向量的概念與運(yùn)算

掌握平面向量的線性運(yùn)算的三種運(yùn)算形式，利用平面向量“數(shù)”和“形”的雙重屬性，借助平面圖形的幾何性質(zhì)簡化運(yùn)算，這兩條性質(zhì)在解題中經(jīng)常用到：

（1）已知A，B，C三點在直線l上，且直線不過點O，則有=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，反之亦然；

（2）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足++=0，則點O為△ABC的重心.

（★★★★）必做1 在△ABC中，點M滿足++=0，若++m=0，則實數(shù)m的值為______.

[牛刀小試]

精妙解法 因為++m=（-）+（-）-m=0，所以（-m-2）++=0. 所以-m-2=1. 所以m=-3.

極速突擊 解決該題的一種思維是將已知向量向目標(biāo)向量進(jìn)行分解，得出結(jié)果；另一種思維是理解已知向量條件的幾何意義（點M是△ABC的重心），再結(jié)合三角形中線的向量形式，觀察得出結(jié)論.

（★★★★）必做2 點O為△ABC的外心，已知AB=3，AC=2，若=x+y，x+2y=1，則cosB=_____.

[牛刀小試]

精妙解法 如圖1，設(shè)點D為線段AC的中點，則=x+y=x+2y·=x+2y.

[C][B][A][D][O][圖1]

因為x+2y=1，所以B，O，D三點共線. 所以AB=BC=3. 所以cosB=.

極速突擊 源自課本例題的知識點在熟練理解的基礎(chǔ)之上可以上升成結(jié)論，并應(yīng)用于解題中時能起到事半功倍的效果.

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

（★★★）必做3 已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，向量am=（-1，），n=（cosA，sinA），且m·n=0，則角A的值為________.

[牛刀小試]

精妙解法 由m·n=0得-cosA+sinA=0，所以tanA=. 又A∈（0，π），所以A=.

極速突擊 通過對平面向量的坐標(biāo)的學(xué)習(xí)，掌握用坐標(biāo)進(jìn)行向量運(yùn)算的公式和定律.

（★★★★）必做4 如圖2，平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為150°，且

=

=1，

=2. 若=λ+μ（λ，μ∈R），則λ+μ的值為_________.

[][y][x][O][A][-][1][-0.5][-3][C][B]

圖2

[牛刀小試]

精妙解法 如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則=（1，0），=

-，

，=（-3，-），代入=λ+μ（λ，μ∈R）得λ

-μ=-3，

μ

=-，解得λ=-4，μ=-2，故λ+μ=-6.

極速突擊 坐標(biāo)的引入，使向量真正成為數(shù)形結(jié)合的載體，為向量與其他代數(shù)知識的結(jié)合創(chuàng)造了前提條件.

（★★★★）必做5 如圖3，在△ABC中，AD⊥AB，=，

=1，則·=_________.

[C][B][A][D]

圖3

[牛刀小試]

精妙解法 以點A為坐標(biāo)原點，方向為x軸正方向，方向為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，得B（xB，0），C（xC，yC），D（0，1），

=（xC-xB，yC），=（-xB，1）.

因為=，

所以xC-xB

=（-xB），

yC

=.

所以xC=（1-）xB，yC=.

所以=（（1-）xB，），=（0，1）.

所以·=.

極速突擊 向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示形式，因此它的運(yùn)算也有兩種方式，此題還可通過向量的加減運(yùn)算代入數(shù)量積的定義完成.

向量的數(shù)量積（模與夾角問題）

（★★★★）必做6 已知向量=（3，1），=（-1，a），a∈R，若△ABC是直角三角形，則a的值為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 ①當(dāng)A=90°時，⊥，即3×（-1）+1×a=0，所以a=3.

②當(dāng)B=90°時，⊥，因為=-=（-4，a-1），所以3×（-4）+1×（a-1）=0. 所以a=13 .

③當(dāng)C=90°時，⊥，所以-1×（-4）+a×（a-1）=0，此時a?R.

綜上a=3或13.

極速突擊 運(yùn)用向量數(shù)量積的定義建立方程是解題的關(guān)鍵.

誤點警示 容易忽略對直角的分類討論，從而使得答案不完善. 涉及解決需要討論的問題時，要從多角度出發(fā)，以確定符合條件的元素的多樣化.

（★★★★）必做7 在正三角形ABC中，點P在線段AB上，滿足=λ，若·=·，則實數(shù)λ的值是_________.

[牛刀小試]

精妙解法 如圖4，取AB的中點D，設(shè)AD=BD=1，PD=x，

[C][B][A][D][P]

圖4

則·=（+）·=·，即2x=（x+1）（1-x），

解得x=-1，所以λ=.

極速突擊 向量的長度與角度問題要求較高，仍將是重點考查的內(nèi)容，運(yùn)用向量的數(shù)量積處理其他數(shù)學(xué)問題是一種新的趨勢.

向量的應(yīng)用

（★★★★）必做8 O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ

+

，λ∈[0，+∞），則點P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A. 外心 B. 內(nèi)心

C. 重心 D. 垂心

[牛刀小試]

精妙解法 因為，分別是與，同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形法則知+是與∠BAC的角平分線（射線）同向的一個向量，又-==λ

+

，所以點P的軌跡是∠BAC的角平分線. 從而點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心. 答案為B.

極速突擊 熟悉向量加法的平行四邊形法則以及向量減法的三角形法則.

（★★★★）必做9 如圖5，E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB=3，AC=6，則·=__________.

[F][B][A][C][E]

圖5

[牛刀小試]

精妙解法 ·=（+）·（+）=

+

·

-

=·-

2+·（-）=

2=（62+32）=10.

極速突擊 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，在直接求解困難時，可根據(jù)題設(shè)特點建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算完成解答（此題就可以建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解）.

用向量法求解或證明幾何問題時，要注意挖掘題目中的隱含條件及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用. 注意在知識的交匯點處設(shè)計的試題，如與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何的綜合尤為突出.

正、余弦定理

（★★★★）必做10 在△ABC中，∠B=60°，AC=，則AB+2BC的最大值為_________.

[牛刀小試]

精妙解法 因為===2，所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin

π-A+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ）.

所以（AB+2BC）max=2.

極速突擊 此題先運(yùn)用正弦定理將邊化角，再通過消元的思想統(tǒng)一角，最后進(jìn)行三角運(yùn)算得出結(jié)果，這是此類題型的通法.

（★★★★）a必做11 在△ABC中，設(shè)AD為BC邊上的高，且AD=BC， b，c分別表示角B，C所對的邊長，則+的取值范圍是____________.

[牛刀小試]

精妙解法 2≤+===+2cosA=+2cosA=sinA+2cosA=sin（A+φ）≤（其中a為BC的長）. 所以答案為[2，].

極速突擊 余弦定理的代換是化簡此題的關(guān)鍵，同時對已知條件的分析一定要到位.

正、余弦定理常以三角形為主要依托，所以處理三角形問題時必須結(jié)合三角形中的有關(guān)定理完成解題. 近幾年的考題中，正、余弦定理出現(xiàn)的頻率較高，因此要加強(qiáng)對正、余弦定理概念的研究，了解正、余弦定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握公式的一些常用變形. 一般地，解三角形問題主要有以下四類問題：

已知兩邊及夾角求其他，利用余弦定理，此時三角形唯一確定；

已知三邊求其他，利用余弦定理，此時三角形唯一確定；

已知兩邊及一邊對角求其他，利用正弦定理，此時三角形可能不唯一；

已知兩角及一邊求其他，利用正弦定理，此時三角形唯一.