曾曉勤，何嘉晟

(河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，江蘇南京 210098)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于參數(shù)擾動(dòng)的敏感性是衡量網(wǎng)絡(luò)性能的重要尺度，如衡量容錯(cuò)性能與泛化性能等。目前有關(guān)學(xué)者已從不同角度、采用不同方法對不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型做了許多研究［1-6］，研究結(jié)果被應(yīng)用于解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域里的一些熱點(diǎn)問題，如提高網(wǎng)絡(luò)容錯(cuò)性能與泛化性能［7-8］、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和屬性的篩選［9-10］、改進(jìn)學(xué)習(xí)算法［11-12］等。筆者擬在Zeng等［5-6］的研究基礎(chǔ)上，通過函數(shù)逼近來避免求解多重積分，推導(dǎo)2層前饋連續(xù)型單隱層感知機(jī)(MLP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對權(quán)擾動(dòng)的敏感性計(jì)算公式。推導(dǎo)中只要求輸入層輸入的分量相互獨(dú)立，不再假設(shè)隱層輸入的分量必須相互獨(dú)立，使得計(jì)算出的敏感性更符合實(shí)際情況，也在一定程度上提高了計(jì)算精度。

1 MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及符號定義

通常情況下，設(shè)一個(gè)MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有L層，第l(1≤l≤L)層有nl(nl≥1)個(gè)神經(jīng)元。對第i(1≤i≤nl)個(gè)神經(jīng)元，輸入為 Xl=(xl，1，xl，2，…，xl，nl-1)T，輸入擾動(dòng)為 ΔXl=(Δxl，1，Δxl，2，…，Δxl，nl-1)T，它的權(quán)為 Wl，i=(wl，i1，wl，i2，…，wl，inl-1)T，它的權(quán)擾動(dòng)為 ΔWl，i=(Δwl，i1，Δwl，i2，…，Δwl，inl-1)T，偏置為bl，i，激活函數(shù)為fl(x)，輸出為yl，i=fl(XlT·Wl，i+bl，i)。對于第l層，每一個(gè)神經(jīng)元的輸入都是相同的 Xl。層權(quán)為 Wl={Wl，1，Wl，2，…，Wl，nl}，輸出為 Yl=(yl，1，yl，2，…，yl，nl)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入是第 1 層的輸入 X1，輸出是最后一層的輸出YL。

MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由若干個(gè)神經(jīng)元組合成層，然后層與層之間前后連接構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。相鄰層的神經(jīng)元全連接，同一層與非相鄰層的神經(jīng)元無連接，除了輸入層與輸出層之外的層都稱為隱層。不計(jì)輸入層，其余每一層的輸入都是前一層的輸出。同一層每一個(gè)神經(jīng)元都有相同的激活函數(shù)fl(x)，常見的激活函數(shù)為S形函數(shù):

在解決某些問題時(shí)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)輸出范圍的要求，輸出層的激活函數(shù)可能設(shè)為線性函數(shù):

筆者只討論單隱層的MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即L=2，因?yàn)橐呀?jīng)證明，只要隱層神經(jīng)元數(shù)目足夠多，單隱層的MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任意的連續(xù)函數(shù)［13］。本文用E(x)，D(x)，φ(x)分別代表隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望、方差、密度函數(shù)。

2 MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)擾動(dòng)敏感性定義

在MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)輸出會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化。MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)敏感性就是反映參數(shù)改變對網(wǎng)絡(luò)輸出的影響程度。敏感性的定義通常不唯一?，F(xiàn)實(shí)中，網(wǎng)絡(luò)輸入或者權(quán)發(fā)生擾動(dòng)最為常見。筆者主要研究權(quán)擾動(dòng)產(chǎn)生的輸出擾動(dòng):在隱層中Xl也有擾動(dòng)，這是因?yàn)镸LP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前一層權(quán)的改變會(huì)影響后一層的輸入。對于一個(gè)訓(xùn)練好的MLP 神 經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它的 Wl，i，bl，i都是確定的，理論上只要有 Xl和 Δ Wl，i就可以計(jì)算得到 Δyl，i。在定義敏感性時(shí)，把網(wǎng)絡(luò)的輸入看作是隨機(jī)變量，其他參數(shù)都視為常數(shù)，這樣的敏感性是基于所有輸入的敏感性。又由于輸入擾動(dòng)產(chǎn)生的影響可正可負(fù)，為避免求期望時(shí)正負(fù)相消，敏感性便定義為輸出變化絕對值對所有輸入的期望。

定義1:對第l(1≤l≤L)層的第i個(gè)神經(jīng)元，定義它的敏感性sl，i是 Δ Wl，i的函數(shù):

定義2:第l層的敏感性定義為該層所有神經(jīng)元的敏感性構(gòu)成的向量:

定義3:整個(gè)MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的敏感性定義為輸出層的敏感性:

3 MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)擾動(dòng)敏感性計(jì)算公式推導(dǎo)

對于單隱層MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，需要計(jì)算的敏感性只有2個(gè)，即隱層和輸出層的敏感性。在本文的計(jì)算過程中，始終假設(shè)輸入層的輸入分量x1，i是相互獨(dú)立的。

3.1 隱層神經(jīng)元的敏感性

第1層第i個(gè)神經(jīng)元的敏感性為

為簡化推導(dǎo)過程，作如下符號替換:

因?yàn)榧せ詈瘮?shù)(S形函數(shù))是單調(diào)遞增函數(shù):

因此要得到s1，i，只需要計(jì)算E(f1(z1，i+ Δz1，i+b1，i))和E(f1(z1，i+b1，i))。

根據(jù)期望的定義，有

式(10)為一個(gè)n0重積分，直接計(jì)算很難。筆者使用Remez算法 將激活函數(shù)f1(x)逼近為一個(gè)多項(xiàng)式之和，同時(shí)式中的每一項(xiàng)可以繼續(xù)展開。Remez算法是采用逐次逼近思想的求連續(xù)函數(shù)最佳一致逼近多項(xiàng)式的近似算法。對于一個(gè)給定的連續(xù)函數(shù)，可以找到在給定區(qū)間上的p次最佳一致逼近多項(xiàng)式P(x):

式中:p——多項(xiàng)式的最高次，且當(dāng)它取值越大時(shí)，f1(x)和P(x)的差距越小;ct——多項(xiàng)式系數(shù)，對于給定的p和f1(x)，在指定區(qū)間內(nèi)，可以通過Remez計(jì)算得到。

將式(11)代入式(10)，可得E(f1(z1，i+ Δz1，i+b1，i))的逼近多項(xiàng)式為

將式(12)中的(z1，i+ Δz1，i+b1，i)t進(jìn)行多項(xiàng)式展開，并求期望得

式中:ak——非負(fù)整數(shù)，0≤ak≤t——取遍所有使得a1+a2+…+an0+an0+1=t成立的ak序列;φ(x1，1)，φ(x1，2)，…，φ(x1，n0)——每一維輸入的密度函數(shù)，多數(shù)情況下它們是不同的。

經(jīng)過類似推導(dǎo)可得

3.2 輸出層神經(jīng)元的敏感性

對于單隱層MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層，第k個(gè)神經(jīng)元的敏感性為

為求s2，k，只需要求得E(f2((X2+ Δ X2)T·(W2，k+ Δ W2，k)+b2，k))和E(f2(X2T·W2，k+b2，k))。

由于s1，i已知，令b2，k'=s1，q(w2，kq+ Δw2，kq)+b2，k(常數(shù)替換不影響后面計(jì)算)，并將E(f2((X2+ΔX2)T·(W2，k+ Δ W2，k)+b2，k))進(jìn)行多項(xiàng)式逼近，得

由于輸入層的輸入分量x1，s是相互獨(dú)立的，于是計(jì)算期望時(shí)的多重積分可以變?yōu)橐恢胤e分的積，因此式(17)是可計(jì)算的。由于已經(jīng)證明單隱層MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任意連續(xù)函數(shù)，因此本文算法解決了MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)擾動(dòng)敏感性的計(jì)算問題。

4 算法驗(yàn)證

以UCI數(shù)據(jù)集［15］為基礎(chǔ)，通過對比MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)敏感性的模擬值和算法得到的理論值驗(yàn)證所提算法的準(zhǔn)確性。筆者采用MATLAB 7.11.0(R2010b)版本的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱獲取模擬值，MATLAB獲取理論值。

從UCI數(shù)據(jù)集中取出iris，wine，vehicle共3組數(shù)據(jù)集，針對每組數(shù)據(jù)集訓(xùn)練幾個(gè)不同的MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。訓(xùn)練完畢后，隨機(jī)生成1萬個(gè)正態(tài)分布的權(quán)擾動(dòng)值。然后將輸入再次輸入網(wǎng)絡(luò)，得到MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)擾動(dòng)敏感性的模擬值。將權(quán)擾動(dòng)值、網(wǎng)絡(luò)輸入、權(quán)等代入式(16)(17)可得到理論值。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:實(shí)驗(yàn)1，iris與wine數(shù)據(jù)集，輸入維數(shù)為4，輸出維數(shù)為1，輸入樣本數(shù)為150，網(wǎng)絡(luò)均方誤差均小于0.005，權(quán)擾動(dòng)期望為0，方差為0.1;實(shí)驗(yàn)2，iris數(shù)據(jù)集，輸入維數(shù)為4，輸出維數(shù)為1，輸入樣本數(shù)為150，網(wǎng)絡(luò)均方誤差均小于0.005，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為5，權(quán)擾動(dòng)期望為0，方差分別為0.05，0.3，0.5;實(shí)驗(yàn)3，vehicle數(shù)據(jù)集，輸入維數(shù)為18，輸入樣本數(shù)為878，網(wǎng)絡(luò)均方誤差均小于0.01，隱藏節(jié)點(diǎn)數(shù)為7，權(quán)擾動(dòng)期望為0，方差為0.1。

從模擬結(jié)果(表1～3)可以看出，模擬值與理論值有一定的差異，但是就趨勢而言，基本保持一致。也就是使用本算法計(jì)算出的理論值可以作為一個(gè)相對尺度來應(yīng)用。

表1 iris和wine數(shù)據(jù)集不同隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的模擬結(jié)果Table 1 Simulated results of sensitivity for nodes of different hidden layers(iris and wine datasets)

表2 iris數(shù)據(jù)集不同權(quán)擾動(dòng)方差的模擬結(jié)果Table 2 Simulated results of sensitivity for different variances of weight perturbation(iris dataset)

5 結(jié) 語

在將MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)敏感性定義為輸出變化絕對值對所有輸入的期望的基礎(chǔ)上，通過Remez算法推導(dǎo)了敏感性的近似計(jì)算公式。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果表明，敏感性的理論值能較好地逼近模擬值，兩者間的誤差由算法中使用函數(shù)逼近所致。在逼近過程中選用的多項(xiàng)式次數(shù)越高，則計(jì)算精度越高;無論多項(xiàng)式次數(shù)的多少，理論值和模擬值的變化趨勢基本上保持一致。

表3 vehicles數(shù)據(jù)集激活函數(shù)為S形函數(shù)與線性函數(shù)的模擬結(jié)果Table 3 Simulated results of sensitivity for different activation functions(vehicle dataset)

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