王佑恩

（三明學(xué)院信息工程學(xué)院，福建三明365004）

具有凸多面體不確定參數(shù)Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)的可靠保性能控制

王佑恩

（三明學(xué)院信息工程學(xué)院，福建三明365004）

研究Delta算子描述的線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的可靠保性能控制問(wèn)題?？紤]系統(tǒng)含有具有凸多面體不確定性參數(shù)和連續(xù)模型執(zhí)行器故障，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出對(duì)于所有允許的不確定性和執(zhí)行器故障，均使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且給定性能指標(biāo)具有一定上界的狀態(tài)反饋控制器的存在條件，由此提出相應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)方法。通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的可行性。

Delta算子；可靠控制；執(zhí)行器故障；時(shí)滯系統(tǒng)

在工程實(shí)際中，許多實(shí)際的系統(tǒng)都含有時(shí)滯[1-4]，如化工系統(tǒng)、微波振蕩器等。通常時(shí)滯是系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩和不穩(wěn)定的根源?？刂葡到y(tǒng)中存在時(shí)滯使得理論分析和工程應(yīng)用增加了特殊的難度，同無(wú)時(shí)滯相比，滯后使得系統(tǒng)的相應(yīng)性能變差，甚至穩(wěn)定性難以得到保證，因而時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制研究也就成為研究者所關(guān)注的主要問(wèn)題之一。自20世紀(jì)90年代以來(lái)，在控制理論與工程實(shí)際中，隨著Matlab等系統(tǒng)軟件分析包的廣泛應(yīng)用，特別是線性矩陣不等式（LMI）的引入，使得求解一些復(fù)雜的控制問(wèn)題（如原來(lái)得出的穩(wěn)定性條件是一個(gè)黎卡提代數(shù)方程）非常困難，而通過(guò)線性矩陣不等式的魯棒穩(wěn)定性條件，提出用線性矩陣不等式求解控制問(wèn)題，使得算法更加簡(jiǎn)化[5-6]，進(jìn)行了廣泛的研究。肖樂(lè)等利用Lyapunov泛函方法討論了不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)的相關(guān)狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題[1]；錢(qián)偉、馬維軍等研究線性時(shí)滯系統(tǒng)輸出動(dòng)態(tài)反饋鎮(zhèn)定問(wèn)題[3-4]；羅躍生等研究了狀態(tài)具有多個(gè)時(shí)滯的線性系統(tǒng)的保成本容錯(cuò)控制等[2]。

目前，在控制理論研究者，存在連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)兩大研究領(lǐng)域。一般說(shuō)來(lái)，離散時(shí)間系統(tǒng)的研究結(jié)論較適用于計(jì)算機(jī)實(shí)線，連續(xù)系統(tǒng)的研究結(jié)論便于理論研究。而兩大系統(tǒng)的結(jié)論表面看起來(lái)有很大的不同，一般很難找出其中的聯(lián)系。Delta算子理論則是聯(lián)系二者的橋梁。Delta算子理論于20世紀(jì)80年代即被控制界提出，并進(jìn)行了廣泛的研究[6-8]。如肖民卿針對(duì)傳感器故障的Delta算子不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性控制等[6]。

本文針對(duì)一類(lèi)Delta算子描述的凸多面體參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)，研究采用狀態(tài)反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒可靠保性能控制問(wèn)題。運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法,給出滿足性能指標(biāo)要求的狀態(tài)反饋控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法。

1 問(wèn)題描述

對(duì)于一類(lèi)由Delta算子描述的不確定時(shí)滯系統(tǒng)

其中Ei∈Rn×n（i=1,2，…，k），F(xiàn)j∈Rn×n（j=1,2，…，l），Gr∈Rn×p（r=1,2，…，q）是已知實(shí)矩陣，αi≥0（i=1,2，…，k），βj≥0（j=1,2，…，l）和γr≥0（r=1,2，…，q）是未知的有界標(biāo)量。

Delta算子系統(tǒng)(1)的性能指標(biāo)定義為：

其中Q、R是給定的對(duì)稱(chēng)正定的加權(quán)矩陣.考慮狀態(tài)反饋控制器

由于執(zhí)行器可能存在故障,因此設(shè)被控對(duì)象的實(shí)際輸入信號(hào)模型為：

其中M=diag{m1，m2，…，mp}為執(zhí)行器故障矩陣,且mi（=1,2，…，p）滿足0≤mli≤mi≤mui,這里mli,mui為已知正常數(shù)且滿足0≤mli≤1≤mui。

為方便起見(jiàn),記：

這樣,將(4)式代入(1)中,得到Delta算子時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)：

本文所研究的問(wèn)題是：對(duì)于含執(zhí)行器故障系統(tǒng)的Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1)，尋找一個(gè)狀態(tài)反饋控制律K，使得對(duì)所有容許的不確定矩陣F和所有可能的執(zhí)行器故障矩陣M,閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，并且性能指標(biāo)J滿足J≤J*，J*是某個(gè)常數(shù)。

2 主要結(jié)果

在這部分，將給出一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定的充分條件，然后提出一個(gè)方案設(shè)計(jì)控制器。首先介紹兩個(gè)個(gè)引理：

引理1[6]給定適維矩陣Y、C和D,其中Y是對(duì)稱(chēng)的，如果存在對(duì)角矩陣U＞0，使得

那么對(duì)所有滿足的對(duì)角矩陣,都有Y+CHDT+DHCT＜0。

①S＜0,

②S11＜0，S22-S12TS11-1S12＜0,

③S22＜0，S11-S12S22-1S12T＜0。

定理1給出不確定Delta算子系統(tǒng)(1)存在保性能控制的充分條件。

定理1對(duì)于Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1),如果存在矩陣K,對(duì)稱(chēng)正定矩陣P,S,使得對(duì)所有的不確定性F和所有可能的執(zhí)行器故障矩陣M,矩陣不等式

成立,其中Φ1=h-1（h+I）TP（h+I）-h-1P+S+Q+KTMRMK,Φ2=（h+I）TPd,Φ3=hdTPd-S,則u（k）=Kx（k）是δ算子時(shí)滯系統(tǒng)(1)的一個(gè)可靠保性能狀態(tài)反饋控制器，且性能指標(biāo)滿足

這里x(-i),i=1,2,…，d*為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

證明若定理?xiàng)l件成立,記Φˉ1=h-1（hAˉ+I）TP（hAˉ+I）-h-1P+S,則有

由x(k+1）=hδx(k）+x(k）,代入上式整理得：

由(8)式,可得

從而,由δ域Lyapunov穩(wěn)定性理論,閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的.又由(6)式和(9)式,可得

即

上式兩邊對(duì)從k到∞求和,并利用系統(tǒng)的穩(wěn)定性可得：

定理得證。

以下定理給出了不確定Delta算子系統(tǒng)（1）的保性能可靠控制律存在條件，并提出了保性能控制律的構(gòu)造方法。

定理2對(duì)于Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1),如果存在矩陣W,對(duì)稱(chēng)正定矩陣X,N,以及正定對(duì)角矩陣U,使得

證明由定理1,如果存在矩陣K,對(duì)稱(chēng)正定矩陣P,S,使得(6)式成立,則是Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1)的一個(gè)可靠保性能狀態(tài)反饋控制器。令

將不確定性ΔA,ΔAd,ΔB代入上式整理得：

注意到(11)式給出的閉環(huán)系統(tǒng)性能上界依賴于系統(tǒng)的初始條件，為了避免這種依賴，我們采用這樣的處理方法：假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)是未知的,但均屬于集合

其中Z是一個(gè)已知常數(shù)矩陣.從而,由(11)式可得

定理2提供了不確定Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1)的魯棒可靠保性能控制器的一種設(shè)計(jì)方法。不等式(10)是關(guān)于變量ε，X，W，N的一個(gè)線性矩陣不等式，因此可以應(yīng)用LMI工具箱中的求解器feasp來(lái)判斷該線性矩陣不等式的可行性問(wèn)題。如果這個(gè)線性矩陣不等式是可行的，該求解器會(huì)提供一個(gè)可行解那么令K=，狀態(tài)反饋控制器u（k）=Kx（k）就是系統(tǒng)(1)的一個(gè)可靠保性能控制器,且閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足(18)式。

進(jìn)一步地，可以通過(guò)建立和求解以下最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)使性能指標(biāo)的上界盡可能的小，從而得到一個(gè)“最優(yōu)”（準(zhǔn)確的說(shuō),應(yīng)該是“較優(yōu)”）的可靠保性能控制器。

3 數(shù)值算例

考慮Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1),其中

采樣周期h=0.1，狀態(tài)時(shí)滯上界d*=5。假定系統(tǒng)執(zhí)行器故障模型如(5)，其中

系統(tǒng)性能指標(biāo)如(3),其中加權(quán)矩陣

設(shè)初始狀態(tài)集(17)中,Z=1.5I。

根據(jù)上文提出的設(shè)計(jì)方法,應(yīng)用MATLAB的LMI工具箱中求解器feasp求解線性矩陣不等式(10),得到可行解為

表明Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1)存在可靠魯棒保性能狀態(tài)反饋控制器,控制律為

此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)J的上界J=10.0193。

進(jìn)一步地，考慮“最優(yōu)”可靠魯棒保性能控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。應(yīng)用MATLAB的LMI工具箱中求解器mincx求解相應(yīng)的最優(yōu)化問(wèn)題(19)，結(jié)果顯示最優(yōu)解如下：

利用最優(yōu)解求出Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)(1)的“最優(yōu)”可靠魯棒保性能狀態(tài)反饋控制律為

閉環(huán)性能指標(biāo)上界J的上界c=6.1793。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一類(lèi)Delta算子描述的凸多面體參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng),研究采用狀態(tài)反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒可靠保性能控制問(wèn)題.運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法,給出滿足性能指標(biāo)要求的狀態(tài)反饋控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法。

［1］肖樂(lè)，傘治，朱弈.不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定［J］.系統(tǒng)工程與技術(shù)，2013，35（4）：802-806.

［2］羅躍生，龔新平，李彤.連續(xù)多時(shí)滯系統(tǒng)的保成本容錯(cuò)控制［J］.系統(tǒng)工程與技術(shù)，2012，34（5）：1012-1017.

［3］錢(qián)偉，沈國(guó)江，孫優(yōu)賢.基于LMI的線性時(shí)滯系統(tǒng)輸出動(dòng)態(tài)反饋鎮(zhèn)定［J］.控制與決策，2008，23（5）：546-550.

［4］馬維軍，朱寰，宇張顯.線性離散時(shí)滯系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2013，17（1）：88-93.

［5］趙巖峰，陳東彥，胡軍.凸多面體不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性條件［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，4（14）：127-130.

［6］肖民卿.傳感器有故障的Delta算子線性不確定系統(tǒng)的魯棒D-穩(wěn)定［J］.控制理論與應(yīng)用，2009，26（2）：183-185.

［7］胡軍，陳東彥，趙巖峰.改進(jìn)的凸多面體不確定離散線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定條件［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，15（2）：99-101.

［8］GOODWIN G C，MIDDLENTON R H.Ropprochement between continuous and discrete model reference adoptive control［J］.Automotica，1986，22（6）：199-207.

［9］蘇宏業(yè)，褚健.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［10］毛影巖，任雪芳，余晃晶.動(dòng)態(tài)知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)的魯棒性［J］.三明學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，25（4）：379-382.

Reliable Guaranteed Cost Control for Delta Operator Systems with Time-delay and Parameter Uncertainties of Convex Polyhedron

WANG You-en
(School of Information Technology,Sanming University,Sanming 365004,China)

The problem of reliable guaranteed cost control for a class of delta operator formulated systems with time-delay and parameter uncertainties is studied in this paper.Convex polyhedron uncertainties and actuator failures with continuous model are considered.Based on Lyapunov theory in delta domain,a sufficient condition of existence of the controllers is presented in terms of linear matrix inequalities,which makes the close-loop systems robust asymptotically stable and the value of cost function less than a certain upper bound for all admissible uncertainties and actuator failures.And then a design method of the controllers is proposed.A numerical example is given to illustrate the availability and effectiveness of the method.

delta operator system;reliable control;actuator failures;time-delay system

TP273

A

1673-4343（2013）06-0009-08

2013-09-17

三明學(xué)院科研基金項(xiàng)目（B201206/Q）

王佑恩，男，福建三明人，助教。研究方向：Delta算子系統(tǒng)研究。