概念，通過某個對合算子，把一種概念、公理或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為另一種概念、公理或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．正弦和余弦是對偶的，正切和余切是對偶的，射影幾何中的笛沙格定理指出點與直線是對偶的．利用對偶性，可使復(fù)雜的問題變得條理清楚，脈絡(luò)分明，能化難為易、化繁為簡．

張奠宙先生曾指出，數(shù)學(xué)不僅要講推理，更要講道理．推理，就是演繹，一步一步的；道理，則是推理后面的理由、理據(jù)．說理不一定非得以演繹的方式進(jìn)行[11]．算法是可以機械式地執(zhí)行，之所以如此，是由于算理被封裝了，算理和使用者之間不用直接接觸，故而，人們可以有口無心地誦讀“不管三七二十一”，而不必知道加法公理．然而，華羅庚先生在強調(diào)計算的同時，也強調(diào)“思想”對于學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的重要性．他認(rèn)為技術(shù)與思想是數(shù)學(xué)的兩個重要側(cè)重方面，后者應(yīng)該較前者更重要[12]．?dāng)?shù)學(xué)課需不需要講授之法，研究者認(rèn)為是需要的，這些根本之算理需要講授，這些“做”數(shù)學(xué)的基本法子，需要有條理、深入淺出地闡述出來．

案例5 數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)對象的不擴(kuò)大，出現(xiàn)了一些新的研究領(lǐng)域和新的研究對象．對每個具體的研究對象而言，還具有一些新的運算律，一些新的概念相應(yīng)于新的運算律而產(chǎn)生了．如，集合具有交、并、補3種運算律，命題具有或、且、非3種運算律，這些都不同于數(shù)的運算律，但又有類似的地方．“并”運算類似于“加法”，“補”運算類似于“減法”．在運算律的基礎(chǔ)上形成了交集、并集、或命題、且命題、非命題等一系列概念．又如，函數(shù)也具有加、減、乘、除等常見的四則運算，但僅這4種運算還不能構(gòu)造一些函數(shù)，如 y = 2x+1，等等．這個函數(shù)并不是一個指數(shù)函數(shù)，它是函數(shù)的函數(shù)，是 u =x+1與y = 2u復(fù)合而成的函數(shù)．此復(fù)合函數(shù)遵循的是另外一種運算——復(fù)合運算．不管它遵循什么樣的運算律，歸根到底，還不失函數(shù)的三大要素，理解復(fù)合運算律就應(yīng)從這3方面著手，并且還要對復(fù)合的過程逐層有序地分解，還其本來面目．?dāng)?shù)學(xué)雖然枝椏縱橫，但在擴(kuò)張過程中還保持了算理的內(nèi)在一致性．

另外，用任何對象都遵循一定的算理這個觀點來看待圖形（或圖象）的各種變換，使人們的眼界為之一亮．圖形（或圖象）的各種變換事實上也是一種運算．如：對稱變換、平移變換是合同（全等）變換，伸縮變換是相似變換．各種變換還可以復(fù)合．實數(shù)集與直線上的點集同構(gòu)，都是有序、連續(xù)結(jié)構(gòu)，點可變換成線，線可變換成面，面可變換成體．這時，“數(shù)”與“形”還有本質(zhì)的區(qū)別嗎？沒有！有消元法，就有消點法；有面積法，就有行列式法．?dāng)?shù)與形可以結(jié)合，可以對等！當(dāng)初笛卡爾的指導(dǎo)思想是建立一種普遍的數(shù)學(xué)，使算術(shù)、代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來．舍棄具體對象的具體屬性，僅保留運算律，各種數(shù)學(xué)對象就可以統(tǒng)一起來了．如，拓?fù)鋵W(xué)家眼中的正方形和圓就沒有什么區(qū)別，它們可以變來變?nèi)ィ@樣，代數(shù)獲得了不同的形式，幾何也用獲得了不同形式，正如可以用方程研究曲線，也可以用矩陣來研究變換，用群論來研究對稱．其中的道理是一樣的：用代數(shù)的方法研究幾何．

遷移是教育心理學(xué)中的一個重要概念，原有知識的可利用性、新舊知識的可辨別性是影響學(xué)習(xí)遷移的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量[13]．知識分析的目的就是要分析新舊之間的異同點及內(nèi)在統(tǒng)一性，能讓學(xué)生在不同對象之間實現(xiàn)有序的遷移．平行遷移，平行推廣是容易的，難的是縱深推廣，縱向遷移．康德曾言，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于自由．這讓初學(xué)數(shù)學(xué)的人有點望而生畏，數(shù)學(xué)就是“兩耳不聞窗外事”的數(shù)學(xué)家苦心孤詣的形式結(jié)果？明算理，就知道數(shù)學(xué)雖然有自由創(chuàng)造的一方面，但卻也不是天馬行空．有時，自由的思想，如混沌現(xiàn)象一樣，在淺層次上是雜亂蕪雜的，但在高一層次看，卻是有章可循的．明算理的目標(biāo)之一，就是要讓思想、行為更加有序、更加有條理．現(xiàn)在，探究性學(xué)習(xí)這樣一種擬科學(xué)研究的學(xué)習(xí)方式進(jìn)入了課堂，然則如何探究，如何有序的探究，體現(xiàn)有序而自由的思想，卻是需要進(jìn)行教育教學(xué)研究的．“導(dǎo)而弗牽”等教育性理念雖有啟發(fā)意義，但還不能轉(zhuǎn)化為具體的教學(xué)措施，需要在教學(xué)實踐中發(fā)展具體性的技法．

3 知識分析的教育意蘊

對任何一門學(xué)科而言，存在相互聯(lián)系的3種意義：文本作者的原意；文本本身的意義；讀者領(lǐng)悟的意義[14]．與此相對就有3種人：知識的“生產(chǎn)者”，即數(shù)學(xué)家；知識的“傳播者”，即教師；知識的“接受者”，即學(xué)生．學(xué)生能否領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家的原意，取決于傳播者是否完全無誤地再現(xiàn)了文本作者的原意，接受者是否反復(fù)體味了文本本身的原意．其中，教師對文本所作的知識分析對學(xué)生的影響是至關(guān)重要的．誠如 Lehrer所說，認(rèn)知源于連貫性、接受性及真實性（合理性）的完美組合[15]．從算法化的視角分析中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，旨在溝通不同分支的數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，看到數(shù)學(xué)內(nèi)在和諧性，這曾經(jīng)是法國布爾巴基學(xué)派的宏偉主張．在教學(xué)上，這種主張就是要求學(xué)生能夠?qū)W會有序地縱橫聯(lián)想，如，圓的性質(zhì)能否推廣到橢圓？方程和不等式之間的異同點在何處？平面上的結(jié)論能否推廣到空間等．從算法化的視角分析中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，旨在使學(xué)生看到新舊之間有內(nèi)在聯(lián)系，把新知識筑基于舊知識之上，找到認(rèn)知的固著點，增強知識的可接受性．從算法化的視角分析中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，旨在使學(xué)生看到數(shù)學(xué)發(fā)展、成長之路徑的合理性，雖有時是在意料之外，細(xì)細(xì)想來卻著實在情理之中，如虛數(shù)的產(chǎn)生，等等．

北京大學(xué)老校長蔡元培早在1918年北大開學(xué)典禮上就曾倡言：“大學(xué)為純粹研究學(xué)問之機關(guān)，不可視為養(yǎng)成資格之所，不可視為販賣知識之所．”教學(xué)即是研究，而非現(xiàn)成知識技能的傳遞與訓(xùn)練．作為學(xué)科教師的立身之基，首要的是基于自己經(jīng)驗和知識對所教學(xué)科之“學(xué)科知識”進(jìn)行再研究．但在目前，一提到教師培訓(xùn)、業(yè)務(wù)研討，大家想到的都是數(shù)學(xué)教育的理念，數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，而數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)科知識本身則受到冷落[16]．其實，對所教學(xué)科的深刻與靈活的理解是教師的基本功．對學(xué)科內(nèi)容、學(xué)科本質(zhì)以及學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)哪些重要內(nèi)容的深刻理解，決定著教學(xué)目標(biāo)的取舍、教材及教學(xué)策略的選取、學(xué)生評價的內(nèi)容與方法，直接影響著教師的教學(xué)實踐．研究者曾經(jīng)表述過這樣的觀點，教育理念不一定外在于學(xué)科知識，學(xué)科知識也可以產(chǎn)生教育上的見解[17]．陶行知先生也曾指出，“我們要有自己的經(jīng)驗做根，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識方才可以接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機體部分，即‘接知如接技’．”新舊知識間該如何“嫁接”，如何對學(xué)科知識作深度知識分析？這樣的分析棱鏡該取自哪個學(xué)科？求人不如求己，向?qū)W科本身“挖潛”應(yīng)該是一條路子，希望通過基于學(xué)科根本特點的知識分析有助于教師擺脫知識表層意義的獲得，使教師獲得有關(guān)知識的深層意義，獲得教育教學(xué)上的見解，從而改進(jìn)教學(xué)．

[1] 韓正之．通向完美的橋梁——數(shù)學(xué)方法論[M]．上海：上海交通大學(xué)出版社，2006．

[2] M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想[M]．張里京譯．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2009．

[3] 李建華．算法及其教育價值[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（4）：46-47．

[4] 弗賴登塔爾．?dāng)?shù)學(xué)教育再探[M]．劉意竹，楊剛譯．上海：上海教育出版社，1999．

[5] 黃榮金，李業(yè)平．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[M]．上海：上海教育出版社，2012．

[6] 徐彥輝．論數(shù)學(xué)計算及其教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（4）：19-22．

[7] 章建躍．注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（3）：49．

[8] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[9] 原登慧，李俊[J]．理解遠(yuǎn)不止于會計算[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（1）：55-57．

[10] 阿·尼·列昂節(jié)夫．活動·意識·個性[M]．上海：上海教育出版社，1999．

[11] 曹廣福，葉瑞芬．例論非數(shù)學(xué)專業(yè)同樣需要數(shù)學(xué)思想[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（3）：1-3．

[12] 徐利治口述．20世紀(jì)中國科學(xué)口述史：徐利治訪談錄[M]．袁向東，郭金海訪談?wù)恚L沙：湖南教育出版社，2009．

[13] 皮連生．教育心理學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，2004．

[14] 張華．我國普遍主義教學(xué)方法論：反思與超越[J]．全球教育展望，2009，（9）：8-15．

[15] Lerer K. Theory of Knowledge [M]. Boulder, CO: Westview, 1990.

[16] 李祎．學(xué)會追問“數(shù)學(xué)”——數(shù)學(xué)教師成長的重要階梯[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2011，（11）：1-4．

[17] 徐章韜，顧泠沅．面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識[J]．教育發(fā)展研究，2011，（3）：49-53．