王積社　張君敏

摘 要： “過程→生成”教學理念認為：教學要向?qū)W生展現(xiàn)“有價值有思想有活力的、順應學生思維與教育規(guī)律的、具有整體性連續(xù)性生成性的知識生成過程”，基于“過程→生成”教學理念，給出了圓與直線位置關系的教學設計.

關鍵詞： “過程→生成”教學理念 圓與直線的位置關系 教學設計

閱讀《人民日報》文章《“留學赤字”呼喚教育改革》一文，思緒難禁：新一輪教育改革已過十年，何須一再喚？十來歲的孩子海外夏令營后就堅決要求出國留學，豈不為怪？可見我國的教育改革成效如何？我國的教育使孩子們感受到了什么？曾聽朋友說，其9歲的孫女每晚做作業(yè)到伏案而眠。因此我們必須實實在在地反思我們的教育：社會對教育的影響，教育體制的弊端，“注入→題海”式教學方法的危害.因此，筆者力薦“過程→生成”教學理念，意在改變“注入→題?！笔降慕虒W理念及方法.

1.“過程→生成”教學理念

1.1基本觀點

觀點一：有人說我國的教育是“基礎有余、創(chuàng)新缺乏”，所以必須以抓創(chuàng)新來彌補不足.但筆者認為我國教育不是“基礎有余”，而是“基礎無力”，因為“注入→題?！笔降慕虒W只是使學生機械地記憶、呆滯地解題，結(jié)果是根系淺弱、活力不足，在此基礎上不可能迸發(fā)出創(chuàng)新的萌芽.所以我們決不應自持“基礎有余”而得意忘形，而必須以“夯實基礎，力求創(chuàng)新”為目標而努力奮斗.如何夯實基礎？應該讓學生通過知其所以然而達到知其然，這里的“知其然”并非只是簡單地知道“因為……所以……”，而應是理解知識的來龍去脈；如何力求創(chuàng)新，應該使學生在所有的學習過程中始終感受或親歷知識的創(chuàng)生過程.

觀點二：大都說應試是教學改革的瓶頸，但筆者認為教學改革的障礙并非為應試，而是傳統(tǒng)的觀念與方法.首先，審度古今中外、展望過去未來，不難明白一個道理：社會需要人才→人才需要選拔→選拔難免考試→考試必有應試→應試需要教育，所以考試是必需的，應試不僅合法而且是教育的職責.其次，無論面對何種方式的考試，“注入→題?！笔綉嚱^非是靈丹妙藥，尤其在21世紀，押寶式的“注入→題?！苯虒W更難應對素質(zhì)與能力的測試.例如2013年××省普通高中教師職務培訓中，就有教師說：“現(xiàn)在的考試很喜歡給出一個新的定義，讓學生在閱讀后根據(jù)定義開始做題，然而看似簡單的題目就是做不好”，為何？值得深思.所以從應試來看也必須棄絕傳統(tǒng)觀念，建立適合素質(zhì)與能力培養(yǎng)的教學理念與方法.

觀點三：十多年來，我國“創(chuàng)新型”教學研究論文多達數(shù)十萬篇，然而“注入式”教學卻愈演愈烈，那么為何“創(chuàng)新型”難以踐行？不難發(fā)現(xiàn)：傳統(tǒng)觀念的禁錮造成了認識上的困難，學習內(nèi)容并非都能由學生自主探究而得造成了操作上的困難，課時的不足、班容量過大造成了落實上的困難，等等.諸多困難下，不繼續(xù)注入式的講授又能如何？因此就形成研究歸研究、教學歸教學、“公開穿新鞋，關門走老路”的惡性循環(huán)，說好點也無非是“十寒一曝”（“十次注入式講授”+“一次新型教法”）.所以教學改革的當務之急是建立適應素質(zhì)與能力培養(yǎng)的基本教學理念，以如此理念的講授法為基礎而力求踐行新型教法，使學生的學習始終沉浸在良好的學習環(huán)境中.“過程→生成”教學理念就是面向素質(zhì)與能力培養(yǎng)的基本教學理念.

1.2“過程→生成”教學理念

“過程→生成”教學理念：知識不是靜態(tài)的文本，而是其生成過程.所以“教”就應該模擬、展現(xiàn)知識的生成過程，“學”就應該感受、理解知識的生成過程，二者統(tǒng)一在有價值、有思想、有活力、順應學生思維與教育規(guī)律的知識生成過程中.于是：教學過程=學習過程=知識生成過程.

“過程→生成”教學，就是在“過程→生成”教學理念指導下，以夯實基礎、力求創(chuàng)新為目標，向?qū)W生展現(xiàn)“有價值有思想有活力的、順應學生思維與教育規(guī)律的、具有整體性連續(xù)性生成性的知識生成過程”.如何展現(xiàn)，既可講授（“過程→生成”講授法），更可施以各種新型教法.

“過程→生成”教學的一般框架：首先以具有整體性、連續(xù)性、活力性的過程而生成本單元的基本知識；其次在基本知識的基礎上以適當?shù)姆椒ㄕ归_研究或練習，從而獲得本單元的所有知識與方法；最后形成本單元的知識結(jié)構.

“過程→生成”理念的價值取向：期望通過良好的知識生成過程的熏陶使學生步入有思想、會思維、明事理、敢創(chuàng)造的境界；期望以此建立良好的講授基礎而和諧地融入各種新型教法，從而為學生營造良好的學習環(huán)境，達到夯實基礎、力求創(chuàng)新的目的.過程是為了基礎，生成是為了創(chuàng)新.

簡言之：教學教什么？教思維，教過程.教具有整體性、連續(xù)性、生成性的思維過程.

2.基于“過程→生成”理念的教學設計

2.1設計說明

當前教育改革中，一種被認為優(yōu)秀的“情景，定義→性質(zhì)→定理→例題，解答情景問題”數(shù)學教學方式在各種“公開場合”下廣泛流行，但殊不知其乃是傳統(tǒng)的“定義→性質(zhì)→定理→例題”模式在改革形勢下的偽裝.例如，2013年XX省普通高中教師職務（網(wǎng)絡）培訓所提供給學員的學習資料中，就有這樣一個教學視頻，其內(nèi)容是“圓與直線的位置關系”，其過程如下：①提出輪船是否受臺風影響問題；②回顧初三學過的直線與圓的位置關系的判定方法，直接稱其“為幾何法”→提出用圓與直線的公共點的個數(shù)判定位置關系的方法，直接稱其“定義法”→做練習；③解決開始的臺風問題.整個過程都是注入式的，如：不注重問題解決的過程、不注重誘導啟發(fā)、不關注學生的思維、全程直接式提問，等等，然而參訓學員卻對此予高度評價.如此視頻及評價充分表現(xiàn)出當前的教學改革中存在的嚴重問題.

針對如此教法，本文基于“過程→生成”理念，也給出“直線與圓的位置關系”的教學設計，期望鑒別討論.本文的設計思路如下：提出“臺風問題”解決“臺風問題”且獲得判定直線與圓位置關系的方法拓展“臺風問題”→基本練習：先以教材例題1的條件給出一個基本的判定練習，再以“一題多變”的思維將基本練習變化到教材中的例題1在研究性過程中引入了教材中的例題2→小結(jié).

準確地說本設計并非是具體的教學方案，而只是給出了一種供參考的知識生成過程，至于教學中如何實現(xiàn)，應該根據(jù)具體情況、酌情選擇教法：講授式、開放式、探究式均可.

2.2具體設計

（1）問題提出：一艘輪船在沿直線返回港口的途中接到臺風預報：臺風中心位于輪船正西80km處，受臺風影響區(qū)域的最大半徑是47.9km.已知港口位于臺風中心正北60km處，因此需要決斷：輪船是否可以不改變航線繼續(xù)返航？

（2）問題解決：

①建模

師：誰能幫助船長做出決定？（若無人回答則繼續(xù)提問）做決定的依據(jù)是什么？

生：輪船航線是否穿過臺風影響區(qū)域.

師：那么誰能說出輪船航線是否穿過臺風區(qū)域呢？（若無人回答則繼續(xù)提問），能看出來嗎？能測量出來嗎？（這里設計系列提問，通過諸多的“不能”使學生認識建立幾何模型的重要意義.需要說明的是：“過程→生成”教學要求，提問盡量不用“直接式”且要注重挑戰(zhàn)性與幽默性，提問要注重語氣、語調(diào)與節(jié)奏，以達到激發(fā)興趣，引起共鳴的效果.如采用講授方式，則更要注意表述思維過程的語言藝術.）

生：不能.

師：為何不能？

生：距離太遠.

師：那怎么辦？誰有對付“距離太遠”的妙招？……（若無人回答，則自言自語）偌大的戰(zhàn)場，如何指揮戰(zhàn)斗呢？（如果時間允許，介紹歐拉解決“七橋問題”的建模思想則更好.）

生：哦……地圖.

師：有辦法了？

生：有啦，圖，畫一個圖幫助我們判斷.

師：好，行動.

酌情選擇教法，分析問題條件，參照地圖知識，確定方向距離與作圖比例，建立圖1所示的模型圖.在這里，作圖要盡可能精確，因為問題的圓心到直線的距離與圓的半徑相差不大（這是特意設計的），于是即便是盡可能精確而做出的圖形，僅僅目測很難區(qū)分出是相交、相離，還是相切，這即是所要達到的效果，期望以此效果使學生不得不考慮尋找精確計算的方法，以此效果使學生認識到坐標方法的重要意義，以此效果使學生進一步認識到精確的圖形能夠幫助我們形成較好的直覺思維，但是也會產(chǎn)生錯覺.所以畫圖最好是先作圖分析，然后用PPT或掛圖展示圖形.

②分析

師：圖畫好啦，大家能看出什么？從圖上看，判斷輪船航線是否穿過臺風區(qū)域就是要判斷什么？

生：直線與是否相交.

師：那么，誰能說出是否相交呢？

組織學生充分發(fā)言討論：可能有的說相交，有的說相切，有的說相離，面對各種回答，教師要酌情“反駁”，使學生認識到：直覺，是必要的，但未必正確.于是就圍繞“看不出來，怎么辦”的問題討論，使得到“必須精確計算”的共識.接著討論“怎么計算”的問題，誘導學生想起初中學過的知識：

相交？圳兩個交點？圳dr.

在這里說明兩點：一是有意識地先寫“交點”后寫“d、r”，是因為交點的計算必須使用坐標方法而首先突出坐標思想.二是“過程→生成”理念認為：對于問題研究中所需要的“舊”知識，絕不在研究伊始“溫故”，而要在研究過程中根據(jù)問題解決的需要而“溫故”；如若是從已有知識中去發(fā)現(xiàn)新知識，那么應該在研究的開始“溫”出相關的“故”，但研究過程中所需要的“故”仍應在研究過程中“溫”.這才是“溫故知新”在素質(zhì)與能力培養(yǎng)中的妙用.

師：這就是說判定AB與⊙O的位置關系可以有“計算AB與⊙O交點的個數(shù)”與“比較圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小”兩種方法.好，為了說話方便，我們給它們起個名字，叫什么好呢？（經(jīng)商量，叫“交點法”與“距離法”.）下面就分別試用交點法與距離解決問題.

③解決

師：先試用交點法.請大家想一下如何計算“AB與⊙O有幾個交點”.

組織討論，達成共識：確定AB與⊙O的交點，就是要標定AB與⊙O在平面上的交點的位置，而做到這一點最好方法就是建立平面直角坐標系，把AB與⊙O放在同一個坐標系中進行計算.進而類比求“兩條直線交點”的方法易知：計算AB與⊙O的交點，需要先求出AB與⊙O的方程，再聯(lián)立求解即可.因此首要問題就是建立坐標系.

師：誰能建立坐標系？（如何建立坐標系非常重要，組織討論：首先確定坐標原點的位置，任意取行不行？——行！但是好不好？——不好！那么特殊點取在哪？——問題的特殊點，問題中有幾個特殊點？取哪一個較好？等等.直到達成共識：取在臺風中心，因為臺風的影響區(qū)域是圓，而圓方程相對復雜，所以以圓心為原點建立坐標系會比較方便；其次是確定方向，這個非常清楚；再次是確定單位長，單位長度可靈活確定，因為問題中的數(shù)據(jù)比較大，所以取10km為單位長.這樣即可建立圖2所示的坐標模型圖.）

師：現(xiàn)在就請大家計算.

可能有兩種計算方法，一種是根據(jù)的值進行判斷，另一種是要求出具體的交點.但因為問題中個別數(shù)據(jù)較大，所以后者必然浪費時間.因此當使用第一種方法的同學計算完畢后就讓學生都停止計算，檢查并進行算法優(yōu)劣比較，使明白一個道理：若僅判斷位置關系，只要計算即可；若需要求出交點，當然需求出方程組的所有解.最后總結(jié)出判定方法：

相交？圳△>0；相切？圳△=0；相離？圳△<0.

因為：

所以直線與相離，即輪船可以不改變航線繼續(xù)返航.（給出一種規(guī)范的解答，強調(diào)解題的語言及格式，培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力.）

師：那么，距離法行不行呢？

組織討論：距離法需要d與r，而問題中是已知的，故只要算d即可.如何計算可能有兩種思路，一種是在坐標系中使用點到直線的距離公式計算，另一種是因為d是點O到直角三角形OAB斜邊AB的距離，所以可用直角三角形的線段關系計算.鑒于時間關系及教學的基本要求，可將第二種留給學生思考解決.

師：先用距離公式計算d.（請學生做）

解：以臺風中心為原點、10千米為單位長度建立如圖2所示的平面直角坐標系.顯然直線AB的方程為x/8+y/6=1，整理得3x+4y-24=0，所以，點O到AB的距離

所以圓心到的距離為d=4.8×10=48千米，而⊙O的半徑r=47<48=d，故AB與⊙O相離，因此輪船預定航線不會受到臺風的影響.（同樣展示一種規(guī)范的解答）

師：如何用直角三角形法計算d，請大家課后做.

參考思路：根據(jù)三角形面積公式易知d·AB=OA·OB，這樣極易解決問題.此法是解決問題最簡方法，是學生在初中階段就熟練掌握的，高中生基本上可口算出來.

（3）問題拓展：此節(jié)可作為學生的課后研究問題，可要求成績較好的學生課后必做.

思考：實際生活中，上述問題會有什么變化？臺風是靜止不動的嗎？……

組織討論，達成共識：一般地說，臺風的作用區(qū)域會隨時間的變化而不斷變化，那么此種情況下輪船是否受臺風的影響又與輪船的速度有關.因此會有這樣的問題：一艘輪船以每小時16的速度沿直線返回港口，途中接到臺風預報：臺風中心位于輪船正西80公里處，受其影響的初始區(qū)域是以臺風中心為圓心、半徑為7公里的圓形區(qū)域，并且圓形區(qū)域的半徑正以每小時10公里的速度擴大.已知港口位于臺風中心正北60公里處，那么如果輪船按原定航線繼續(xù)前進，是否受到臺風影響？假如不受到臺風影響，那么輪船距離臺風影響的圓形區(qū)域的邊緣最近距離是多少？

參考思路：問題解決的依據(jù)仍然是直線與圓的位置關系，不過此問題的難點是臺風的作用域是隨時間而變化的，因此可畫出圖3所示的模型圖，其中臺風作用域的半徑r（t）是時間t的函數(shù)，由圖可見解決問題的關鍵是確定當輪船航行到D點時r（t）的值，為此也就需要知道輪船航行到D點時所需要的時間，而的長度/16，但△OAD中OA是已知的，所以只要求出O到AB的距離d，問題就迎刃而解了.

參考解答：同上可求出d=48，所以公里，于是輪船從A到D需要16=4小時，所以當輪船行駛到時，臺風的作用半徑為公里，因此輪船按預定航線行駛不會受到臺風影響，并且輪船的航線距離臺風作用域的最近距離為48-47=1公里.

（4）基本練習：

例1：已知直線L：3x+y-6=0與⊙C：，判斷L與⊙C的位置關系.

參考思路：如使用距離法，那么因為需要圓心與半徑，所以應該把圓的方程化為標準式；如用交點法，那么直接聯(lián)立方程即可.

師：請大家想一下，在例1的條件下，還可以考慮計算什么問題？

組織大家討論，必要時提出一個問題：“探險隊需沿某直線方向穿過一塊圓形沼澤地，假如你是隊員之一，那么你最關心的是什么？”（期望結(jié)果是：最關心在沼澤地中走多遠，這也就是求弦長問題），也就是例1可以進一步變化為：

例2：判斷直線L：3x+y-6=0與⊙C：的位置關系，若相交，則求出交點的坐標及由其產(chǎn)生的弦的長度；若相切，則求切點的坐標.

請學生口述自己的解題思路，看誰的方法最簡.

參考思路：此問題只是比例1多了點要求——求交點及弦長，但因為求弦長必須知道交點，所以選用交點法可一舉兩得.

（5）深入研究：

至此，我們能夠做到

對于給定的直線與圓它們是相交、相切、還是相離，并且相交時能夠求出其交點，相切時能夠求出其切點，此結(jié)果已經(jīng)完整了.不過能否反過來思考問題呢？誰來說說？——期望結(jié)果：

已知某直線與某圓相交，求出這個圓或者這條直線.

我們研究這個問題.

分析：如果僅知道設某直線L與某圓C相交，那么這樣的圓與直線有多少？——無窮多.這是非常平凡的問題，因此應該再添加一些相關的條件，比如說考慮以下問題：

①設直線L與⊙C相交，如果已知交點為，那么L與C如何？

②設直線L與⊙C相交，如果已知一個交點為且L過不在圓上的一點D（a，b），那么L與C如何？

③設直線L與⊙C相交且一個交點為，那么L與C如何？

④已知直線的方程，確定圓.例如：已知以C（-4，3）為圓心的圓與直線L：2x+y-5=0相交，求⊙C半徑r的取值范圍.（參考思路：因為“相交？圳d0”，所以可依據(jù)d0求解，結(jié)果是r>2）

⑤已知圓方程，確定直線.例如：已知直線l：kx-y+3=0和⊙O：相交，確定k的值？

問題①～⑤請同學們課后思考.

⑥增加較復雜的條件：

例3：已知過點M（-3，-3）的直線l被圓所截得弦長為，求l的方程.

解題思路分析：

已知什么：圓方程；直線l上一點；弦長.

要求什么：直線l的方程.

求直線方程應該怎么做：選擇一種合適的直線方程形式，設法確定其中的待定系數(shù).

選擇哪種形式的直線方程最方便：因為僅知道l上一點，所以點斜式可能方便.于是設l的方程為y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，其中k為待定系數(shù).

如何確定k：沒有直接條件，可考慮常用的“方程法”求之，于是尋求關于k的方程.

參考圖4，

對例3的思考：例3似乎說明了這樣一個結(jié)論——過異于圓心的點M且被圓所截得的弦長為a的直線有兩條.這個結(jié)論對嗎？還可能有什么情況？當有兩條時又可能出現(xiàn)什么特殊情況？

此題作為課后作業(yè)，讓學生編寫“特殊情況”的例題，且總結(jié)規(guī)律.

3.小結(jié)

②交點法：

參考文獻：

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[2]屈建成，朱建華，楊陳.教育專家周滿生痛斥“功名為本”[N].武漢晚報，2009-9-27（18）.

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基金項目：廣東省教育科學“十一五”規(guī)劃課題：基于三維目標的高師數(shù)學過程教學模式研究（2009tjk081）。