楊 揚(yáng)，張永海，＊，白寶豐，陳靜波，申長雨

（1.鄭州大學(xué)國家橡塑模具工程研究中心，河南 鄭州 450002；2.鄭州輕工業(yè)學(xué)院河南省表界面科學(xué)重點實驗室，河南 鄭州 450002）

0 前言

自從Mandelbrot等提出分形理論以來，無論其在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論抑或應(yīng)用研究方面都取得了巨大進(jìn)步。如今，它己滲透到物理、化學(xué)化工、機(jī)械工程、材料科學(xué)、地質(zhì)、地震、巖土工程、氣候氣象學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、金融經(jīng)濟(jì)、社會科學(xué)等諸多領(lǐng)域［1］。一般地，描述分形結(jié)構(gòu)這種自相似、不規(guī)則程度或破碎程度的定量參數(shù)是分形維數(shù)（Fractal Dimension），亦稱分維、分形維。根據(jù)不同的定義，分形維數(shù)具有多種測量與計算方法。目前，針對不同的研究對象，已建立了不同的分形維數(shù)測定方法，如：盒計數(shù)法、面積—周長法、小島法、二次電子襯度曲線法、Fourier變換法、垂直截面法、小波變換方法、功率譜方法、赫斯特相關(guān)指數(shù)法、變分法及容量維法等。

雖然盒計法是一種較好的計算二維圖像分形維數(shù)的方法［2］，但與圖像本身所賦予的物理涵義關(guān)系不大，且根據(jù)分形維數(shù)測定原理，我們可以推斷出盒計法受觀察者本身影響較大，因為若在一個方格子內(nèi)有一點或多點，則其對測算結(jié)果是沒有影響的，即方格內(nèi)點的邊界的判斷準(zhǔn)確與否直接影響網(wǎng)格內(nèi)總體的點的數(shù)量，從而影響分形維數(shù)的測定結(jié)果。因此，其計算結(jié)果的可靠性值得懷疑。

自Mandelbrot等提出用“小島法”測量馬氏體鋼斷裂表面分形維數(shù)值后，由于其具有測算簡便且對形狀差異不太敏感的優(yōu)點，因此越來越廣泛地被應(yīng)用于材料斷裂研究［3］。盡管不同定義下的分形維數(shù)具有不同的物理涵義，其數(shù)值也可能存在差異，所以彭瑞東等認(rèn)為不能簡單地比較評價由不同測定計算方法得到的分形維數(shù)［2］。但是如果根據(jù)研究對象的特點并結(jié)合其賦予的具體的物理涵義，結(jié)果可能會有所差異。同時，為了保證數(shù)據(jù)的可比性，辨別不同分形維數(shù)的計算方法及其差異，本研究擬利用掃描電子顯微鏡對粉末PVC／NBR共混型熱塑性彈性體拉伸斷面形貌進(jìn)行觀察與分析，并基于斷面“盒計法”和“小島周長－面積關(guān)系”，測定其試樣斷口的分形維數(shù)，以考察分析通過不同測定方法所得的分形維數(shù)之間的差異，揭示分形維數(shù)與材料拉伸斷面及力學(xué)性能之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋求材料斷裂機(jī)制。

1 實驗部分

1.1 主要原料

PVC，SG－5，山西榆社化工股份有限公司；

輕鈣（CaCO3），三型，焦作市三耀化工有限公司；

稀土復(fù)合穩(wěn)定劑，工業(yè)級，南京惠恩實業(yè)有限公司；

NBR，P83，市售；

增塑劑（DOP），工業(yè)級，市售；

硬脂酸（HSt），工業(yè)級，市售。

1.2 主要設(shè)備及儀器

高速混合機(jī)，GH－10，北京塑料機(jī)械廠；

平板硫化機(jī)，QLBD－400×400×1000，上海橡膠機(jī)械廠；

開放式煉塑機(jī)，SK－160B，上海橡膠機(jī)械廠；

電子萬能試驗機(jī)，CMT6104，深圳新三思計量技術(shù)有限公司；

橡膠硬度計，LX－A，上海第六中學(xué)量儀實驗工廠；

掃描電子顯微鏡（SEM），JSM－5600L，日本電子株式會社。

1.3 樣品制備

粉末PVC／NBR共混型熱塑性彈性體試樣制備工藝分為以下3個步驟：（1）高速混合過程；（2）雙輥塑煉過程；（3）壓制成型過程。其總體成型工藝路線如圖1所示，圖2為其拉伸斷面SEM照片。

圖1 PVC／NBR彈性體試樣制備工藝路線Fig.1 Preparation process of PVC／NBR elastomer samples

高速混合過程：先將高速混合機(jī)預(yù)熱至70～90℃時，將PVC與穩(wěn)定劑、潤滑劑一同放入高速混合機(jī)，然后將增塑劑DOP分3批加入，混合均勻（10min）后加入NBR繼續(xù)混合5min出料；

雙輥塑煉過程：輥溫控制在125～135℃之間，前輥較后輥溫度高5℃左右；輥距1～115mm，整個塑煉過程保持8min左右；

壓制成型過程：模溫控制在145～155℃之間，首先對片料預(yù)熱8min，以使片料受熱充分均勻，然后加壓3min，壓力控制在10～15MPa之間；

1.4 性能測試與結(jié)構(gòu)表征

塑料樣品測試狀態(tài)調(diào)節(jié)和試驗條件按GB／T 2918—1998執(zhí)行；

熱塑性塑料壓塑試樣的制備方法按GB 9352—1988執(zhí)行，拉伸速率為50mm／min；

塑料試樣拉伸性能試驗方法按GB／T 1040—1992執(zhí)行，彎曲速率為5mm／min；

塑料試樣彎曲性能測試方法按GB／T 9341—2000執(zhí)行。

2 分形維數(shù)測定基本原理

按照分形理論，分形系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)從各個時空角度來看都是相似的［4］，即其局域性質(zhì)或結(jié)構(gòu)與其整體具有相仿、相似的特性。但對于這種相仿、相似性，若分形系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)是按照某種一定的數(shù)學(xué)規(guī)則生成的，則其具有嚴(yán)格的自相似性，屬于有規(guī)分形；若其是僅限于滿足物理統(tǒng)計意義上的自相似性，則不具有嚴(yán)格的自相似性，屬于無規(guī)分形。自然界里的分形，大多屬于后者。對于上述兩種分形，其重要衡量參數(shù)——分形維數(shù)有類似的計算方法，其中最具代表典型性的是Hausdoff維數(shù)。其定義為：對于任意一個滿足自相似

式中 D——Hausdoff維數(shù)，可以是整數(shù)亦或分?jǐn)?shù)，若平面上關(guān)注的點均勻且致密地排列并覆蓋住整個平面，則D＝2

一般地，測定分形維數(shù)的方法可分為如下5大類［5］：（1）變尺度法；（2）測度關(guān)系法；（3）相關(guān)函數(shù)法；（4）分布函數(shù)法；（5）頻譜法。其中第一種方法即變尺度法是最常用且有效的。在實際計算時，一般采用如下計算步驟：

首先，用標(biāo)尺為ε的方格把平面圖形分割成邊長為ε的正方形，然后測量出此平面圖形上至少包含一個點的正方形的個數(shù)N（ε）。若當(dāng)ε取不同的大小時，上式（1）成立，則D就是平面圖形上點的分形維數(shù)。

此外，存在爭議最多、應(yīng)用最廣泛的小島法（亦稱周長－面積法）也是一種計算分形維數(shù)的方法。其定義為：

首先，對于如三角形、正方形和圓形等規(guī)則圖形，規(guī)則圖形的周長（P）和面積（A）之間具有以下關(guān)系［6］：

其次，對于如自然界中海島、天空中的云彩、材料中顯微組織結(jié)構(gòu)分布等滿足具有物理統(tǒng)計自相似特性的不規(guī)則圖形的周長P和面積A之間具有以下關(guān)系：

式中 D——不規(guī)則圖形的分形維數(shù)

為計算方便，對式（4）兩邊取對數(shù)，則有

式中 C——常數(shù)

由此可知，分形維數(shù)D相當(dāng)于由關(guān)注點的周長與面積取對數(shù)后在坐標(biāo)上所擬合的直線的斜率的2倍。

3 結(jié)果與討論

3.1 SEM照片分析

為了增加實驗數(shù)據(jù)的對比性，首先在未加粉末NBR時測試出有關(guān)數(shù)據(jù)。然后加入粉末NBR進(jìn)行實驗。實驗結(jié)果的SEM照片如圖2所示。

由圖2（a）可知：由于無橡膠相，可明顯地看到拉伸斷面為連續(xù)的PVC基體樹脂相。當(dāng)加入NBR時，在PVC連續(xù)相中存在許多的白色顆粒狀輕鈣粒子，稍大一點的細(xì)胞或類似細(xì)胞狀的為丁腈橡膠。如再仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：樣品中NBR沒有以顆粒狀的形式分散于PVC基體連續(xù)相中，而是包覆了PVC粒子后以間斷分散相的形式存在于連續(xù)相PVC基體中，呈現(xiàn)出海中有島，島中有海的“海－島”互穿網(wǎng)絡(luò)組織結(jié)構(gòu)。混合界面之間具有明顯的自相似性，在研究的微米度域范圍內(nèi)可以認(rèn)為其具有分形結(jié)構(gòu)。

3.2 分形維數(shù)測定方法分析

分形維數(shù)是分形系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的一種測度，反映了分形系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)與其所在空間的份量多少，其值越大，表明分形系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)所占空間的比例越大。因此分形維數(shù)測量結(jié)果的可靠性與準(zhǔn)確性直接影響著我們對實驗結(jié)果的判斷與分析。在分形損傷斷裂的研究中，人們一開始就嘗試著根據(jù)材料斷裂表面的分形維數(shù)來研究其斷裂演化過程與斷裂機(jī)理，并期望建立斷裂表面的分形維數(shù)與宏觀力學(xué)性能之間的關(guān)系。由此可見，分形維數(shù)對人們認(rèn)識斷裂過程及斷裂機(jī)理具有至關(guān)重要的作用。因此，分形維數(shù)測量結(jié)果的可靠性與準(zhǔn)確性日益引起了人們的廣泛關(guān)注。

然而，分形維數(shù)值的測定需要經(jīng)過許多紛繁復(fù)雜而精細(xì)的工作，具體到特定斷裂表面SEM圖像并采用盒計法測定分形維數(shù)時，需要將圖像劃分為邊長為ε的網(wǎng)格，然后前述方法求出分形維數(shù)。

根據(jù)測量計算過程可知：采用盒計法測定的分形維數(shù)反映了由離散、隨機(jī)點構(gòu)成的圖形中所主要的關(guān)心區(qū)域在全部視域內(nèi)的分布特征［2］。但由于除了斷裂裂紋在SEM圖像上的分布通常是隨機(jī)的，并且是離散的。當(dāng)取邊長為ε的網(wǎng)格把斷裂表面SEM圖像覆蓋起來后，因其內(nèi)部裂紋分布的隨機(jī)性、偶然性，會造成有些網(wǎng)格內(nèi)是空的，而有些網(wǎng)格內(nèi)則覆蓋了分形裂紋的一部分，尤其是如果在一個網(wǎng)格內(nèi)有一個點與多個點時，在計算總的網(wǎng)格個數(shù)N（ε）時具有同樣的權(quán)重。再者，若方格內(nèi)點的邊界正處于網(wǎng)格的邊界，則網(wǎng)格內(nèi)的點的數(shù)量的判斷準(zhǔn)確與否就會影響最終的分形維數(shù)測定結(jié)果。如圖3所示，兩個明顯不同的圖形在計算網(wǎng)格內(nèi)覆蓋的點的個數(shù)N（ε）時，其值均為9。這樣，網(wǎng)格內(nèi)覆蓋的點的個數(shù)就未反映出幾何對象的不均勻分布性。因此，采用盒計法具有一定的局限性。但對于我們的研究對象——PVC／NBR彈性體斷裂表面由于具有明顯的“海 －島”組織結(jié)構(gòu)，故采用 Mandelbrot等提出的小島法應(yīng)該具有較明顯的優(yōu)勢：能夠精細(xì)地反映圖案的細(xì)節(jié)變化與不均勻分布性，采用該方法所得到的分形維數(shù)值應(yīng)該比盒計法可靠性強(qiáng)。

圖3 盒計法網(wǎng)格單元內(nèi)覆蓋點個數(shù)的比較Fig.3 Comparison of the number of covering body by box－counting method

3.3 分形維數(shù)的測定

按照Mandelbrot等提出的小島法，即前面所述的“周長－面積關(guān)系”計算出圖2中各SEM照片的分形維數(shù)。其計算過程為：首先將SEM照片輸入計算機(jī)，利用Image－Pro Plus圖形分析軟件，測量出每個“島”的周長和面積，如圖4所示。然后根據(jù)式（5）在雙對數(shù)坐標(biāo)上畫出logP和logA，如圖5所示，此時可以發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果具有較好的線性關(guān)系，表明斷裂表面確實具有分形特性。采用最小二乘法擬合出該直線，該直線斜率的2倍即為分形維數(shù)D。最后，分形維數(shù)的測定結(jié)果如表1所示。為對比盒計法的測定結(jié)果，這里同時列出這兩種測定方法的結(jié)果。

圖4 周長與面積的測定Fig.4 Determination of the perimeter and area

圖5 小島法數(shù)據(jù)的擬合Fig.5 Data fitting by slit-island method

表1 采用不同方法獲得的分形維數(shù)值比較Tab.1 Comparison of fractal dimension calculatd by various methods

與盒計法所得結(jié)果相比，可以看出：采用小島法所測得的分形維數(shù)在丁腈橡膠NBR含量較低時，其值較大，隨著NBR含量的增加，其變化范圍明顯較小。但其兩者變化規(guī)律相同：均呈先逐漸上升后下降趨勢，表明與盒計法所測得的分形維數(shù)反映的材料斷裂規(guī)律一致：PVC／NBR彈性體斷面的分形維數(shù)與材料力學(xué)性能（拉伸強(qiáng)度、斷裂伸長率、肖氏硬度）變化關(guān)系一致［4-7］。這種現(xiàn)象可能源于下述原因：

采用盒計法在計算“島”或“湖”個數(shù)N（ε）時，由于某些網(wǎng)格內(nèi)可能會占有較多的的“島”，而某些網(wǎng)格內(nèi)可能會占有較少的的“島”，這樣其個數(shù)N（ε）會把占有較少“島”的網(wǎng)格也計算在內(nèi)，忽略了網(wǎng)格內(nèi)小島多少的差異，從而導(dǎo)致N（ε）較大，而采用小島法時，根據(jù)其分形維數(shù)測定原理，其只會計算“島”的面積和周長，不會牽涉至網(wǎng)格內(nèi)“島”的個數(shù)問題，所以其計算結(jié)果較小，也更加可靠。另一方面，也從側(cè)面驗證了Mandelbrot等提出的用“面積－周長法”（即小島法）測量馬氏體鋼斷裂表面分形維數(shù)值的正確性。

根據(jù)以上分析可知，雖然盒計法較成熟，但也存在缺陷：在具體用于描述研究對象計算總的網(wǎng)格個數(shù)N（ε）時，缺乏考慮權(quán)重因子。盡管如此，根據(jù)我們的分析可以知道，在揭示材料組織結(jié)構(gòu)評價、探索材料斷裂演化規(guī)律方面，兩者所得結(jié)果一致，并無差別。此外，在使用分形維數(shù)闡釋、揭示研究對象的分形特性，尤其應(yīng)用于材料組織結(jié)構(gòu)與斷裂演化規(guī)律、分形形成的動力學(xué)機(jī)制時，為更真實準(zhǔn)確地反映其物理本質(zhì)，首先且重要的是分析考察研究對象的分布特點，然后再選擇恰當(dāng)?shù)?、合適的分形維數(shù)測定方法，最后再考察分形維數(shù)與相應(yīng)物理現(xiàn)象的關(guān)聯(lián)性。

4 結(jié)論

（1）采用盒計法和小島法所測得的分形維數(shù)反映的材料斷裂規(guī)律一致：PVC／NBR彈性體斷面的分形維數(shù)與材料力學(xué)性能（拉伸強(qiáng)度、斷裂伸長率、肖氏硬度）變化關(guān)系一致；

（2）為更真實準(zhǔn)確反映材料組織結(jié)構(gòu)與斷裂物理本質(zhì)，需首先分析考察研究對象的分布特點，然后再選擇恰當(dāng)?shù)?、合適的分形維數(shù)測定方法。

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