第一類：集合

集合的含義

（★★★）必做1 給出如下定義：若平面點(diǎn)集A中的任意一個(gè)點(diǎn)（x0，y0），總存在正實(shí)數(shù)r，使得集合（x，y）

①{（x，y）

x2+y2=1}；② {（x，y）

x+y+2>0}；③{（x，y）x+y ≤6}；④ {（x，y）

0

[牛刀小試]

精妙解法 畫圖進(jìn)行判斷：

對(duì)于①（如圖1），顯然不存在一個(gè)面集?點(diǎn)集，該集合不符合題目要求.

[O][-1][1][x][y][（x0，y0）][圖1]

對(duì)于②（如圖2），顯然存在面集?面集，該集合符合題目要求.

[O][x][y][（x0，y0）][-2][-2][圖2]

對(duì)于③（如圖3）， 在邊界上的（x0，y0），怎么取也難以得到符合題目要求的圓，所以該集合不符合.

[O][x][y][（x0，y0）][-6][-6][圖3]

對(duì)于④（如圖4），顯然存在面集?面集，該集合符合題目要求.

[O][x][y][（x0，y0）][圖4]

所以綜合上面的分析得答案為②④.

（★★★）必做2 點(diǎn)集{（x，y）

x

-1

+

y

=2}的圖形是一條封閉的折線，這條封閉折線所圍成的區(qū)域的面積是（ ）

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

[牛刀小試]

[圖5][O][1][1][3][x][2][y]

精妙解法

x

-1

+

y

=2可化為

y

=2-

x

-1

，即

y=

x

-1

-2，y<0，

2-

x

-1

，y≥0.根據(jù)曲線

y

=2-

x

-1

的對(duì)稱性可以作出圖象的變換，即由y=

x

的曲線向下平移一個(gè)單位，得y=

x

-1，再將y軸下方的圖象對(duì)折到x軸的上方，可得y=

x

-1

，關(guān)于x軸對(duì)稱可得y=-

x

-1

，再向上平移兩個(gè)單位可得y=2-

x

-1

，最后可得

y

=2-

x

-1

的圖象如圖5所示，其面積為4×

×（1+2）×1+

×2×2=14，故應(yīng)選A.

集合的運(yùn)算

（★★★）必做3 定義集合運(yùn)算：A☉B(tài)={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A☉B(tài)的所有元素之和為（ ）

A. 0 B. 6 C. 12 D. 18

[牛刀小試]

精妙解法 根據(jù)定義可得z的取值為：當(dāng)x=0，y=2或3時(shí)，z均為0；當(dāng)x=1，y=2時(shí)，z=6；當(dāng)x=1，y=3時(shí)，z=12，所以A☉B(tài)={0，6，12}，則其所有元素之和為18.

（★★★）必做4 設(shè)A，B是非空集合，定義A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}. 已知A={x

y=}，B={y

y=2x，x>0}，則A×B等于（ ）

A. [0，1]∪（2，+∞）

B. [0，1]∪[2，+∞）

C. [0，1]

D. [0，2]

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)锳=[0，2]，B=（1，+∞），所以A×B={x

x∈A∪B且x?A∩B}=[0，1]∪（2，+∞）.故選A.

第二類：函數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)

（★★★）必做1 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M>0，使

f（x）

≤M

x

對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”. 現(xiàn)給出下列函數(shù)：①f（x）=2x；②f（x）=x2+1；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=. 其中是“倍約束函數(shù)”的有（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

[牛刀小試]

精妙解法 ①f（x）=2x顯然存在M符合題目要求，所以它是“倍約束函數(shù)”.

②當(dāng)x=0時(shí)， f（0）=1，此時(shí)不可能存在M符合題目要求，所以f（x）=x2+1不是“倍約束函數(shù)”.

③當(dāng)f（0）=1時(shí)不可能存在M符合題目要求，所以f（x）=sinx+cosx不是“倍約束函數(shù)”.

④f（0）=0，且經(jīng)過分析可以確定其圖象大致如下：

[-5][5][2][-2][圖6]

可以肯定存在M符合題目要求，所以 f（x）=是“倍約束函數(shù)”

所以①④均符合題目要求，選B.

（★★★）必做2 已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f1（x）=min{f（t）

a≤t≤x}（x∈[a，b]）， f2（x）=max{f（t）

a≤t≤x}（x∈[a，b]）. 其中，min{f（x）

x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）

x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值. 若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”.

（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，試寫出f1（x）， f2（x）的表達(dá)式；

（2）已知函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，4]，試判斷f（x）是否為[-1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的k；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（3）已知b>0，函數(shù)f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍.

[牛刀小試]

精妙解法 （1）由題意可得：f1（x）=cosx，x∈[0，π]， f2（x）=1，x∈[0，π].

（2）f1（x）=x2，x∈[-1，0），

0，x∈[0，4]，f2（x）=1，x∈[-1，1），

x2，x∈[1，4]，由此可得f2（x）-f1（x）=1-x2，x∈[-1，0），

1，x∈[0，1），

x2，x∈[1，4].當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，1-x2≤k（x+1），所以k≥1-x，k≥2；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1≤k（x+1），所以k≥，所以k≥1；當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，x2≤k（x+1），所以k≥，所以k≥. 綜上所述，k≥，即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數(shù).

（3）f′（x）=-3x2+6x=-3x（x-2），令f′（x）=0得x=0或x=2. 函數(shù)f（x）的變化情況如下：

[x＼&（-∞，0）＼&0＼&（0，2）＼&2＼&（2，+∞）＼&f′（x）＼&-＼&0＼&+＼&0＼&-＼&f（x）＼&＼&0＼&＼&4＼&＼&][→][→][→]

令f（x）=0，解得x=0或3.

（i）當(dāng)b≤2時(shí)，f（x）在[0，b]上單調(diào)遞增，因此f2（x）=f（x）=-x3+3x2， f1（x）=f（0）=0.

因?yàn)閒（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，所以，①f2（x）-f1（x）≤2（x-0）對(duì)x∈[0，b]恒成立；②存在x∈[0，b]，使得f2（x）-f1（x）>1·（x-0）成立.

①即-x3+3x2≤2x對(duì)x∈[0，b]恒成立，由-x3+3x2≤2x，解得0≤x≤1或x≥2，要使-x3+3x2≤2x對(duì)x∈[0，b]恒成立，需且只需0

②即存在x∈[0，b]，使得x（x2-3x+1）<0成立. 由x（x2-3x+1）<0得x<0或.

綜合①②可得：

（ii）當(dāng)b>2時(shí)，顯然有∈[0，b]，由于f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，根據(jù)定義可得：f2

=， f1

=0，可得 f2

-f1

=>2×=3，此時(shí)f2（x）-f1（x）≤2（x-0）不成立.

綜合（i）（ii）可得：

函數(shù)的基本性質(zhì)是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)，主要涉及函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等.解決這部分的創(chuàng)新題，主要是將問題轉(zhuǎn)化到函數(shù)的基本性質(zhì)上來進(jìn)行解決.

第三類：三角函數(shù)

三角函數(shù)基本性質(zhì)

（★★★）必做1 如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“保三角形函數(shù)”.

（1）判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，并證明你的結(jié)論：①f（x）= ；②g（x）=sinx（x∈（0，π））.

（2）若函數(shù)h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數(shù)，求M的最小值.

[牛刀小試]

精妙解法 （1）① f（x）= 是保三角形函數(shù). 對(duì)任意一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c，則a+b>c，b+c>a，c+a>b， f（a）= ， f（b）= ， f（c）= . 因?yàn)椋?）2=a+2+b>c+2>（）2，所以+>.同理可以證明：+>，+>. 所以f（a）， f（b）， f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，故 f（x）=是保三角形函數(shù).

②g（x）=sinx （x∈（0，π））不是保三角形函數(shù). 取，，∈（0，π），顯然這三個(gè)數(shù)能作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng). 而sin=1，sin=sin=，不能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

所以g（x）=sinx （x∈（0，π））不是保三角形函數(shù)；

（2）M的最小值為2.

①首先證明當(dāng)M≥2時(shí)，函數(shù)h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數(shù). 對(duì)任意一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)a，b，c∈[M，+∞），且a+b>c，b+c>a，c+a>b，則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc.

因?yàn)閍≥2，b≥2，a+b>c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b>c，所以lnab>lnc，即lna+lnb>lnc.

同理可證明lnb+lnc>lna，lnc+lna>lnb.

所以lna，lnb，lnc是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

故函數(shù)h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2）是保三角形函數(shù).

②其次證明當(dāng)0

當(dāng)0

因?yàn)?M2，所以M，M，M2是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，而lnM+lnM=2lnM=lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，

所以h（x）=lnx不是保三角形函數(shù).

所以，當(dāng)M<2時(shí)，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數(shù).

綜上所述：M的最小值為2.

第四類：平面向量

平面向量的基本運(yùn)算

（★★★★）必做1 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)其中任何一向量X=（x1，x2，x3），定義范數(shù)

X

，它滿足以下性質(zhì)：

（1）

X

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；

（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，

λX

=

λ

·

X

（注：此處點(diǎn)乘號(hào)為普通的乘號(hào)）.

（3）

X

+

Y

≥

X+Y

.

試求解以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，有向量X=（x1，x2），下面給出的幾個(gè)表達(dá)式中，可能表示向量X的范數(shù)的是_______（把所有正確答案的序號(hào)都填上）.

①； ②；

③； ④.

精妙解法 由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，=0， 因此可以排除②③.按照解題經(jīng)驗(yàn)，本題答案應(yīng)該是①④.

下面進(jìn)行驗(yàn)證：現(xiàn)在探索一下①是否滿足性質(zhì)（3），+≥?2abmn≤a2n2+b2m2，這是顯然成立的，所以①滿足性質(zhì)（3）. 又①顯然滿足性質(zhì)（2），所以①能表示X的范數(shù). 同理可知④也可以表示向量X的范數(shù). 所以正確答案是①④.

第五類：立體幾何

幾何體表面積與體積

（★★★★）必做1 有這樣一個(gè)事實(shí)，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，把一個(gè)正方形的中心固定在另一個(gè)正方形的某頂點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方形，則無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，試想有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，把一個(gè)正方體的中心固定在另一個(gè)正方體的某頂點(diǎn)，再轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則不論這個(gè)正方體轉(zhuǎn)動(dòng)到何位置，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為（ ）

A. B. C. D.

[牛刀小試]

精妙解法 在平面圖形中，取特殊位置，重疊部分可以是一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，其面積S=a·a=a2. 類比推理到空間，可知重疊部分是一個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體，其體積V=

a3=，選A.

第六類：數(shù)列

數(shù)列的概念

（★★★★）必做1 已知數(shù)列{an}（n∈N?）滿足：an=logn+1（n+2）（n∈N?），定義使a1·a2·a3·…·ak為整數(shù)的數(shù)k（k∈N?）叫做企盼數(shù)，則區(qū)間[1，2005]內(nèi)所有企盼數(shù)的和M=_______.

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)閍n=logn+1（n+2）（n∈N*），

所以a1a2a3 …ak=log23·log34·…·logk+1（k+2）=··…·=log2（k+2）.

要使log2（k+2）為正整數(shù)，可設(shè)k（n）+2=2n+1，即k（n）=2n+1-2（n∈N?）.

令1≤2n+1-2≤2005?1≤n≤9（n∈N?），

則區(qū)間[1，2005]內(nèi)所有企盼數(shù)的和M=k（n）=（2n+1-2）=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）

=（22+23+24+…+210）-2×9=-18=2026，所以M=2026.

（★★★★）必做2 給定集合A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N?，n≥3），定義ai+aj（1≤i

[牛刀小試]

精妙解法 ①因?yàn)?+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，所以L（A）=5.

②不妨設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，則a1

又據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)i+j≤m時(shí)，ai+aj=a1+ai+j-1；當(dāng)i+j>m時(shí)，ai+aj=ai+j-m+am，

因此每個(gè)和ai+aj（1≤i

數(shù)列的基本運(yùn)算

（★★★★）必做3 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若（n∈N?）是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”.

（1）若數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{bn}是否為“和等比數(shù)列”；

（2）若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為c1，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，試探究d與c1之間的等量關(guān)系.

[牛刀小試]

精妙解法 （1）因?yàn)閿?shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以2bn=2·4n-1=22n-1，

因此bn=2n-1. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=n2，T2n=4n2，所以=4，

因此數(shù)列{bn}為“和等比數(shù)列”.

（2）設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Rn，且=k（k≠0），

因?yàn)閿?shù)列{cn}是等差數(shù)列，所以Rn=nc1+d，R2n=2nc1+d，

所以==k對(duì)于n∈N?都成立，

化簡(jiǎn)，得（k-4）dn+（k-2）（2c1-d）=0，

則（k-4）d=0，

（k-2）（2c1-d）=0.因?yàn)閐≠0，所以k=4，d=2c1，

因此d與c1之間的等量關(guān)系為d=2c1 .