解朦朦，王勇超

(西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710071)

擴(kuò)展頻譜通信技術(shù)是常用的通信抗干擾技術(shù)。從原理上講它能有效地對(duì)抗窄帶干擾、多頻干擾，而且擴(kuò)頻增益越高，其干擾容限也越大。其較強(qiáng)的抗干擾、抗衰落和抗多徑性能以及頻譜利用率高、多址通信等諸多優(yōu)點(diǎn)越來(lái)越為人們所認(rèn)識(shí)，并被廣泛應(yīng)用于軍事通信和民用通信的各個(gè)領(lǐng)域。但當(dāng)干擾幅度較大時(shí)，單純的擴(kuò)頻通信體制對(duì)干擾的抑制不夠，就會(huì)造成大量誤碼，使通信系統(tǒng)的性能降低。因此，有必要考慮在解擴(kuò)前加預(yù)處理模塊，進(jìn)行抗干擾處理。由于擴(kuò)頻信號(hào)的頻譜類似于白噪聲頻譜，采用自適應(yīng)濾波進(jìn)行譜白化可以有效削弱這樣的強(qiáng)干擾以獲得更高的干擾容限。在雷達(dá)、通信等系統(tǒng)中，實(shí)際信號(hào)可能包含同相和正交分量，其樣本為復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)自適應(yīng)陷波器也逐漸被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域［1－2］，針對(duì)信號(hào)中含有的多個(gè)單/多頻信號(hào)，本文給出了一種基于LMS算法以及LBFGS算法的二階復(fù)數(shù)自適應(yīng)陷波器的實(shí)現(xiàn)方案。仿真結(jié)果表明，這種級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的復(fù)數(shù)自適應(yīng)陷波器能快速跟蹤并有效抑制強(qiáng)單/多頻信號(hào)，對(duì)輸入的寬帶信號(hào)損傷小。

1 一階限制零極點(diǎn)自適應(yīng)復(fù)數(shù)陷波器分析

一階限制零極點(diǎn)位置的自適應(yīng)復(fù)數(shù)陷波器的結(jié)構(gòu)［3］如圖1所示。通過自適應(yīng)迭代算法，前級(jí)A(Z)中的復(fù)系數(shù)h在不斷修改，后級(jí)B(z)的復(fù)系數(shù)h'=rh隨之相應(yīng)改變。若迭代算法的修改對(duì)象為h=ejω中的ω，且0＜r＜1，則如圖2所示陷波器的零點(diǎn)位于單位圓上，極點(diǎn)在零點(diǎn)和圓心的連線上且在單位圓內(nèi)，陷波器始終能工作在穩(wěn)定狀態(tài)。由于后級(jí)B(z)對(duì)前級(jí)A(z)的幅頻特性和相頻特性的補(bǔ)償，使得整個(gè)陷波器只在陷波頻率處陷波，對(duì)其它頻率上的信號(hào)放大量基本為1，相移近似為0。因此它可大幅度削弱強(qiáng)干擾，而引入的信號(hào)失真很小，使系統(tǒng)的干擾容限顯著提高。

圖1 一階陷波器結(jié)構(gòu)

圖2 一階陷波器零極點(diǎn)分布圖

陷波器傳輸函數(shù)為

陷波器3 dB帶寬為［4，8］

設(shè)陷波器的輸入和輸出信號(hào)序列分別為{x(k)}和{e(k)}，由式(1)可寫出一階陷波器的差分方程

2 二階復(fù)數(shù)陷波器及所用迭代算法分析

以一階復(fù)數(shù)自適應(yīng)陷波器為陷波單元，級(jí)聯(lián)構(gòu)成二階復(fù)數(shù)自適應(yīng)陷波器，其結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 二階復(fù)數(shù)陷波器結(jié)構(gòu)

二階陷波器由兩個(gè)一階陷波器級(jí)聯(lián)構(gòu)成，兩個(gè)陷波器同時(shí)工作，接收信號(hào)x(k)先通過第一個(gè)陷波器，得到輸出e(k)，e(k)通過自適應(yīng)迭代算法控制第一個(gè)陷波器參數(shù)ω1(k)的迭代更新，同時(shí)其輸出作為第二個(gè)陷波器的輸入，得到最終的輸出信號(hào)y(k)，y(k)通過自適應(yīng)迭代算法控制第二個(gè)陷波器參數(shù)ω2(k)的迭代更新，自適應(yīng)算法采用LMS算法或LBFGS算法。ω1(k)、ω2(k)的迭代更新步驟與一階陷波器ω(k)的迭代更新步驟相同。

2.1 LMS算法分析

將陷波器的輸出e(k)作為誤差信號(hào)，其均方誤差為J(ω)

其中，Im(·)表示取虛部;E(·)表示數(shù)學(xué)期望。

ω(k)的更新算法可描述為

LMS迭代算法［9］的實(shí)現(xiàn)步驟如下，對(duì)于每一個(gè)輸入的樣值x(k):第1步初始化，令e(0)=x(0)=0，ω(1)=0;第2步由式(3)，式(6)計(jì)算e(k)和L(k);第3步由式(9)更新得到ω(k+1)，k=k+1，返回第2步。

2.2 LBFGS算法分析

L－BFGS(Limit－Memory BFGS)算法［10］是限制存儲(chǔ)量擬牛頓算法的一種，是BFGS算法的改進(jìn)形式。其基本思想是:定義存儲(chǔ)量m，只存儲(chǔ)最新迭代的m個(gè)斜率信息，并用這些信息校正近似Hessian矩陣;拋棄早期迭代的斜率信息，因?yàn)樗鼈儗?duì)于當(dāng)前的Hessian矩陣沒有太大影響。換而言之，L－BFGS并不直接產(chǎn)生和存儲(chǔ)每次迭代需要的Hessian矩陣，而是維護(hù)一個(gè)列表，該列表存儲(chǔ)了最近m次迭代的變量ω和梯度g的信息，這些信息可以用來(lái)近似需要的Hessian矩陣。

假設(shè)sk=ωk+1－ωk，yk=gk+1－gk搜索方向由如下方式得到

其中，gk為目標(biāo)函數(shù)的梯度;在本文中目標(biāo)函數(shù)為;ωk為所求的變量;m用來(lái)控制所需的存儲(chǔ)量;為初始對(duì)稱正定矩陣(常取為單位矩陣I);pk就是所求的搜索方向。

LBFGS迭代算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下:

第1步初始化ω0，m＞0，k:=1;

第3步更新變量ωk+1=ωk+pk×αk，計(jì)算gk+1;

第4步如果k＞m，從存儲(chǔ)中拋棄{sk－m，yk－m}，轉(zhuǎn)到第5步，否則，直接跳到第5步;

第5步計(jì)算并存儲(chǔ)sk=ωk+1－ωk，yk=gk+1－gk，k:=k+1，返回第2步。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為驗(yàn)證本文所采用濾波器的性能，設(shè)計(jì)以下實(shí)驗(yàn)來(lái)考察不同算法的收斂特性和陷波器的陷波效果，并假設(shè)陷波器的輸入x(k)是在擴(kuò)頻信號(hào)中疊加了幅值不同的兩個(gè)單頻干擾。

實(shí)驗(yàn)1 設(shè)x(k)包含兩個(gè)單頻干擾n1=A1ej2π·0.1k，n2=A2ej2π·0.95k(k=1，2，3，…)，單頻干擾強(qiáng)度A1=70，A2=7，ω1(0)=0，ω2(0)=0，極點(diǎn)半徑r(0)=0.85，r(∞)=0.98，采用Armijo準(zhǔn)則計(jì)算搜索步長(zhǎng)。在此條件下分別采用LMS算和LBFGS算法得到的仿真結(jié)果如圖所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)1仿真結(jié)果

實(shí)驗(yàn)2把實(shí)驗(yàn)1中ω1(k)、ω2(k)的初始值改為ω1(0)=0，ω2(0)=π其他條件不變，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)2仿真結(jié)果

實(shí)驗(yàn)3 設(shè)x(k)包含兩個(gè)單頻干擾n1=A1ej2π·0.02k，n2=A2ej2π·0.05k(k=1，2，3，…)單頻干擾強(qiáng)度A1=70，A2=7，ω1(0)=0，ω2(0)=0，極點(diǎn)半徑r(0)=0.85，r(∞)=0.98，采用Armijo準(zhǔn)則計(jì)算搜索步長(zhǎng)，在此條件下分別采用LMS算法和LBFGS算法得到的仿真結(jié)果如圖6所示。

實(shí)驗(yàn)4把實(shí)驗(yàn)1中ω1(k)、ω2(k)的初始值改為:ω1(0)=0，ω2(0)=2，其他條件不變，仿真結(jié)果如圖7所示。

仿真結(jié)果表明，對(duì)于幅值不同的干擾，采用本文所用結(jié)構(gòu)的陷波器，可以把干擾陷掉，而且只在單頻點(diǎn)處陷波，在有效抑制單頻干擾的同時(shí)，對(duì)寬帶信號(hào)的損傷較小。對(duì)于本文所采用的兩種迭代算法，ω1(k)和ω2(k)具有良好的收斂性，并且其初始點(diǎn)可以隨意選取。文獻(xiàn)［5～7］中的Gradient－based算法在針對(duì)兩個(gè)單頻干擾時(shí)卻需要近400次的迭代才能收斂，而且陷波單元頻點(diǎn)的初始值要選的與最優(yōu)值接近?？梢姳疚牡乃惴ň哂懈斓氖諗克俣?。

圖6 實(shí)驗(yàn)3仿真結(jié)果

若采用文獻(xiàn)［3］所提出的矩陣型高階陷波器，要陷掉兩個(gè)干擾則需要4個(gè)一階陷波器，陷波單元的頻點(diǎn)初始值不能設(shè)為相同值，否則算法不收斂。當(dāng)加入本文所加干擾的時(shí)，在相同的條件下，仿真結(jié)果如圖8所示。

仿真結(jié)果表明，當(dāng)加入的干擾幅值不同，特別是當(dāng)干擾幅值較小時(shí)，文獻(xiàn)［3］所提出的矩陣型高階陷波器不能夠陷掉干擾，算法不能收斂。

圖7 實(shí)驗(yàn)4仿真結(jié)果

圖8 采用文獻(xiàn)［1］所用結(jié)構(gòu)陷波器仿真結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)幅值相差較大的干擾，本文提出了一種將一階陷波器作為陷波單元級(jí)聯(lián)構(gòu)成二階陷波器的方案，討論了兩種迭代算法LMS算法和LBFGS算法以及把這兩種迭代算法用于該陷波器的收斂性。仿真結(jié)果表明，采用本文所提結(jié)構(gòu)的陷波器可以有效地抑制幅值不同的兩個(gè)干擾，對(duì)輸入陷波器的寬帶信號(hào)損傷小，相應(yīng)代算法具有良好的收斂性能。

［1］PEI S C，T SENG C C.Complex adaptive IIR notch filter algorithm and its applications［J］.Circuits and SystemsⅡ:IEEE Transactions on Analog and Digital Signal Processing，1994，41(2):158－163.

［2］KO C C，LI C P.An adaptive IIR structure for the separation，enhancement，and t racking of multiple sinusoids［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(10):2832－2834.

［3］ 王勇，田斌，向新，等.一種應(yīng)用于限制零極點(diǎn)位置復(fù)數(shù)陷波器的迭代算法［J］.信號(hào)處理，2007(1):6－9..

［4］ 炎曉蕊，李剛強(qiáng)，王勇，等.一種復(fù)數(shù)IIR自適應(yīng)陷波器及其在QPSK擴(kuò)頻通信中的應(yīng)用［J］.信號(hào)處理，2003，19(增刊):285－288.

［5］NISHIMURA S，HAL YUN J.Cascaded realization of complex adaptive IIR notch filters［EB/OL］.(2004－8－21)［2013－04－6］www.ieeexplore.ieee.org.

［6］NISHIMURA S，HAI－YUN J.Convergence analysis of complex adaptive IIR notch filters［EB/OL］.(2004－08－22)［2013－04－06］http://ieeexplore.ieee.org.

［7］MVUMA A，HINAMOTO T，NISHIMURA S.Gradientbased algorithms for a complex coefficient adaptive IIR notch filter steady－state analysis and application［EB/OL］.(2004－08－20)［2013－04－06］http://ieeexplore.ieee.org.

［8］STOICA P，NEHORAI A.Performance analysis of an adaptive notch filter with constrained poles and zeros［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，1988，36(6):911.

［9］ 陳開周.最優(yōu)化計(jì)算方法［M］.西安:西北電訊工程學(xué)院出版社，1984.

［10］李廷鋒.求解大規(guī)模無(wú)約束優(yōu)化問題的修正L－BFGS方法［D］.開封:河南大學(xué)，2008.