陳世業(yè)，王良明，史 偉

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210094;2.中國(guó)兵器工業(yè)基團(tuán)051基地，華陰 714200)

在火炮射擊過(guò)程中，由于彈炮間隙的存在，彈丸前定心部和彈帶與身管內(nèi)壁發(fā)生劇烈的接觸碰撞，導(dǎo)致身管振動(dòng)和彈丸運(yùn)動(dòng)兩者相互耦合作用，形成火炮的起始擾動(dòng)并影響彈丸出炮口時(shí)刻的初始狀態(tài)，因此研究彈炮間的耦合運(yùn)動(dòng)［1－2］對(duì)提高火炮的射擊精度具有重要的指導(dǎo)意義。

從目前的研究狀況來(lái)看，身管和彈丸的耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型主要采用基于多剛體理論的有限段法［3－4］以及基于彈塑性力學(xué)和接觸碰撞問(wèn)題的有限元法［5］。由于身管具有較大的長(zhǎng)徑比，在系統(tǒng)模型中必須考慮其柔性變形，當(dāng)彈丸在膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其與身管內(nèi)壁的間隙在很小的量級(jí)范圍內(nèi)，如何在反映身管柔性變形的前提下充分考慮彈炮間的相互作用，是建立系統(tǒng)剛?cè)狁詈夏Ｐ停?］過(guò)程中存在的一個(gè)重要問(wèn)題;同時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈丸和身管的接觸區(qū)域在隨時(shí)變化，即柔性體的邊界條件不斷改變，若將有限元法應(yīng)用到整個(gè)火炮多體動(dòng)力學(xué)模型中，勢(shì)必大大降低系統(tǒng)的求解效率。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將虛擬體引入到彈炮系統(tǒng)中，提出一種通過(guò)虛擬體來(lái)傳遞彈炮間相互作用力的方法，推導(dǎo)了含虛擬體項(xiàng)的系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合算例與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)拓?fù)潢P(guān)系描述

首先引出本文中虛擬體的概念，即假想的無(wú)質(zhì)量無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛性體，在動(dòng)力學(xué)仿真模型中可以通過(guò)把剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)為極小值來(lái)代替。

含虛擬體的彈炮系統(tǒng)拓?fù)潢P(guān)系如圖1所示，h代表部件間的連接關(guān)系，圖中的柔性身管采用模態(tài)法［7－8］來(lái)描述其柔性變形，即將事先經(jīng)過(guò)有限元模態(tài)解析的身管單元代入系統(tǒng)模型，通過(guò)模態(tài)振型的疊加來(lái)獲得對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變。

圖1 含虛擬體的彈炮系統(tǒng)拓?fù)潢P(guān)系圖Fig.1Topological relation of the projectile-barrel system

模型具體描述如下:由有限個(gè)虛擬體組成模擬身管，其中模擬身管的幾何模型對(duì)應(yīng)于真實(shí)身管的實(shí)體外形，虛擬體兩端以球鉸(h9～h12)形式聯(lián)接在經(jīng)過(guò)模態(tài)解析的柔性身管單元上，相鄰虛擬體間以扭轉(zhuǎn)彈簧力(h5～h8)限制其繞身管軸線(xiàn)方向的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，彈丸與虛擬體間的接觸碰撞力(h1～h4)通過(guò)虛擬體傳遞到柔性身管單元上并反饋給彈丸運(yùn)動(dòng)，柔性身管兩端分別與炮尾和炮口制退器固連(h13～h14)。

虛擬體的引入使彈炮間的力元經(jīng)由模擬身管來(lái)間接傳遞，并將柔性身管和彈丸的耦合作用轉(zhuǎn)化為彈丸與虛擬體間的接觸碰撞，實(shí)現(xiàn)了彈丸和柔性身管的等效接觸，同時(shí)有效避免了柔性身管邊界條件發(fā)生改變這一問(wèn)題。

2 柔性身管和虛擬體間的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

在此先列出柔性身管和虛擬體間的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程。沿身管軸線(xiàn)方向取任意虛擬體 j，如圖2所示，OXYZ為系統(tǒng)的慣性參考坐標(biāo)系，OmXmYmZm、OjXjYjZj分別為柔性身管m和虛擬體j的連體坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)均設(shè)在對(duì)應(yīng)物體質(zhì)心處。

圖2 身管和虛擬體間的約束Fig.2 Constraint between the barrel and virtual substance

則虛擬體j的坐標(biāo)原點(diǎn)可以表示為:

同時(shí)，虛擬體j的姿態(tài)方程由下式確定:

聯(lián)立式(1)和式(2)，即得到柔性身管和任意虛擬體j的運(yùn)動(dòng)約束方程:

3 含虛擬體的彈炮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于任意受約束多體系統(tǒng)中的第i個(gè)柔性體或剛體，其對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)控制方程為:

式中:T為動(dòng)能，qi為廣義坐標(biāo)，λ為拉格朗日乘子，F(xiàn)i為廣義力，為對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)約束矩陣。

將構(gòu)件的動(dòng)能表達(dá)式代入上式并化簡(jiǎn)可得:

將系統(tǒng)中所有構(gòu)件產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方程與構(gòu)件間的約束方程聯(lián)立，其中，虛擬體與身管間的約束見(jiàn)上節(jié)式(3)，即構(gòu)成了含虛擬體的彈炮耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

對(duì)于該系統(tǒng)，

式中:Mv為n個(gè)虛擬構(gòu)件的質(zhì)量矩陣，剛性構(gòu)件的質(zhì)量矩陣Mr包含了彈丸，炮尾和炮口制退器三部分，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式如下:

柔性身管的質(zhì)量矩陣Mf為:

式中:nf為模態(tài)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。

4 彈丸與虛擬體間的接觸碰撞力模型

在剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)中，由于需要考慮到柔性體的形變，多采用基于懲罰函數(shù)的接觸力計(jì)算方法，即將接觸和碰撞現(xiàn)象按連續(xù)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理。

當(dāng)彈丸在模擬身管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3所示，考慮彈帶和彈丸前定心部與虛擬體間的接觸碰撞，基于懲罰函數(shù)定義接觸力Fn的計(jì)算公式為:

其中:k為接觸剛度系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，δ為穿透深度，m1、m2和m3分別為剛度指數(shù)、阻尼指數(shù)和凹痕指數(shù)，則切向摩擦力Ft由下面兩個(gè)方程確定:

式中:μ和Fmax分別為摩擦系數(shù)和定義的最大摩擦力。

綜上可知，當(dāng)彈丸在模擬身管中與虛擬體發(fā)生接觸碰撞，兩者產(chǎn)生的接觸力將以廣義力Fe的形式傳遞到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中，從而對(duì)身管的振動(dòng)造成影響并反饋給彈丸運(yùn)動(dòng)。

圖3 含虛擬體的彈炮系統(tǒng)模型Fig.3 The projectile-barrel system model including virtual substances

5 算例分析

以某型火炮為例，引入含虛擬體的彈炮耦合模型，如圖3所示，模型中由11個(gè)虛擬體組成模擬身管，附加了22個(gè)柔性鉸和11個(gè)剛性鉸約束，含模態(tài)信息的柔性身管單元在炮閂前端面中心處與炮尾固連。

該型火炮某次試驗(yàn)條件為:高低射角0 mil，方向射角0 mil，采用全裝藥底凹榴彈在常溫下射擊。將試驗(yàn)條件代入含虛擬體的彈炮剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真模型，賦予系統(tǒng)初始射角，分別在彈丸底部和炮尾前端面中心處施加火藥燃?xì)庾饔昧?同時(shí)，取彈丸質(zhì)量m=21.5 kg，質(zhì)量偏心為0.15 mm，前定心部與虛擬體內(nèi)壁的間隙e=0.25 mm，彈帶與虛擬體緊密接觸，接觸剛度k=80 000 N/mm。

系統(tǒng)坐標(biāo)系定義如下:以炮閂前端面和身管軸線(xiàn)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿身管軸線(xiàn)指向炮尾后端面為x軸正方向，y軸豎直向下，z軸由右手定則確定。系統(tǒng)模型在經(jīng)過(guò)靜平衡分析后在t=0.1 s時(shí)開(kāi)始仿真射擊，圖4、圖5分別給出了身管在后坐運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其后坐位移l和后坐速度v的對(duì)比情況。

由圖中可以看出，計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)的火炮后坐運(yùn)動(dòng)規(guī)律基本相符，炮尾相對(duì)于搖架大約在彈丸發(fā)射后0.6 s復(fù)進(jìn)到位。

在實(shí)際射擊過(guò)程中，彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)將繞身管軸線(xiàn)(x軸)方向加速旋轉(zhuǎn)，在仿真模型中，通過(guò)對(duì)彈帶添加沿x軸的旋轉(zhuǎn)力矩來(lái)實(shí)現(xiàn)膛線(xiàn)對(duì)彈丸的扭轉(zhuǎn)作用。圖6、圖7分別給出了在x方向上彈丸線(xiàn)速度vd和角速度ωx的計(jì)算曲線(xiàn)，由圖中看出速度曲線(xiàn)在t=0.112 s左右即不再上升，可知，彈丸從開(kāi)始發(fā)射到離開(kāi)模擬身管大約經(jīng)過(guò)了12 ms。

圖4 后坐位移曲線(xiàn)Fig.4 The curves of recoil displacements

圖5 后坐速度曲線(xiàn)Fig.5 The curves of recoil velocities

圖6 彈丸速度計(jì)算曲線(xiàn)Fig.6 The calculated curves of ballet speed

圖7 彈丸x方向角速度計(jì)算曲線(xiàn)Fig.7 The calculated curves of ballet angular speed in x direction

圖8 彈丸y、z方向角速度Fig.8 The ballet angular speeds in y and z directions

圖9 彈丸前定心部和模擬身管間的接觸力Fig.9 The contact force between analog barrel and bourrelet

由于試驗(yàn)測(cè)得的為彈丸出炮口后在空中飛行的速度曲線(xiàn)，在此取彈丸出炮口時(shí)刻的測(cè)試值與該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比;同時(shí)，列出后坐運(yùn)動(dòng)的特征參數(shù)對(duì)比情況。綜上，計(jì)算值和測(cè)試值的相對(duì)誤差如表1所示，可知將虛擬體應(yīng)用到彈炮耦合系統(tǒng)模型中，能較真實(shí)地反映身管后坐特性和彈丸的膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖8給出了彈丸在y、z方向的角速度計(jì)算結(jié)果，可知，由于彈丸前定心部和虛擬體內(nèi)壁存在間隙，且彈帶和虛擬體緊密結(jié)合，彈丸在模擬身管中高速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)將繞彈帶做俯仰和側(cè)擺運(yùn)動(dòng)。

圖9和圖10分別給出了彈丸前定心部和彈帶與模擬身管間的接觸力曲線(xiàn)。從圖9中可以看出，彈丸圍繞彈帶中心做角運(yùn)動(dòng)時(shí)，將不定時(shí)與虛擬體內(nèi)壁發(fā)生劇烈的碰撞，形成較大的沖擊載荷并作用在模擬身管上;由圖10可得，彈帶與虛擬體內(nèi)壁間為緊密配合，兩者的作用力主要表現(xiàn)為沿彈帶徑向的擠壓力，且在彈丸的膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終存在。

表1 計(jì)算值和測(cè)試值的相對(duì)誤差Tab.1 The relative errors between the calculation and the test value

圖10 彈帶和模擬身管間的接觸力Fig.10 The contact force between analog barrel and band

6 結(jié)論

本文通過(guò)將虛擬體引入彈炮系統(tǒng)，推導(dǎo)了柔性身管和虛擬體間的運(yùn)動(dòng)約束方程以及含虛擬體的彈炮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，為建立含虛擬體的彈炮耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型提供了理論基礎(chǔ);同時(shí)，以某型火炮為例，通過(guò)仿真計(jì)算和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，得到如下結(jié)論:

(1)基于虛擬體構(gòu)建彈炮系統(tǒng)模型在理論上是可行的，通過(guò)模擬身管來(lái)傳遞彈炮間的力元，實(shí)現(xiàn)了柔性身管和彈丸的等效接觸。

(2)采用該方法建立的模型能較真實(shí)地反映彈丸的膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律;同時(shí)，由于模型中保留了柔性身管的模態(tài)信息，故能精確描述身管在外力作用下的振動(dòng)特性，可以為彈炮耦合問(wèn)題的研究提供一定參考。

［1］劉 寧，楊國(guó)來(lái).彈管橫向碰撞對(duì)身管動(dòng)力響應(yīng)的影響［J］.彈道學(xué)報(bào)，2010，22(2):67－70.LIU Ning，YANG Guo-lai.Effect of lateral impact between projectile and barrel on dynamic response of tube［J］.Journal of Ballistics，2010，22(2):67 －70.

［2］蘇忠亭，徐 達(dá)，李曉偉，等.小口徑火炮彈炮耦合動(dòng)態(tài)響應(yīng)有限元時(shí)程分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(23):104－108.SU Zhong-ting，XU Da，Li Xiao-wei，et al.Finite-element time-history analysis for dynamic response of small-caliber guns with projectile-barrel coupling［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(23):104－108.

［3］劉 雷.彈丸－身管耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26(6):121 －124.LIU Lei.Dynamic model of the projectile-barrel compuling system［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26(6):121－124.

［4］劉 雷，陳運(yùn)生，楊國(guó)來(lái).基于接觸模型的彈炮耦合問(wèn)題研究［J］.兵工學(xué)報(bào)，2006，27(6):984－987.LIU Lei，CHEN Yun-sheng，YANG Guo-lai.A study on the projectile-barrel coupling based on contact model［J］.Acta Armamentarii，2006，27(6):984 －987.

［5］葛建立，楊國(guó)來(lái)，陳運(yùn)生，等.基于彈塑性接觸/碰撞模型的彈炮耦合問(wèn)題研究［J］.彈道學(xué)報(bào)，2008，20(3):103－106.GE Jian-li，YANG Guo-lai，CHEN Yun-sheng，et al.A study on projectile-barrel coupling problem based on elastoplastic impact model［J］.Journal of Ballistics，2008，20(3):103 －106.

［6］徐航手，劉鑄永.剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的建模方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，42(11):1922－1926.XU Hang-shou，LIU Zhu-yong.Modeling methods of rigidflexible coupling dynamics［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2008，42(11):1922－1926.

［7］史躍東，王德石.艦炮振動(dòng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析［J］.彈道學(xué)報(bào)，2010，22(1):37 －39，44.SHI Yue-dong，WANGDe-shi.Vibration analysis of naval gun by rigid-flexible coupling dynamics［J］.Journal of Ballistics，2010，22(1):37 －39，44.

［8］蘇忠亭，徐 達(dá)，楊明華，等.基于模態(tài)試驗(yàn)的某火炮身管有限元模型修正［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(24):54－59.SU Zhong-ting，XU Da，YANG Ming-hua，et al.Finiteelement model updating for a gun barrel based on modal test［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(24):54－59.