空間的平行關(guān)系

（★★★）必做1 如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2，在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN//平面ACE？若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由.

[A][B][M][C][D][N][P][圖1]

[牛刀小試]

破解思路 欲找一個(gè)平面，使直線與這個(gè)平面平行，要用到直線與平面平行的判定定理；另外，從做幾何題的經(jīng)驗(yàn)來看，給出“中點(diǎn)”的條件，解題時(shí)往往會(huì)用到（或借助到）另外相關(guān)的中點(diǎn)；對于在不確定的條件下（如這里的菱形就是不確定的），我們應(yīng)該避免使用解析法（建立空間直角坐標(biāo)系）做題.

[A][B][M][C][D][N][P][E][圖2]

精妙解法 如圖，取PD的中點(diǎn)E， 連結(jié)NE，EC，AE，因?yàn)镹，E分別為PA，PD中點(diǎn)，所以NE[=][∥]AD.又在菱形ABCD中，CM[=][∥]AD，所以NE [=][∥]MC，即MCEN是平行四邊形，所以NM∥EC. 又EC?平面ACE，NM?平面ACE，所以MN∥平面ACE. 所以在PD上存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE，此時(shí)PE=PD=.

極速突擊 本題屬于數(shù)學(xué)開放性問題中的存在性問題，存在性問題的一般處理方法都是先假設(shè)結(jié)論成立，由此及條件進(jìn)行推證，若能推證，則假設(shè)為真；若導(dǎo)出矛盾，則假設(shè)不真.

（★★★★）必做2 在長方體ABCD-ABCD中，O為底面正方形的中心，過A，C，B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖3所示的幾何體ABCD-ACD，求證：DO∥平面ABC.

[D1][C1][A1][D][O][A][B][C] [圖3]

[牛刀小試] 破解思路 解決本題的關(guān)鍵在于找出平面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，或轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)平面平行.

精妙解法 法1：取AC中點(diǎn)P，連結(jié)DP，OB，PB，則DP [=][∥]OB，所以四邊形OBPD為平行四邊形，所以DO∥PB，且DO?平面ABC，PB?平面ABC，所以DO∥平面ABC.

法2：連結(jié)AC，AD，DC，易知點(diǎn)O在AC上. 根據(jù)長方體的性質(zhì)得四邊形ABCD、四邊形ADCB均為平行四邊形，所以AD∥BC，AB∥DC. 又AD?平面ACB，BC?平面ACB，所以AD∥平面ACB，同理DC∥平面ABC. 又DC∩AD=D，所以根據(jù)面面平行的判定定理知平面ACD∥平面ABC. 因?yàn)镈O?平面ACD，所以DO∥平面ABC.

極速突擊 立體幾何中的平行主要是直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行，在這三個(gè)平行中，直線與平面平行是基礎(chǔ)，也是考試的重點(diǎn)，除了解析法外，通法是尋找直線在平面內(nèi)的平行線（直線與平面平行的判定定理）.

證明線面平行，有以下幾種方法：①證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；②證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；③證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直.

證明面面平行，有以下幾種方法：①利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再推導(dǎo)出矛盾；②利用判定定理“一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行”；③利用“垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行”，即“a⊥α，a⊥β，則α∥β”；④利用“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行”，即“α∥β，α∥γ?β∥γ”.

空間的垂直關(guān)系

（★★★★）必做3 如圖6，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點(diǎn)，AE=3，圓O的直徑為9.

[圖6][A][E][D][O][C][B]

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；

（2）求二面角D-BC-E的平面角的正切值.

[牛刀小試]

破解思路 要判斷平面與平面垂直，通法（也是主要方法）是判斷平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面. 在高考中，解答題的第（1）小題的結(jié)論往往對第（2）小題有啟發(fā)或利用的價(jià)值. 該題給出的是一個(gè)確定的幾何體，因此，建立空間直角坐標(biāo)系使用向量法（解析法）也是可行的方法，難度在于如何建立空間直角坐標(biāo)系.

精妙解法 （1）因?yàn)锳E垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上，所以AE⊥CD.

在正方形ABCD中，CD⊥AD，因?yàn)锳D∩AE=A，所以CD⊥平面ADE. 因?yàn)镃D?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE.

（2）法1：因?yàn)镃D⊥平面ADE，DE?平面ADE，所以CD⊥DE.

[A][E][D][O][C][B][F][G][圖7]

所以CE為圓O的直徑，即CE=9. 設(shè)正方形ABCD的邊長為a，在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2.

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9，

由81-a2=a2-9，解得a=3.

所以DE==6.

過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，作FG∥AB交BC于點(diǎn)G，連結(jié)GE.

由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，所以EF⊥AB. 因?yàn)锳D∩AB=A，

所以EF⊥平面ABCD. 因?yàn)锽C?平面ABCD，所以BC⊥EF. 因?yàn)锽C⊥FG，EF∩FG=F，所以BC⊥平面EFG. 因?yàn)镋G?平面EFG，所以BC⊥EG. 所以∠FGE是二面角D-BC-E的平面角.

在Rt△ADE中，AD=3，AE=3，DE=6，因?yàn)锳D·EF=AE·DE，所以EF===.

在Rt△EFG中，F(xiàn)G=AB=3，所以tan∠EGF==. 故二面角D-BC-E的平面角的正切值為.

法2：因?yàn)镃D⊥平面ADE，DE?平面ADE，所以CD⊥DE，所以CE為圓O的直徑，即CE=9.

設(shè)正方形ABCD的邊長為a，在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2；

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9，由81-a2=a2-9，解得a=3.

所以DE==6.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ED，CD所在的直線為x軸、y軸建立如圖8所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），E（-6，0，0），C（0，-3，0），A（-6，0，3），B（-6，-3，3）.

[圖8][A][E][D][O][C][B][y][z][x]

設(shè)平面ABCD的法向量為n1=（x1，y1，z1），則n1·

=0，

n1·

=0，即6x1-3z1=0，

-3

y1=0.取x1=1，則n1=（1，0，2）是平面ABCD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面BCE的法向量為n2=（x2，y2，z2），根據(jù)已知可得n2·

=0，

n2·

=0，即-3

y2+3z2=0，

6x2-3

y2=0.取x=，則n2=（，2，2）是平面BCE的一個(gè)法向量.

因?yàn)閏os〈n1，n2〉===，所以sin〈n1，n2〉=. 所以tan〈n1，n2〉=. 故二面角D-BC-E的平面角的正切值為.

極速突擊 面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題來加以解決.當(dāng)然，也可用向量法解決，只要能證明兩平面的法向量相互垂直，便能得到面面垂直.

求二面角可采用兩種方法求解：一是“幾何法”，可按照“一找、二證、三算”的步驟進(jìn)行；二是“向量法”，先建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)半平面的法向量，再求這兩個(gè)法向量夾角的余弦值，然后判斷所求二面角是鈍角還是銳角，最后進(jìn)行符號(hào)的選擇.

誤點(diǎn)警示 “二面角的平面角”與“兩個(gè)半平面的法向量所成角”并不一定相等，它們可能相等也可能互補(bǔ)，應(yīng)注意甄別.

（★★★★）必做4 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.

（1）若AC⊥PD，求證：AC⊥平面PBD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：PB=PD；

（3）在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，說明理由.

[圖9][D][O][B][A][C][P]

[牛刀小試]

破解思路 要判斷直線與平面垂直，通法是尋找平面內(nèi)兩條相交的直線與已知直線垂直；證明線段相等的基本方法是尋找含有這兩條線段的兩個(gè)三角形全等，如果這兩條線段在同一個(gè)三角形中，則證明這個(gè)三角形是等腰三角形；證明線段或點(diǎn)的存在性問題是高考的熱點(diǎn)之一，解析法是通法，但不局限于此，也可考慮使用特殊點(diǎn)或線段的方法，或者依靠反證法，如本題.

精妙解法 （1）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD. 因?yàn)锳C⊥PD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD.

（2）已知AC⊥BD， 因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因?yàn)镻O?平面PAC，所以 BD⊥PO.

[圖10][D][O][B][A][C][P][M]

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以 BO=DO. 所以PB=PD.

（3）不存在. 下面用反證法說明.

假設(shè)存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM∥平面PAD.

在菱形ABCD中，BC∥AD，

因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

因?yàn)锽M?平面PBC，BC?平面PBC，

BC∩BM=B，所以平面PBC∥平面PAD.

而平面PBC與平面PAD相交，矛盾.

極速突擊 證線線垂直，一方面我們可以利用三垂線定理及其逆定理，另一方面可以利用線面垂直、線線垂直進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化. 在立體幾何中，采用反證法證明一個(gè)結(jié)論的例子不多，但我們要學(xué)會(huì)使用，尤其對于那些探問形式的試題或者否定命題形式的問題.這里誘導(dǎo)我們想到反證法的一個(gè)基礎(chǔ)是“BC∥平面PAD”，這個(gè)條件是顯然的.

解決涉及空間垂直的題目時(shí)，我們須熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，即線線垂直?線面垂直?面面垂直.其中，線線垂直是判定線面垂直的基礎(chǔ)，也是通法；線面垂直是判定面面垂直的基礎(chǔ)，亦是通法.

空間的夾角和距離

（★★★★）必做5 如圖11，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°.

（1）若異面直線AB與BC所成的角為60°，求棱柱的高h(yuǎn)；

（2）設(shè)D是BB的中點(diǎn)，DC與平面ABC所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高h(yuǎn)變化時(shí)，求sinθ的最大值.

[A][B][D][C][C1][A1][B1][圖11]

[牛刀小試]

破解思路 求解或使用異面直線的夾角，用定義方法（平行移動(dòng)一條或兩條直線相交產(chǎn)生夾角）是通法，但如果建立空間坐標(biāo)系比較方便時(shí)，使用向量的方法也是通法. 第（2）題，顯然是要建立函數(shù)關(guān)系式，這樣，解析法是首選方法.

精妙解法 以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，以AA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，h），B（1，0，h），C（0，1，h）.

（1）因?yàn)楫惷嬷本€AB與BC所成的角為60°，所以cos60°=，

即=，得=，解得h=1.

（2）由D是BB的中點(diǎn)，可得D1，0，

，于是=-1，1，

.

設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z），于是由n⊥，n⊥，可得

n

·=0，

n

·=0， 即x-hz=0，

y=0， 可取n=（h，0，1），

于是sinθ=

cos〈，n〉

===.

由此，可令f（h）==，

因?yàn)閔2++9≥2+9，當(dāng)且僅當(dāng)h2=，即h2=時(shí)，等號(hào)成立.

所以可知f（h）≤==，

故當(dāng)h2=時(shí)，sinθ的最大值為.

極速突擊 這個(gè)試題如果從幾何來看有運(yùn)動(dòng)變化的背景（高h(yuǎn)發(fā)生變化），而要求的目標(biāo)是sinθ最大值時(shí)的狀態(tài)情況，在這幾何背景下，h與sinθ很難發(fā)生直接的（函數(shù)）關(guān)系，如何尋找這種事實(shí)上存在的函數(shù)關(guān)系呢？空間直角坐標(biāo)系與向量是我們可以利用的最好的工具.

誤點(diǎn)警示 在高考試題中，幾何（包括解析幾何、立體幾何）里求最值等問題一般是用代數(shù)中最常見的方法求，可不要走得太遠(yuǎn)哦.

（★★★★）必做6 如圖12，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1.

（1）證明：EM⊥BF；

（2）求平面BEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

[圖12][A][B][C][O][M][F][E]

[牛刀小試]

破解思路 該幾何體里的點(diǎn)和線段都是確定的，而且存在兩兩垂直的直線，所以首先考慮使用解析法（向量法）.

精妙解法 （1）易知AM=3，BM=.

如圖13，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于AC的直線為x軸，以AC，AE所在的直線為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知條件得A（0，0，0），M（0，3，0），E（0，0，3），B（，3，0），F(xiàn)（0，4，1）.

因?yàn)?（0，-3，3），=（-，1，1）.

由·=（0，-3，3）·（-，1，1）=0，

得⊥，所以EM⊥BF.

（2）由（1）知=（-，-3，3），=（-，1，1）.

設(shè)平面BEF的法向量為n=（x，y，z），

由n·=0，n·=0可得-

x-3y+3z=0，

-

x+y+z=0.

令x=得y=1，z=2，所以n=（，1，2）.

由已知EA⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量為=（0，0，3）.

設(shè)平面BEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，

則cosθ=

cos〈n，〉

==，

所以平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.

極速突擊 立體幾何中的計(jì)算問題（空間角與距離）若用幾何法來處理，則必須體現(xiàn)“一作、二證、三算”這一固定格式.