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對(duì)一道教材習(xí)題的解法探究

2013-04-29 01:29:38江寶龍
考試周刊 2013年98期
關(guān)鍵詞:構(gòu)造法發(fā)散思維

江寶龍

摘 要: 教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的根,是學(xué)生發(fā)展思維的源.教學(xué)過程中應(yīng)充分體會(huì)編者對(duì)內(nèi)容處理,體會(huì)新課程的理念,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,鍛煉學(xué)生的思維能力.教材習(xí)題是經(jīng)過專家精心挑選的,充分地挖掘教材習(xí)題,深化習(xí)題教學(xué),創(chuàng)造性地使用教材習(xí)題,可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,發(fā)展學(xué)生的思維能力,大大提高學(xué)習(xí)效率,收到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞: 教材習(xí)題 構(gòu)造法 發(fā)散思維

一、原題再現(xiàn)——重視課本知識(shí)

人教版《數(shù)學(xué)》選修4-5習(xí)題1.1第11題:

題目:已知a,b.c∈R■,a+b+c=1,求證:a■+b■+c■≥■.

《教師用書》證法:3(a■+b■+c■)=2(a■+b■+c■)+(a■+b■+c■)

=(a■+b■)+(b■+c■)+(a■+c■)+(a■+b■+c■)

≥2ab+2bc+2ac+a■+b■+c■=(a+b+c)■=1

所以a■+b■+c■≥■.

二、編者意圖——加深方法理解

該證明方法從所要證明的結(jié)論出發(fā),通過“構(gòu)造”方法,將a■+b■+c■構(gòu)造成基本不等式形式,構(gòu)造出a+b+c=1的定值,巧妙地與(a+b+c)■聯(lián)系在一起.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生容易從條件的平方入手,借助于基本不等式證明該結(jié)論.但編者為什么要從結(jié)論出發(fā)呢?筆者認(rèn)為是“構(gòu)造”方法的滲透.在選修4-5不等式選講中,從絕對(duì)值的三角不等式到基本不等式在到柯西不等式和排序不等式,無不體現(xiàn)“構(gòu)造法”在解題中的優(yōu)越性,同時(shí)構(gòu)造法也是數(shù)學(xué)中的一種重要的方法.教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的根,是思維方法的源,仔細(xì)研究教材,體會(huì)編者的意圖,在教學(xué)中加以滲透,既能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,又能鍛煉學(xué)生的思維能力.

三、一題多解——發(fā)散學(xué)生思維

法二:(a■+b■+c■)(1■+1■+1■)≥(a+b+c)=1

所以3(a■+b■+c■)≥1,即a■+b■+c■≥■.

此方法巧妙地構(gòu)造柯西三維不等式的形式,利用柯西不等式對(duì)其進(jìn)行證明,證明簡(jiǎn)潔,容易理解,但要求對(duì)柯西不等式的基本形式理解透徹.

方法三:

設(shè)f(x)=(a■+b■+c■)x■+2(a+b+c)x+3.

因?yàn)閒(x)=(a■+b■+c■)x■+2(a+b+c)x+3

=(a■x■+2ax+1)+(b■x■+2bx+1)+(c■x■+2cx+1)

=(ax+1)■+(bx+1)■+(cx+1)■≥0,

所以f(x)≥0恒成立,

所以Δ≤0,即4(a+b+c)■-12(a■+b■+c■)≤0,

又因?yàn)閍+b+c=1,所以a■+b■+c■≥■.

此方法由柯西不等式的證明方法啟發(fā)得到.巧妙地構(gòu)造出一個(gè)二次函數(shù),轉(zhuǎn)化成判別式即得到所有結(jié)論.

方法四:

設(shè)a=■+Δ■,b=■+Δ■,c=■+Δ■,其中Δ■+Δ■+Δ■=0.

因?yàn)閍■+b■+c■=(■+Δ■)■+(■+Δ■)■+(■+Δ■)■

=■+■(Δ■+Δ■+Δ■)+(Δ■■+Δ■■+Δ■■)

=■+(Δ■■+Δ■■+Δ■■)≥■,

所以a■+b■+c■≥■.

圖1 圖2

方法五:

定義1:如果函數(shù)f(x)對(duì)其定義域中任意的x■,x■都有如下不等式f(■)≤■[f(x■)+f(x■)](f(■)≥■[f(x■)+f(x■)])成立,則稱f(x)是下凸(凹)函數(shù)(如圖1)(上凸(凹))函數(shù)(如圖2).

定理1(詹生不等式)若函數(shù)f(x)在區(qū)間I是上凸函數(shù),則有不等式:

f(q■x■+q■x■+…+q■x■)≥q■f(x■)+q■f(x■)+…+q■f(x■)(3)

若函數(shù)f(x)在區(qū)間I是下凸函數(shù),則有不等式:

f(q■x■+q■x■+…+q■x■)≤q■f(x■+q■f(x■)+…+q■f(x■)(4)

其中x■∈I,q■>0,i=1,2,…,n;q■+q■+…+q■=1.

詹生不等式由函數(shù)的凸凹性得到,函數(shù)的凸凹性在人教必修一第53頁復(fù)習(xí)參考題B第5題得以滲透.

證法:因?yàn)閍,b,c∈R■所以構(gòu)造(0,+∞)的下凸函數(shù)f(x)=x■.

由詹生不等式得■≥f(■),

即■≥f(■)=■,所以a■+b■+c■≥■.

四、結(jié)論推廣——?dú)w納一般結(jié)論

1.a,b,c,d∈R■,a+b+c+d=1,求證:a■+b■+c■+d■≥■.

2.a■,a■,a■…a■∈R■,a■+a■+…+a■=1,求證:a■■+a■■+…+a■■≥■.

五、高考鏈接——回歸教材根源

2013新課標(biāo)(Ⅱ)卷理科選修4-5:

已知a,b,c,∈R■,a+b+c=1,求證:ab+bc+ac≤■.

2013湖北理科13題:

x,y,z∈R,x■+y■+z■=1,x+2y+3z=■則x+y+z=?搖?搖?搖?搖.

參考文獻(xiàn):

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-5[M].北京:人民教育出版社,2012.

[2]中華人民共和國教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社,2009.

[3]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀[M].江蘇:江蘇教育出版社,2007.

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