鄭宗劍　張斌儒

【摘 要】研究了一類含恢復期時滯且具有種群Logistic增長傳染病模型。討論了平衡點的存在性、局部穩(wěn)定性，利用Hopf分支理論，以時間為參數(shù)給出了系統(tǒng)在正平衡點處產(chǎn)生Hopf分支的的充分條件。

【關(guān)鍵詞】Hopf分支；時滯；局部漸近穩(wěn)定；平衡點

1.引言

針對一些通過細菌傳染的疾病，如腦炎、淋病等康復后不具有免疫力，可以被再次感染，1932年kermack-Mckendrick提出倉室模型。近些年學者們將傳染病動力學與種群動力學結(jié)合起來建立模型，得到一些成果，如文獻[1-3]。而關(guān)于模型研究主要特性主要體現(xiàn)在染病者被治愈變?yōu)橐赘姓叩幕謴推陔A段，故考慮恢復期時滯更具實際意義。本文考慮加入恢復期時滯，研究如下系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性與Hopf分支，即：

其中分別表示時刻易感染者的數(shù)目，感染者的數(shù)目，為傳染率， 為內(nèi)稟自然增長率，為環(huán)境容納量，為移出率，為疾病的死亡率，為潛伏期， 均為正常數(shù)。

2.平衡點及局部穩(wěn)定性，Hopf分支存在性

帶入并結(jié)合得知，即從小于到大于特征方程（2）的根在復平面上從左到右穿過虛軸。

定理4：若時，是特征方程（2）的根，且滿足，，，同時系統(tǒng)（1）也是條件穩(wěn)定，因此在處出現(xiàn)Hopf分支。

3.結(jié)論

本文將種群動力學與傳染病動力學結(jié)合考慮了含時滯的傳染病模型，主要討論了平衡點及局部穩(wěn)定性和Hopf分支。當時滯由0變化到臨界值時，系統(tǒng)在正平衡點附近發(fā)生Hopf分支，即當增加通過臨界值時，從平衡點分支處周期解，此時，疾病會出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象。

參考文獻：

[1]宋新宇，肖燕妮，陳蘭蓀.具有時滯的生態(tài)-流行病模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J].數(shù)學物理學報，2005，25A（1）：57-66.

[2]徐為堅.具有種群Logistic增長飽和傳染率的模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J].數(shù)學物理學報，2008，28A（3）：578-584.

[3]趙仕杰，李大普.一類具有種群Logistic增長及非線性發(fā)生率的時滯傳染病模型的穩(wěn)定性與Hopf分支[J].廣西科學院學報，2011，27（1）：6-9.

[4]鄭祖庥.泛函微分方程理論[M].合肥：安徽教育出版社，1994.

[5]J. K. Hale.Theory of Functional Differential Equations[M].Springer_Verlag ，New York，1977.

基金項目：

四川文理學院院級項目“具有時滯的傳染病模型動力學研究”（2011Z0031）。

作者簡介：

鄭宗劍（1982—） 男，四川巴中人，碩士，四川文理學院數(shù)學與財經(jīng)系，講師，主要從事常微分方程與數(shù)學建模教學與研究。