鐘曉慶

二項式定理涉及項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)等方面的規(guī)律和聯(lián)系.一般來說，解決二項式定理問題相對獨立，主要包括求展開式中的相關(guān)項，求二項式系數(shù)或系數(shù)和，系數(shù)的最大項，處理整除問題以及簡單的放縮法證明等等.我們會發(fā)現(xiàn)，這類問題往往與數(shù)列的思想方法密切關(guān)聯(lián)，本文結(jié)合具體例題加以分析，以進一步促進學(xué)生思維的靈活性，透徹地理解知識間的內(nèi)部聯(lián)系，這也是高中數(shù)學(xué)的基本要求之一.

上述解法用了數(shù)列中我們經(jīng)常使用的“倒序相加法”，組合數(shù)前的系數(shù)滿足等差數(shù)列的特征，又因為組合數(shù)的對稱性Cmn=Cn-mn，因此我們聯(lián)想到等差數(shù)列{an}具有的性質(zhì)：若m+n=p+q則am+an=ap+aq，由此結(jié)合這兩個性質(zhì)，符合了數(shù)列中用“倒序相加法”來求和的相關(guān)特點，從而順利解答此類問題.我們回顧例1可發(fā)現(xiàn)，其實亦可用此法解決，只是因為系數(shù)是公差為1的等差數(shù)列，又正好可以看做xn的指數(shù)，所以也可用求導(dǎo)的方式解決.

本題以二項式系數(shù)為背景，第一小問仍是研究通項，第二小問與等差數(shù)列相結(jié)合，屬于存在性問題，但研究的是所有存在的情況，利用求根公式探究n存在形式的特點，最終根據(jù)范圍找出所有取值情況及個數(shù)，知識融合度高，處理方式較為靈活.

上述解題實際上是二項式定理的逆用，事實上觀察二項式展開后的結(jié)構(gòu)特征，會發(fā)現(xiàn)跟等比數(shù)列聯(lián)系較大，當(dāng)x=1時，An的化簡用了數(shù)列中“倒序相加”的方式，推廣可得，對任意一個等差數(shù)列 {an}，形如a1C0n+a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn的代數(shù)式都可以用“倒序相加法”結(jié)合組合數(shù)的對稱性Cmn=Cn-mn解決.

綜上所述，二項式定理作為選修內(nèi)容的重點，是高考中的難點，這部分內(nèi)容除了對基本題型要熟練掌握外，還需透徹地理解思想方法，它與數(shù)列的綜合應(yīng)用也是值得我們多探究多深入思考的課題.

（作者單位 江蘇省海門實驗學(xué)校）