楊梅

“數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?！笔恰缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》中并列的三個重要而特殊的內(nèi)容，它在高中數(shù)學(xué)基本理念、課程目標(biāo)中作為總的目標(biāo)提出，貫穿于高中數(shù)學(xué)整個內(nèi)容；同時它又沒有單獨設(shè)置，而是滲透在各個模塊和專題中，在每個模塊中均有體現(xiàn)。那么，針對具體的教學(xué)內(nèi)容而言，如何挖掘其文化教育功能，是擺在廣大一線教師面前的一個值得斟酌的問題。本文擬從不同的視角，談?wù)劰P者對概率部分教學(xué)時一些文化滲透的嘗試。

一、概率的本質(zhì)

概率是揭示偶然世界規(guī)律性的科學(xué)，它所研究的隨機(jī)現(xiàn)象是偶然的，但又有一定的規(guī)律性，偶然中蘊涵著必然；它總是通過對事件外顯數(shù)據(jù)的研究， 達(dá)到對事件本質(zhì)的把握；我們通過高中概率的學(xué)習(xí)可以從定量和理性的層次上更深入地認(rèn)識偶然性與必然性的本質(zhì)。我們要打破傳統(tǒng)的傳統(tǒng)確定性思維方式，建立隨機(jī)的觀念。同時，通過偶然和必然之間的關(guān)系，體會事物之間總是聯(lián)系的，應(yīng)該辯證的、聯(lián)系的、運動的視角來看待問題，一切割裂開來看問題的觀點都是不可取的。

二、不光彩的起源與曲折的發(fā)展

概率論的出現(xiàn)有著不光彩的歷史。17世紀(jì)有個叫保羅的人，一天他與梅爾賭錢，賭注是每人拿出6枚金幣，通過擲骰子，先勝三局者得到12枚金幣，剛賭三局時有意外發(fā)生，就中斷了賭局，此時保羅勝一局，精通賭博的梅爾勝了兩局，因此，他們對賭注如何分配產(chǎn)生了爭吵。

保羅認(rèn)為，根據(jù)勝的局?jǐn)?shù)，他應(yīng)得總數(shù)的■，即4枚金幣，梅爾得總數(shù)的■，即8枚金幣?？墒敲窢枀s不這樣想，他認(rèn)為他應(yīng)得全部賭金。為此，他們請求數(shù)學(xué)家帕斯卡幫忙，又求教于數(shù)學(xué)家費爾馬。最終他們一致的裁決是：保羅應(yīng)分3 枚金幣，梅爾應(yīng)分9枚，隨后帕斯卡和費爾馬驗證了有關(guān)這類隨機(jī)事件具有更一般的規(guī)律，概率論的研究開始了。

18世紀(jì)后半葉，法國布豐在《或然算術(shù)試驗》（1760年完成，1777年刊行）中給出了幾何概率的問題，用頻率近似代替概率，以求出π值的新方法。

19世紀(jì)初，法國拉普拉斯的《分析概率論》（1812）成為一部劃時代概率論經(jīng)典著作，內(nèi)容深奧。19世紀(jì)，在概率論方面有重大貢獻(xiàn)的人物還有高斯和泊松，高斯奠定了最小二乘法的誤差論基礎(chǔ)，泊松推廣了大數(shù)定理，引入了重要的“泊松分布”。

應(yīng)該說，整個18世紀(jì)和19世紀(jì)，概率論的發(fā)展是迅速的。但某些人卻過分夸大了它的作用。例如，撇開社會現(xiàn)象的本質(zhì)，而機(jī)械地將概率應(yīng)用于與訴訟問題之類的“精神”或“道德”科學(xué)上的做法所造成的迷茫和失敗，使概率論的發(fā)展出現(xiàn)了曲折，但由于眾多科學(xué)家的努力，概率論的發(fā)展最終仍然朝著正確的方向發(fā)展著。

三、概率的定義

我們會接觸到三種定義，它們各有所長，可以應(yīng)用不同的隨機(jī)現(xiàn)象的研究中，沒有古典與現(xiàn)代、高級與低級之分。古典概型和幾何概型對條件要求較高，但可以準(zhǔn)確地運算出概率；統(tǒng)計定義對條件的要求不高，使用范圍廣，但可操作性不強(qiáng)?？磫栴}須一分為二：從政治看，全局與局部；從哲學(xué)看，唯物與唯心；從邏輯學(xué)看，歸納與演繹；從繪畫看，潑墨與工筆；從物理學(xué)看，原子與天體；從光學(xué)看， 顯微與放大。

四、互斥事件、對立事件、相互獨立事件

互斥、對立、獨立和語言中的對應(yīng)的詞語有關(guān)聯(lián)嗎？為什么要這樣稱呼？有什么樣的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系？在語言文字上，大家都遵循同樣的規(guī)律。數(shù)學(xué)是受文化制約的，名詞也如此。

五、相信嗎？50人中，至少有2人生日是同一天的概率是0.97

假如某班有n個人（n≤365）的情形下，試研究至少有2人的生日在同一天的概率有多大？

如果把一年定為365天，此時把365天看做365個 “座位”，讓n 個人去坐，這 時，“n個人的生日全不相同”，就相當(dāng)于：“恰有n座位，每個座位各坐1人”。

利用對立事件相關(guān)知識可以令A(yù)={n 個人中至少有兩個人的生日相同}，則■={n個人的生日全不相同}P（■）=■，∴P（A）=1-■，當(dāng)n取一些值時，對應(yīng)的概率如下所示：

10 20 23 30 40 50

0.12 0.42 0.51 0.71 0.89 0.97

一方面，正難則反的思維方法值得我們學(xué)習(xí)；另一方面，直覺往往會欺騙我們，處理問題不應(yīng)該被表象所迷惑，應(yīng)該看到問題的本質(zhì)上去。最后，我們可以發(fā)現(xiàn)研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的重要性和必要性。

六、成功=99%的汗水+1%的靈感

在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常用“愚公移山”“只要功夫深，鐵杵磨成針”來體現(xiàn)有志者事竟成。但是，也有人對此持否定態(tài)度。但利用概率知識分析來看，你會發(fā)現(xiàn)這是很有道理的。假設(shè)事件A在一次實驗中發(fā)生的概率為P>0在相同情況下進(jìn)行該實驗n次，研究A至少發(fā)生一次的概率，此時 ■表示一次都沒發(fā)生的概率為（1-p）n。所以至少發(fā)生一次的概率為1-（1-p）n，而■■。

平時生活中看似不經(jīng)意的小事，只要你堅持不懈地去做，就會產(chǎn)生意想不到的結(jié)果。正如古語所說：“水滴石穿?！惫沤裰型庥泻芏嗟氖吕簮鄣仙×藷o數(shù)次最終發(fā)明了電燈；經(jīng)過多年不懈努力，王羲之終成聞名于世的書法家。這正如愛因斯坦所說：“成功=99%的汗水+1%的靈感?！?/p>

七、理性的“公平”

羅爾斯說：“理性是個人在擺脫自身種種偏見之后，大家一致同意的社會契約，就是公平。公平就是沒有偏見?！睆母怕实囊暯强垂?，可以認(rèn)為公平表示機(jī)會相等，可能性等同。這點和等概率模型吻合的很好。比如甲乙兩人通過拋擲質(zhì)地均勻的硬幣來決定誰贏。這個游戲是公平的，因為甲乙兩人輸和贏的概率各是■，而不管甲乙兩人每次的賭注有多大。由此可見，假如一項游戲的規(guī)則是公平的，那么參與其中的每個人輸贏的可能性是相同的，而不以參與者的意志和其他所謂的因素而改變。

抓鬮，公平嗎？從概率的角度去分析，毫無問題，大家獲勝的機(jī)會是等同的，跟先后無任何關(guān)聯(lián)。

八、用概率可以運算圓周率，可能嗎

（布豐投針實驗）事先準(zhǔn)備一組相距為1的平行線，一根長為■的針，將針隨機(jī)地投到畫了線的平面上，假如針與平行線相交，則稱“扔出有利”。這樣隨機(jī)投若干次，此時令人驚奇的結(jié)果出現(xiàn)了，“扔出有利”的概率為■，如果反復(fù)進(jìn)行的次數(shù)越多，將會得到的π的值越精確。在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，圓周率π 的計算有著舉足輕重的地位，它曾經(jīng)是體現(xiàn)一個國家數(shù)學(xué)發(fā)展水平的重要標(biāo)志。而利用概率知識可以計算圓周率，對我們心靈是一個不小的震撼。

九、一點體會

作為一名高中教師，我深刻體會到：高效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)從具體的數(shù)學(xué)概念、原理，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法中展現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化底蘊，向?qū)W生多角度地展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化。同時，我們要通過研究數(shù)學(xué)的精神和思想方法，以此來提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。數(shù)學(xué)教育不能只局限于數(shù)學(xué)的知識層面，而應(yīng)適當(dāng)?shù)厣钊氲揭欢ǖ奈幕瘜用?，只有這樣，才能從科學(xué)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)槲幕臄?shù)學(xué)，從而更好地培養(yǎng)新時代的科學(xué)文化人，讓優(yōu)秀人才得到更好的發(fā)展。

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