崔昕昕

(西安電子科技大學 電子工程學院，陜西 西安710071)

時差法(Time Differences of Arrival，TDOA)是當前高精度無源定位的主要方法之一。在眾多領域內(nèi)具有廣泛應用，例如雷達、聲納、地理以及生物醫(yī)學等?；镜臅r差估計方法包括廣義相關法、廣義雙譜估計法、全波形比較法及自適應估計法等［1］。

在時差估計算法中，相關時差估計算法［2］是最經(jīng)典的算法之一。其通過求得站間接收信號的自相關函數(shù)與互相關函數(shù)最大峰值出現(xiàn)的時間差來估計站間時差。

雷達偵察機前端的信號頻率通常效高，對數(shù)字采樣提出了高要求，在這種情況下，欠采樣方法［3］就顯得尤為重要。如何將高頻信號通過合理的采樣頻率恢復出來，是一個實際問題。

本文的重點是通過多周期取點采樣法，在欠采樣的條件下對相關時差算法和時差估計時多普勒頻移造成的誤差進行分析，并做相應校正。

1 信號模型

TODA定位系統(tǒng)，如圖1所示。由于各觀測站在空間中位置不同，接收到的信號之間存在著時差，即站間時差。利用站間時差通過特定的算法可確定目標信源的位置。

圖1 TDOA系統(tǒng)

假設目標信源是運動的，則信源和觀測站的空間位置與速度可以分別表示為

其中，xT和vT分別是目標信源的坐標和速度;xOi是第i個觀測站點的坐標。各觀測站上信號的到達時間和彼此之間的時差可表示為

其中，Ri表示目標信源和第i個觀測站之間的距離;τ0i表示信號到達第i個觀測站的時間;τij表示第i個和第j個觀測站之間的時延，即站間時差;c表示光速。

由于目標和觀測站之間存在相對運動，觀測站接收到的信號不僅存在時延，還存在著多普勒頻率。假設目標輻射出的高頻信號為s(t，f)是單載頻脈沖信號，脈內(nèi)調(diào)制的載波頻率為f，脈寬為T，φ為脈沖初始相位。則信號可表示為

一般為計算方便，設φ=0。到達第i個觀測站的信號可表示為s(t－τ0i，f－fdi)，其中fdi為對應的多普勒頻率，表示為

若觀測站同樣是運動的，則上式需改為

其中，vi是第i個觀測站的運動速度矢量。當噪聲存在時，第i個觀測站上觀察到的信號如下

其中，ni(t)是第i個觀測站上的噪聲。

2 相關時差算法

常規(guī)雷達信號可表示為如下形式

如果不考慮初始相位φ和幅度a(t)，上式可簡化為s(t)=cos(2πfct)，其中fc是載波頻率。以采樣頻率fs進行采樣后的數(shù)字信號可表示為s(k)=cos(2πkfc/fs)。

由奈奎斯特采樣定理可知，當采樣頻率大于奈奎斯特采樣頻率，即fs≥2fc時，可以無失真地恢復出原信號，從而進行后續(xù)的處理，并可得到準確的時差估計。但在實際應用中，雷達信號的頻率通常較高［4］，即使在中頻端也要數(shù)百MHz，且工程中的采樣頻率一般選擇為奈奎斯特采樣頻率的3～5倍，即過采樣。這對采樣提出了更高的要求，因此有時較難實現(xiàn)。

在時差估計的應用中，采樣頻率的選擇除了要考慮信號的恢復，還要考慮到避免估計結(jié)果的模糊性。解決這一問題的基本思路是:利用數(shù)字信號的特點，在欠采樣的條件下，得到和過采樣時相同的樣點值，便能得到相同的時差估計結(jié)果。根據(jù)正弦信號的周期性，只要選擇合適的采樣頻率，即可實現(xiàn)上述思想，同時也可靈活地調(diào)節(jié)采樣頻率。

在完成對信號的采樣恢復后，便可通過各站上的接收信號求時域相關，得到站間時差［5］，進而通過TDOA算法確定目標信源位置。

假設空間中存在兩個觀測站，由上節(jié)可知，觀察到的信號如下

其中，為了計算方便，將觀測站1上接收的信號時延看做時間零點，并將其增益視為1，其中，γ表示觀測站2上的信號相對于觀測站1的增益;Δf12=fd1－fd2表示觀測站1和站2接收信號的載頻差。

根據(jù)信號時域相關的定義，可得觀測站1接收信號的自相關函數(shù)為

式中，將自相關分為信號部分Rs(τ)和噪聲部分Rn(τ)。由于信號和噪聲各不相關，因此顯然有Rn(τ)=σ2·δ(τ)。同時，觀測站1和2接收信號的互相關函數(shù)為

從以上兩式中可觀察出:當各站與目標的相對徑向速度相等或均為0時，站間接收信號的載頻是相同的，因此有觀測站間接收信號互相關函數(shù)波形是由單站接收信號自相關函數(shù)波形平移所得，即

其中，平移量正好為站間時延τ12;放大系數(shù)為γ。因此只要找到兩個函數(shù)波形各自的最大值，便可方便快速地求出精確的站間時差，如圖2所示。

圖2 相關法測時差原理

兩個相關函數(shù)的峰值差就是兩站接收信號的時差τ12［8－9］。

3 多普勒誤差校正

然而當各站與目標的相對徑向速度不相等時，由于站間接收信號的載頻不再相同，R11(τ)和R12(τ)的函數(shù)波形也不再完全相同。此時再取兩個函數(shù)波形的最大值，獲得的是存在誤差的站間時差估計值12［10］。

其中，ω=2πf1，表示觀測站1上接收信號載頻的角頻率;同理，Δω=2πΔf12，表示站間多普勒角頻率。a和b是實際的積分上下限，變換后的積分上限表示如下

可以將積分域分成3種情況討論，如圖3所示。

圖3 兩觀測站脈沖區(qū)域關系

圖3中，實線部分表示脈沖存在區(qū)域，虛線部分表示脈沖外區(qū)域，有效的積分區(qū)域應當是兩觀測站信號脈沖均存在的區(qū)域。

由于高頻載波相關的特性，一般來說較寬的積分域?qū)^大的積分值。因此，認為互相關函數(shù)的最大峰值出現(xiàn)在第2段積分域內(nèi)，在這種情況下式(12)可化簡為

由于Δω?ω，根據(jù)時域相關的特性，互相關的最大值在積分域最接近τ12的極值點取到。對互相關函數(shù)求一階導可得

進而有時差估計的絕對誤差約等于

通過以上分析可知，相關法估計時差誤差與多普勒頻率近似成正比。

綜上所述，站間多普勒頻率差會導致額外的估計誤差。此種誤差可通過頻域相關處理來進行校正。

設觀測站1和2接收到的信號的傅里葉變換分別為F1(ω)和F2(ω)。顯然由于兩觀測站接收的是同一目標信源發(fā)射的信號，因此兩個信號的頻域波形相同，且只相差一個平移，平移量正好為站間多普勒頻率差Δω，即

則接收站1和2上接收信號的頻域互相關函數(shù)為

本文主要通過一維搜索法找到頻域相關的最大值，進而得到多普勒頻差的估計值Δ。得到頻差估計值后，就可以對觀測站2上的信號進行頻差校正

利用校正后的信號與接收站1上的接收信號進行互相關，可有效的減小由多普勒頻率導致的站間時差估計誤差。

4 仿真結(jié)果分析

以下給出了相關時差估計算法的計算機仿真，以及不同參數(shù)變量情況下的估計誤差分析。

假設空間中存在著一個目標信源和兩個觀測站。目標信源發(fā)射高頻脈沖信號，脈內(nèi)載頻為5 GHz，脈寬為1μs。觀測站接收信號時的A/D采樣率為400 MHz，在欠采樣的條件下，通過多周期取點采樣法完成對信號的恢復。實際站間時差為0.66μs。當信噪比分別為10 dB、－7.5 dB以及－25 dB時，站間接收信號的自相關和互相關函數(shù)比較如圖4～圖6所示。

圖4～圖6中，每個圖的子圖(a)表示完整觀測時間內(nèi)的相關函數(shù)，子圖(b)表示相關函數(shù)最大峰值部分的放大示意圖?？梢钥闯觯斝旁氡葹?0 dB和－7.5 dB時，相關函數(shù)均有明顯峰值，估計誤差約為0.01μs，這個精度由采樣率導致的數(shù)字時間間隔決定。當信噪比為－25 dB時，相關函數(shù)的最大峰值不再明顯，而估計誤差明顯增大，上升約為之前的百倍。

圖4 SNR為10 dB時相關法估計誤差

圖5 SNR為－7.5 dB時相關法估計誤差

圖6 SNR為－25 dB時相關法估計誤差

而當信噪比在－25～10 dB的范圍內(nèi)變化時，算法估計誤差的變化規(guī)律如圖7所示。

從圖7中可看出，當信噪比小于一定門限時，估計誤差會隨著信噪比降低小幅提升，但總體上說，時差估計還是較為準確的。但當信噪比低過門限時，估計誤差大幅上升，即可以認為此時出現(xiàn)了“跳周”誤差。在此仿真環(huán)境中，“跳周”門限約在－17 dB。

圖7 不同信噪比對相關法估計誤差的影響

保持仿真信號環(huán)境不變，且將信噪比控制在“跳周”門限內(nèi)。當采樣頻率在范圍內(nèi)變化時，估計誤差的變化情況如圖8所示。

圖8 不同采樣頻率對相關法估計誤差的影響

圖8是在完成400次獨立重復實驗后所得出的。從圖中可看出，在信噪比門限內(nèi)，時差估計誤差大約和采樣時間間隔在一個量級上。間隔越小，估計精度越高，但計算量也隨之上升。

保持圖8中的仿真環(huán)境，當站間多普勒頻率差變化時，算法估計誤差的變化情況以及校正多普勒頻差后的估計誤差變化情況如圖9所示。

圖9 相關法估計誤差的多普勒校正

圖9同樣是在完成400次獨立重復實驗后得出的。從圖中可看出，一般情況下估計誤差與站間多普勒頻差近似成正比。當經(jīng)過多多普勒頻率差校正后，估計誤差不再隨多普勒頻差增大而增加，而是在一個相對較小的范圍內(nèi)震蕩。

5 結(jié)束語

本文對TDOA定位技術中的時差相關估計算法進行了研究，并對其估計誤差進行了分析。研究表明，理論上利用高頻載波進行相關的估計算法具有較高的精度。由于利用了信號噪聲不相關的特性，即使在信噪比較低的情況下，算法仍具有較高的精度。

而在實際運用中，算法精度更大程度上是由A/D采樣率，即采樣頻率所決定的。時差估計精度和采樣頻率處在同一量級上。

同時還證明了多普勒頻率對估計誤差也有影響。在滿足信噪比門限的情況下，估計誤差和站間多普勒頻率差近似的成正比。通過頻域相關處理可校正該誤差，并達到更好的估計性能。

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