楊鴻雁

在數(shù)學(xué)習(xí)題課或復(fù)習(xí)課中，試卷講評(píng)是其中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。目前試卷講評(píng)課中往往存在著學(xué)生處于被動(dòng)接受現(xiàn)成答案的地位（如，機(jī)械的“對(duì)”或“不對(duì)”式的應(yīng)答，或者是錯(cuò)題的同學(xué)舉手等）；學(xué)生很少有機(jī)會(huì)參與或獨(dú)立完成某一個(gè)問(wèn)題的解決，從而弱化了大部分學(xué)生獨(dú)立思考和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，學(xué)習(xí)效率不高。講過(guò)的題一錯(cuò)再錯(cuò)。在與學(xué)生的交談中，學(xué)生坦言：老師講評(píng)過(guò)的題還錯(cuò)的原因是老師講評(píng)時(shí)我們有時(shí)一知半解，大多處于記憶性學(xué)習(xí)階段，根本沒(méi)有轉(zhuǎn)化為自己的思維方法。針對(duì)此種現(xiàn)象，本人在試卷講評(píng)課上的幾點(diǎn)做法歸納如下。

一、歸納共存問(wèn)題，解剖典型例題，追究錯(cuò)誤源頭，彌補(bǔ)學(xué)生思維缺陷

每次閱卷都會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在答題過(guò)程中的“常見(jiàn)病”和“多發(fā)病”。教師應(yīng)綜合歸納出共同存在的問(wèn)題，記下幾道較為典型的錯(cuò)例做案頭分析，多問(wèn)幾個(gè)“為什么學(xué)生會(huì)在這道題上犯錯(cuò)誤”，找到學(xué)生在思維上存在的缺陷和思維方法上偏頗，在試卷分析課上加以彌補(bǔ)、糾正。

例1：若三角形兩條邊長(zhǎng)分別為5和4，則第三條邊長(zhǎng)為 。

錯(cuò)解：3。

剖析：這道填空題學(xué)生測(cè)試時(shí)錯(cuò)誤率較高。細(xì)細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生失誤的原因集中在學(xué)生機(jī)械地運(yùn)用勾股定理，想當(dāng)然認(rèn)為5是斜邊，3，4，5為邊的直角三角形習(xí)慣性定勢(shì)，卻忘記了定理中斜邊的分類討論。未從真正意義上理解勾股定理，從而導(dǎo)致失誤。

正解：3或 。

除了針對(duì)這一錯(cuò)誤訓(xùn)練，可以類比拿出等腰三角形分類的題目觸動(dòng)學(xué)生使用定理時(shí)看清條件，明確定理中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立這類題目分類討論的思想。

例2：如圖1，圖2，A、B兩個(gè)村子在河邊CD的同側(cè)，A、B兩村到河邊的距離分別是AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米?，F(xiàn)要在河邊CD建一水廠向A、B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米2萬(wàn)元。請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用。

錯(cuò)解：如圖1，做出點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FB交CD于點(diǎn)E。則E點(diǎn)處即為所建水廠位置。易解得：FH=3千米，BH=4千米，在Rt△BHF中，求得FB=5千米。故所鋪設(shè)水管的總費(fèi)用至少為2×5=10萬(wàn)元。

剖析：以上解法學(xué)生答題中最常見(jiàn)，但本例并未明確指出是由水廠分別向A、B兩村送水，也可先經(jīng)A村，再送往B村，上述解法錯(cuò)在未分析清題意而誤用數(shù)學(xué)模型上。

正解：如圖2，連接AB，由直角梯形ACDB中AC=1，CD=3，BD=3，可以求出AB= 因?yàn)锳C+AB= +1<5，所以水廠應(yīng)建在C處，先向A村送水，再經(jīng)A村送往B村，最少需2（1+ ）萬(wàn)元。從這題中可以看出學(xué)生在思考方法上存在不足，解題中不是具體問(wèn)題具體對(duì)待，而是盲目的“生搬硬套”。這道題對(duì)教師自己反省和改進(jìn)自己的教學(xué)方法也是一種極好的提示。

二、一題多解，一題多變，豐滿學(xué)生的思維，優(yōu)化解題思路

針對(duì)試卷中具有較大靈活性和“剖析”有余地的試題，教師應(yīng)做進(jìn)一步的借題發(fā)揮，激活學(xué)生思維發(fā)散，開(kāi)闊學(xué)生的思維視野，從多個(gè)方面與角度去思考分析也是試卷分析課講活的一個(gè)重要方面。這樣可使學(xué)生得出最佳的思維途徑，從而達(dá)到激活思維，優(yōu)化思維方法的目的。

例3：順次連接四邊形EFGH各邊中點(diǎn)得四邊形ABCD。要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）

A.EF∥GH B.EG=FH C.EG⊥FH D.EF=GH

1.教師在講解這道題時(shí)，嘗試使用幾何畫板制作課件，從而使學(xué)生對(duì)這一類題目舉一反三，融會(huì)貫通。

2.可以引導(dǎo)學(xué)生又在課上隨機(jī)編出，如，

（1）順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是（）；

（2）順次連接對(duì)角線互相垂直的等腰梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形形狀是（ ）等。

3.教師順勢(shì)補(bǔ)充例題建立學(xué)生三角形中位線結(jié)構(gòu)應(yīng)用中，我們要用的“邊和相應(yīng)中位線對(duì)應(yīng)關(guān)系，突破盲目的有中點(diǎn)四邊形就關(guān)注對(duì)角線的定式思維，教學(xué)效果顯著提高，學(xué)生思維活動(dòng)得到有效訓(xùn)練。

（2007年泰州中考）如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是BD，AC的中點(diǎn)，AB，CD滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

三、拓展外延，探索規(guī)律，激活學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展

這類講評(píng)課常常是透過(guò)具體試題的解答，歸納出知識(shí)的系統(tǒng)性和規(guī)律性，并在此基礎(chǔ)拓寬、延展，使學(xué)生的思維水平不滯留在某一局部上，而是獲得更長(zhǎng)足的發(fā)展。

例4：A、B是河流L旁的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)抽水站向A、B村供水，問(wèn)抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出抽水站點(diǎn)P的位置。

簡(jiǎn)解如下：做A或B的對(duì)稱點(diǎn)A1或B1，連接AB1或BA1與L的交點(diǎn)就是我們求做的。所以在解決這類問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是要明確兩點(diǎn)和一線。在講解下列幾道題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生把思維聚焦到尋找兩點(diǎn)一線上來(lái)。

拓展1，如圖4已知：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)分別是（3，4），（4，-2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)P使AP+BP最短。

拓展2，如圖5所示，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）。

拓展3，如圖6，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=2，BD=12，設(shè)CD=x。

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)。

（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C在BD上什么位置時(shí)，AC+CE的值最?。?/p>

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式 + 的最小值。

通過(guò)這種講評(píng)方式，學(xué)生可以突破原有試題的狹小范圍，在更廣闊的天地里認(rèn)識(shí)了此類的問(wèn)題，促進(jìn)了原有思維空間的不斷完善和發(fā)展。

四、讓學(xué)生做主講，師生互動(dòng)，挖掘?qū)W生的思維潛力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

在復(fù)習(xí)課的試卷講評(píng)中，我嘗試在教師的啟發(fā)和組織下，由學(xué)生擔(dān)當(dāng)“講解員”并由基本題型再創(chuàng)造，自由編題，帶動(dòng)全體學(xué)生積極思考、主動(dòng)解決問(wèn)題的教學(xué)方式，受到極佳的教學(xué)效果。它比傳統(tǒng)的講評(píng)方式又更近一步，更貼近學(xué)生，學(xué)生們?cè)诰o張而又平等的氣氛中，更自覺(jué)的獨(dú)立思考，這對(duì)激活他們的思維能力和創(chuàng)新能力，最大限度挖掘他們內(nèi)在的思維潛力具有十分積極的作用。在講解一次函數(shù)的應(yīng)用時(shí)，有這樣一道例題：

例5：如圖7，多邊形ABCDEF各角都為直角，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s速度沿圖中的邊框按B→C→D→E→F→A的路徑移動(dòng)，相應(yīng)的△ABP的面積s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像如圖8。若AB=6cm，試回答下列問(wèn)題：

（1）圖中AB，BC，CD，DE的長(zhǎng)度分別是多少？

（2）求出a，b的值。

（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)△ABP的面積是30。

解析：在解（1）時(shí)主要是讓學(xué)生解讀好圖形語(yǔ)言，明確面積變化的點(diǎn)，找好對(duì)應(yīng)，比如，AB對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度是第一段遞增的部分4×2=8，P在BC上移動(dòng)時(shí)，△ABP的面積是不變的，這個(gè)過(guò)程在第二個(gè)圖形中第二段不變的部分是（6-4）×2=4，以此類推，再由面積求出即可。在學(xué)生的解答過(guò)程中，學(xué)生的易誤點(diǎn)是一些學(xué)生會(huì)忘記時(shí)間到路程的轉(zhuǎn)化。△ABP面積為30時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)，一些學(xué)生會(huì)漏掉一個(gè)點(diǎn)。

難點(diǎn)突破：1.看圖形分析面積變化趨勢(shì)。2.看圖像實(shí)質(zhì)是S=30時(shí)求自變量t的值。

然后拿出2012年無(wú)錫的中考題，我把圖形和已知條件先給出，設(shè)問(wèn)部分先由學(xué)生設(shè)計(jì)，然后再給出老師設(shè)計(jì)好的問(wèn)題規(guī)范解答，學(xué)生在輕松自主的氛圍中化解問(wèn)題于無(wú)形。對(duì)此類問(wèn)題的理解和應(yīng)用更透徹。

（2012年無(wú)錫中考）如圖9，A、D分別在x軸和y軸上，CD∥x軸，BC∥y軸。點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度，沿五邊形OABCD的邊勻速運(yùn)動(dòng)一周。記順次連接P、O、D三點(diǎn)所圍成圖形的面積為Scm2，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖10中折線段OEFGHI所示。

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）若直線PD將五邊形OABCD分成面積相等的兩部分，求直線PD的函數(shù)關(guān)系式。

數(shù)學(xué)教師在講評(píng)試卷時(shí)不能僅僅拘泥于對(duì)好答案，講清過(guò)程還應(yīng)該以試卷講評(píng)為載體，做到“查、聯(lián)、拓、深”。只有做到知識(shí)的歸納和延伸、學(xué)生能力的培養(yǎng)和提高、應(yīng)試技巧的訓(xùn)練和養(yǎng)成，才是一堂好的試卷講評(píng)課。

（作者單位：江蘇蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）