三角函數(shù)的概念

（★★★★）必做1 已知銳角α終邊上一點(diǎn)Psin

，cos

，則α的值為_(kāi)________.

[牛刀小試]

精妙解法 由條件知，點(diǎn)P顯然在單位圓上，所以sinα=cos=cos

-

=sin. 又α是銳角，故α=.

極速突擊 求角的通法就是求它的個(gè)某三角函數(shù)值，進(jìn)而利用角的取值范圍確定角. 不同名的三角函數(shù)關(guān)系要先轉(zhuǎn)化為同名的三角函數(shù)關(guān)系，即可得到角.

（★★★）必做2 如圖1，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，且點(diǎn)B在第二象限. C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，

，△AOB為直角三角形.

（1）求sin∠COA；

（2）求BC的長(zhǎng)度.

[A][B][O][y][C][x][圖1]

[牛刀小試]

破解思路 只要熟悉三角函數(shù)的定義就可求出三角函數(shù)值，點(diǎn)A正好是∠COA終邊上的一點(diǎn)，所以很容易求出.求線段BC的長(zhǎng)度需要知道點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式或余弦定理來(lái)求距離.

精妙解法 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為

，

，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知sin∠COA=.

（2）因?yàn)椤鰽OB為直角三角形，所以∠AOB=90°，cos∠COA=，

故cos∠COB=cos

+∠AOC= -sin∠AOC=-，

sin∠COB=sin

+∠AOC=cos∠AOC=.

法1：由定義易知B

-，

，所以由兩點(diǎn)間的距離公式得BC2==，BC=.

法2：由余弦定理得BC2=OC2+OB2-2OC·OB·cos∠BOC=，BC=.

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（★★★★）必做3 設(shè)函數(shù)f（x）=sin

--2cos2+1.

（1）求f（x）的最小正周期.

（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求當(dāng)x∈0，

時(shí)，y=g（x）的最大值.

[牛刀小試]

破解思路 要求函數(shù)的周期須先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，寫(xiě)成三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式后即可求出周期.求函數(shù)y=g（x）的最大值可以先求出其解析式，利用y=g（x）圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱后在y=f（x）的圖象上可求得；若不求y=g（x）的解析式，則可求出區(qū)間0，

關(guān)于直線x=1對(duì)稱后的區(qū)間，y=f（x）在該區(qū)間上的最大值就是y=g（x）在區(qū)間0，

上的最大值.

精妙解法 （1）由已知得 f（x）=sinxcos-cosxsin-cosx

=sinx-cosx=·sin

x-.

故f（x）的最小正周期為T(mén)==8.

（2）法1：在y=g（x）的圖象上任取一點(diǎn)（x，g（x）），它關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)為（2-x，g（x）） .

由題設(shè)條件，點(diǎn)（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，從而g（x）=f（2-x）=sin

（2-x）

-=·sin

-

x-=cos

x+.

當(dāng)0≤x≤時(shí)，≤x+≤，因此y=g（x）在區(qū)間0，

上的最大值為 g=cos=.

法2：因區(qū)間0，

關(guān)于x=1的對(duì)稱區(qū)間為

，2，且y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，所以y=g（x）在0，

上的最大值為y=f（x）在

，2上的最大值.

由（1）知， f（x）=sin

x-，當(dāng)≤x≤2時(shí)，-≤x-≤，因此y=f（x）在

，2上的最大值為f=sin=. 所以y=g（x）在0，

上的最大值為.

極速突擊 本題的突破點(diǎn)就是能正確地化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，對(duì)誘導(dǎo)公式、和差公式、二倍角公式能夠熟練運(yùn)用.根據(jù)一個(gè)函數(shù)圖象求關(guān)于某直線對(duì)稱后的函數(shù)圖象一般利用轉(zhuǎn)化法，把要求的函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱到已知的函數(shù)圖象上再代入其解析式即可求得.

誤點(diǎn)警示 在用轉(zhuǎn)化法求對(duì)稱問(wèn)題中的函數(shù)解析式時(shí)，一定是把要求的函數(shù)圖象上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到已知的曲線上來(lái)求，不能顛倒.

（★★★★）必做4 如圖2，某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC，另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向右的拋物線的一部分，后一段DBC則是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，

φ

<，x∈[4，8]的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B5，

，DF⊥OC，垂足為F.

[O][E][F][x][M][D][B][P][C][y][圖2]

（1）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式；

（2）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂(lè)園PMFE，問(wèn)點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，水上樂(lè)園的面積最大？

[牛刀小試]

破解思路 求三角函數(shù)的解析式，由最高點(diǎn)坐標(biāo)可求出振幅A，由周期可求出ω，再代入一個(gè)點(diǎn)即可求出φ.根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)可求出拋物線的方程，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，則可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而列出矩形PMFE的面積關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)來(lái)求最值.

精妙解法 （1）對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ），由圖象可知，A=，ω===，將B5，

代入到y(tǒng)=sin

x+φ中，得+φ=2kπ+（k∈Z）. 又φ<，所以φ= -，故y=sin

x-.

（2）在y=sin

x-中令x=4，得D（4，4），得曲線OD的方程為y2=4x（0≤x≤4）.

設(shè)點(diǎn)P

，t（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=4-

t（0≤x≤4）.

因?yàn)镾′=4-，由S′=0，得t=，且當(dāng)t∈0，

時(shí)，S′>0，S遞增；當(dāng)t∈

，4時(shí)，S′<0，S遞減. 所以當(dāng)t=時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

，

.

極速突擊 求三角函數(shù)的解析式就是求三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，通過(guò)振幅、周期及圖象過(guò)一個(gè)定點(diǎn)這三步完成.關(guān)于最值問(wèn)題一般要先列出函數(shù)關(guān)系式，再用基本不等式或?qū)?shù)等方法來(lái)求函數(shù)的最值.

此類三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.在今后的命題趨勢(shì)中，綜合性題型仍會(huì)是熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可能逐漸加強(qiáng).

誤點(diǎn)警示 在代入點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)φ的時(shí)候，要注意與五點(diǎn)作圖法中的點(diǎn)對(duì)應(yīng).在求最值時(shí)要注意t的取值范圍的限制，否則會(huì)解出兩個(gè)值.

三角函數(shù)的和差倍角運(yùn)算

（★★★）必做5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P

，cos2θ在角α的終邊上，點(diǎn)Q（sin2θ，-1）在角β的終邊上，且·=-.

（1）求cos2θ的值；

（2）求sin（α+β）的值.

[牛刀小試]

破解思路 要求cos2θ的值，由cos2θ=2cos2θ-1可知需要求出cos2θ的值，利用已知條件中的向量數(shù)量積列出等式，求出cos2θ. 結(jié)合sin2θ+cos2θ=1便可求出sin2θ，繼而也就知道了P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由三角函數(shù)的定義可求得α，β角的三角函數(shù)值，從而求得sin（α+β）的值.

精妙解法 （1）因?yàn)椤?-，所以sin2θ-cos2θ=-，

即（1-cos2θ）-cos2θ=-，所以cos2θ=，

所以cos2θ=2cos2θ-1=.

（2）因?yàn)閏os2θ=，所以sin2θ=，所以點(diǎn)P

，

，點(diǎn)Q

，-1.

又點(diǎn)P

，

在角α的終邊上，所以sinα=，cosα=.

同理，sinβ=-，cosβ=.

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×

-=-.

極速突擊 該題的兩個(gè)問(wèn)題都是求三角函數(shù)值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運(yùn)用兩角和與差三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是要抓住公式的特征，如角的關(guān)系、次數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)名等.抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到相應(yīng)的公式，找到解題的切入點(diǎn). 對(duì)公式的逆用和變形也要熟悉.

（★★★★）必做6 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2sinxcosx.

（1）求函數(shù)在

-

，上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

[牛刀小試]

破解思路 利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并成一個(gè)三角函數(shù)，把得到的角看成一個(gè)整體求出其取值范圍，再求整個(gè)三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個(gè)角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)把其中的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為用一個(gè)角來(lái)表示即可求出一個(gè)三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+sin2x=2sin

2x++1.

因?yàn)?≤x≤，所以-≤2x+≤ .

所以-≤sin

2x+≤1，所以-1≤2sin

2x+≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在

-

，上的值域?yàn)閇0，3].

（2）由f（C）=2得2sin

2C++1=2，所以sin

2C+=.

在△ABC中，因?yàn)?

所以2C+=，所以C=，所以A+B=.

因?yàn)?sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因?yàn)锽=-A，C=，所以可得2sin

-A=sinA.

即cosA+sinA=sinA，即（-1）sinA=cosA.

所以tanA==.

極速突擊 求值問(wèn)題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡(jiǎn)求值.三角函數(shù)中的求值問(wèn)題通常要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用；對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問(wèn)題，可利用分析法解決.

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問(wèn)題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關(guān)系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個(gè)角），從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，更輕松解決問(wèn)題.

三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的難點(diǎn)在a于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡(jiǎn)與證明的方法. 突破這兩個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是：①要熟練靈活運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項(xiàng)的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.