卿光輝，宋佳琳

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津300300）

磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元的應(yīng)力模式

卿光輝，宋佳琳

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津300300）

首先推導(dǎo)了磁電彈性材料的雜交應(yīng)力有限元列式，然后在假設(shè)單元邊界位移場(chǎng)的基礎(chǔ)上，根據(jù)等函數(shù)法進(jìn)一步推導(dǎo)了磁電彈性材料的3D-8節(jié)點(diǎn)和3D-20節(jié)點(diǎn)雜交應(yīng)力有限元的廣義假設(shè)應(yīng)力矩陣。為磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元模型的構(gòu)建提供了理論基礎(chǔ)。最后以3D-8節(jié)點(diǎn)雜交應(yīng)力有限單元為例，對(duì)磁電彈性材料層合板進(jìn)行了有限元分析，數(shù)據(jù)顯示所得結(jié)果具有較高的計(jì)算精度。

磁電彈性材料；雜交應(yīng)力有限元；等函數(shù)法；廣義應(yīng)力矩陣

雜交元應(yīng)力有限元較位移有限元具有明顯的優(yōu)越性，如可以克服平面單元的剪切自鎖現(xiàn)象和三維單元的不可壓縮現(xiàn)象。另外雜交應(yīng)力有限元可以根據(jù)所研究問(wèn)題的實(shí)際情況假設(shè)不同的應(yīng)力場(chǎng)，以便構(gòu)建滿足具體要求的有限元模型?；谶@些優(yōu)點(diǎn)，目前雜交應(yīng)力有限元方法已得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展[1-6]，且其應(yīng)用逐漸由普通材料的有限元分析擴(kuò)展到特殊材料和智能材料的有限元分析中。

在構(gòu)造雜交應(yīng)力有限元模型的過(guò)程中，必不可少且最重要的一項(xiàng)工作，就是如何構(gòu)造一個(gè)合適的應(yīng)力場(chǎng)。應(yīng)力場(chǎng)的構(gòu)建一直以來(lái)就是一個(gè)難題，因此，激起了諸多科學(xué)家的研究熱情。目前，已有多種構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)的方法，如群理論[7]、應(yīng)力模式優(yōu)化方法[8]、本征函數(shù)法[9]、等函數(shù)法[10]等，但都是針對(duì)于普通彈性材料。本文主要根據(jù)等函數(shù)方法推導(dǎo)了磁電彈性材料的廣義應(yīng)力矩陣，為磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元模型的構(gòu)建提供了理論基礎(chǔ)。

1 磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元

基于廣義彈性理論，從一般材料的推導(dǎo)方法出發(fā)，磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限單元的廣義應(yīng)力場(chǎng)為

其中：P，β分別為廣義假設(shè)應(yīng)力矩陣和應(yīng)力參數(shù)向量，Pi，βi（i=1，2，…，M）分別為相應(yīng)的應(yīng)力模式和應(yīng)力參數(shù)；此外，σ={σ D B}T為廣義應(yīng)力場(chǎng)，σ為彈性應(yīng)力場(chǎng)，D為電位移，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度。

同理，磁電彈性材料單元的假設(shè)廣義位移場(chǎng)可為

其中：N =[N1I5N2I5…NnI5]為相應(yīng)的插值函數(shù)，n為節(jié)點(diǎn)數(shù)，I5為5階單位矩陣，Ni為廣義單元位移插值函數(shù)；u ={u Φ Ψ}，u為位移場(chǎng)，Φ為電勢(shì)，Ψ為磁勢(shì)；q ={qdqeqm}T，qd為節(jié)點(diǎn)位移向量，qe節(jié)點(diǎn)電勢(shì)向量，qm節(jié)點(diǎn)磁勢(shì)向量。

根據(jù)磁電彈性材料的修正Reissner-Hellinger廣義變分原理，從而得到單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧獞?yīng)力場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力參數(shù)，分別為

2 磁電彈性材料假設(shè)應(yīng)力場(chǎng)

2.1 三維八節(jié)點(diǎn)等參單元

3D-8節(jié)點(diǎn)等參單元，如圖1所示。廣義單元位移插值函數(shù)

圖13 D-8節(jié)點(diǎn)等參單元Fig.1Isoparametric element of 3D 8-node

磁電彈性材料雜交有限元的廣義位移場(chǎng)可為

其中：Λ={I5ξI5ηI5ζI5ξηI5ξζI5ηζI5ξηζI5}

其中：ai，bi，ci，κi，χi（i=1，2，…，8）分別為與節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)電勢(shì)和節(jié)點(diǎn)磁勢(shì)有關(guān)的參數(shù)。利用幾何方程可得應(yīng)變多項(xiàng)式為

其中為磁電彈性材料的廣義剛度矩陣；γ={γ E H}T為廣義應(yīng)變向量（其中γ為彈性應(yīng)變向量；E={EξEηEζ}T為電場(chǎng)強(qiáng)度向量；H={HξHηHζ}T為磁場(chǎng)強(qiáng)度向量）。

對(duì)于正交各向異性磁電彈性材料

式（9）為運(yùn)用等函數(shù)法推導(dǎo)的基于磁電彈性材料的雜交應(yīng)力有限元廣義假設(shè)應(yīng)力矩陣，若將磁電參數(shù)及其耦合參數(shù)設(shè)為0，便可得到基于普通彈性材料的雜交應(yīng)力有限元假設(shè)應(yīng)力矩陣，其結(jié)果與文獻(xiàn)[11]結(jié)果相同。

2.2 三維二十節(jié)點(diǎn)單元

3D-20節(jié)點(diǎn)等參單元，如圖2所示。廣義位移插值函數(shù)分別有：

對(duì)于8個(gè)角節(jié)點(diǎn)

圖23 D-20節(jié)點(diǎn)等參單元Fig.2Isoparametric element of 3D 20-node

根據(jù)2.1節(jié)所示步驟式（4）～式（6），可以推導(dǎo)出3D-20節(jié)點(diǎn)雜交單元的應(yīng)力參數(shù)和廣義應(yīng)力矩陣分別為：

廣義應(yīng)力參數(shù)向量為

其中：zm×n為m×n階0矩陣，In為n階單位矩陣。

3 算例

為了驗(yàn)證所得結(jié)果的有效性，現(xiàn)僅以3D-8節(jié)點(diǎn)雜交應(yīng)力有限單元為例（網(wǎng)格劃分8×8），對(duì)磁電彈性材料層合板進(jìn)行有限元分析。在算例中的符號(hào)表示為：B為由壓電材料（BaTiO3）構(gòu)成的材料層；F為由磁致伸縮材料（CoFe2O3）構(gòu)成的材料層。層合板的尺寸為L(zhǎng)x=Ly=1 m，整體厚度為h=0.3 m，每層厚度相等為hi=0.1 m。本文考慮了兩種鋪層順序分別為B/F/B和F/B/F。在算例分析中，層合板的四邊簡(jiǎn)支，上表面所施加載荷為：p =σ0sin[px]sin[qy]，其中σ0=1N/m2，p=π/ Lx，q=π/Ly，下表面假設(shè)為無(wú)外力邊界。表1、表2所示材料參數(shù)由文獻(xiàn)[12]給出。

通過(guò)計(jì)算得到了點(diǎn)（x，y）=（0.75Lx，0.25Ly）處的物理量Φ、Ψ、σz沿厚度方向的變化情況，并且由圖1～ 圖3分別給出了本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的數(shù)據(jù)對(duì)比情況。

表1 壓電材料（BaTiO3）的材料參數(shù)Tab.1Material coefficients of piezoelectric BatiO3（Cijin 109N/m2，eijin C/m2，εijin 10-9N/m2，and μijin 10-6N/m2）

表2 磁致伸縮材料（CoFe2O3）的材料參數(shù)Tab.2Material coefficients of magnetostrictive CoFe2O3（Cijin 109N/m2，qijin C/m2，εijin 10-9N/m2，and μijin 10-6N/m2）

圖3 電勢(shì)（V）Fig.3Electric potential（V）

圖4 磁勢(shì)（C/s）Fig.4Magnetic potential（C/s）

圖5 Z方向正應(yīng)力（C/s）Fig.5Z-normal stress（N/m2）

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先推導(dǎo)了磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元列式。然后，在假設(shè)單元邊界位移的基礎(chǔ)上，根據(jù)等函數(shù)法進(jìn)一步推導(dǎo)了磁電彈性材料的3D-8節(jié)點(diǎn)和3D-20節(jié)點(diǎn)雜交應(yīng)力有限單元的廣義應(yīng)力矩陣。本文所得應(yīng)力矩陣可以作為相應(yīng)單元的初始應(yīng)力矩陣。在應(yīng)用中可以根據(jù)實(shí)際情況從中選擇合適的應(yīng)力模式構(gòu)造所需的應(yīng)力矩陣，從而為相應(yīng)雜交應(yīng)力有限單元的構(gòu)造提供依據(jù)。最后以3D-8節(jié)點(diǎn)雜交應(yīng)力有限單元為例，對(duì)磁電彈性材料層合板進(jìn)行了有限元分析，數(shù)據(jù)顯示所得結(jié)果具有較高的計(jì)算精度。

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（責(zé)任編輯：黨亞茹）

Stress modes in hybrid stress finite elements of magneto-electro-elastic materials

QING Guang-hui，SONG Jia-lin
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

A hybrid stress finite element formulation for magnetoelectro-elastic materials is derived and then on the basis of the boundary displacement field assumed previously，the generalized assumed stress matrixes of 3D-8 nodes hybrid stress finite element and 3D-20 nodes hybrid stress finite element are derived by employing the iso-function method.Thus it provides the theoretical basis for establishing the hybrid finite stress element model of magneto-electro-elastic materials.Finally，taking the 3D-8 nodes hybrid stress finite element as example，a finite element analysis is performed to a magneto-electro-elastic material laminates and a perfect result is obtained.

magneto-electro-elastic material；hybrid stress finite element；iso-function method；generalized stress matrix

O242.21

A

1674-5590（2013）03-0058-04

2012-06-08；

2012-10-10

卿光輝（1968—），男，湖南新化人，教授，博士，研究方向?yàn)閺?fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué).