萬麗

“圓”是特殊的平面曲線圖形，而學習圓的特殊性質也是初中數(shù)學中的一項重要的任務，雖然《課程標準》中降低了原《教學大綱》中圓的定理教學和演繹證明的要求，但圓為三角形的運用及化歸思想的培養(yǎng)，以及鞏固和深化“圖形變換”的教學提供了理想的平臺。某些幾何題通過添加輔助圓，能收到意想不到的效果。下面列舉三種適合添加輔助圓的幾何題。

1.等距離型：即若干個點到某一點的距離相等。到定點的距離等于定長的點都在圓上，這一結論既是判定點在圓上的依據(jù)，又是添加輔助圓的依據(jù)。

例1 求證：如果三角形一邊上的中線等于該邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

已知：如圖1，在△ABC中，BM=CM，且AM=■BC.求證：∠BAC=90°.

解析：由已知得BM=CM =AM，故點B、C、A在以BC為直徑的⊙M上，如圖2，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得∠BAC=90°.

圖 1 圖 2

2.直角型：90°的圓周角所對的弦是直徑，直徑所對的圓周角是直角，這成為由直角聯(lián)想到輔助圓的依據(jù)。簡稱“有直角想直徑”。

例2 如圖3 ，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），直線l ∶ y=-2x+4分別與x軸和y軸相交于B、C兩點。

（1）點B的坐標為 ，點C的坐標為 ；

（2）在直線l上是否存在點P，使得△AOP為直角三角形。若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

圖 3 圖 4

解析：△AOP為直角三角形，并沒有明確哪個角是直角，故需分三種情況討論，即∠AOP、∠OAP、∠APO分別為直角。當P為直角頂點時，由直徑所對的圓周角是直角，聯(lián)想到P點可以看作是以AO為直徑的⊙B與直線l的交點，這樣的P點有兩個（如圖4）。在這種情況下要求點P的坐標時，一種方法是看出PB是Rt△AOP斜邊上的中線，從而用幾何方法求得。如果知道圓上的點滿足的關系式，也可以用它與直線的表達式聯(lián)列成方程組求得。

3.互補型：我們知道利用圓中同弧所對的圓心角是圓周角的2倍可以證明圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.利用這一點我們也可以構造輔助圓解決幾何題。

例3 如圖5，點P是銳角△ABC所在平面上的一點，如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱點P為△ABC的費馬點。

（1）當△ABC是邊長為4的等邊三角形時，費馬點P到BC邊的距離為 ；（2）如圖6，在銳角△ABC的外側作等邊△ACB′，連接BB′，能否在線段BB′上取一點P，使P成為△ABC的費馬點，并給出說明；（3）如圖7，利用尺規(guī)找出△ABC的費馬點P（不寫作法，保留作圖痕跡）。

解析：本題是一道閱讀理解題，對于第（1）小題，學生利用等邊三角形的的性質不難想到此時P點就是等邊三角形的內(nèi)心（或外心），解決起來沒有什么問題。但是第（2）小題卻會很難入手，不知道該用什么知識去解決，此時如果發(fā)現(xiàn)已知條件中角度之間的關系，120°與60°互補，再結合圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，從而聯(lián)想到作△ACB′的外接圓，與BB′的交點就是P點。因為∠CPA+∠CB′A=180°，所以∠CPA=120°.根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”，可以知道∠APB′=∠ACB′=60°，從而得到∠BPA=120°，同理也可以得到∠CPB=120°。有了這種思想的鋪墊，第（3）小題就迎刃而解了，因此受前面一題的提示，此時既然沒有60°角，那么我們可以去構造，從而就模仿第（2）小題，在△ABC的外側作等邊△ACB′，然后再作△ACB′的外接圓，與BB′的交點就是P點，理由與第（2）小題一樣。

數(shù)學的一個很大魅力就是知識間的互相滲透與運用，由上面幾種類型的例題可以使我們充分感受到輔助圓在幾何證明中起到的巨大作用。那么在碰到問題的時候怎么判斷是否可用圓來解決呢，這主要還是從圖形的特點以及圓的相關性質來進行判斷，同時利用輔助圓解決幾何問題也是高中比較常見的解題方法。