喬路芳，喬路娜

（1.中國礦業(yè)大學 理學院，江蘇 徐州 221116；2.山西省襄垣一中，山西 長治 046200）

所謂預測指的就是人們對未來的事物或未知時間的行為和狀態(tài)作出的主觀上的判斷.然而，一切正確的預測都應該建立在對客觀事物的過去和現(xiàn)狀進行深入研究和科學分析的基礎(chǔ)上，并同時利用一種邏輯結(jié)構(gòu)將其與未來的情況聯(lián)系起來，用來達到預測的效果[1].城市公交客運量系統(tǒng)可以看作為一個灰色系統(tǒng)，其中的公交客運量又是一個隨機變化的灰色量[2]，它受到多種關(guān)聯(lián)因素的影響和制約，例如該市的職工人數(shù)，居民的零售額和職工收入等.

測量誤差模型是我們經(jīng)常會遇到的一類模型，它的優(yōu)點主要是可以考慮原始數(shù)據(jù)的測量誤差，因此該模型在很多領(lǐng)域都有應用，但在城市公交客運量預測方面還沒有見到.本文以某市1998～2007年城市公交年客運量及該市的職工人數(shù)、居民零售額和職工收入作為原始數(shù)據(jù)，建立了城市公交客運量預測的線性測量誤差模型，并對該市2008年、2009年和2010年的公交客運量進行了預測，最后與實際值進行對比，擬合結(jié)果對比表明，線性測量誤差模型預測精度較高.

1 模型的建立與分析

設(shè)Y為公交年客運量，X為影響客運量的幾個變量組成的矩陣，X有一定的誤差，其期望為Z且未知，則可得到如下線性測量誤差模型[3-4]：

式中：f是已知的函數(shù)；yi是觀測響應變量；Z是n×p階第i行為zTi的矩陣；In是n階單位矩陣；β是p維未知參數(shù)；X是n×p階第i行為xTi的矩陣；σ2是未知參數(shù)；Λ是已知的非負定矩陣；εi是測量值的隨機誤差；ξ是n×p階矩陣.

因為X和Z是兩種不同性質(zhì)的協(xié)變量，X是測量值，而Z未知，所以我們可以用Nakamura的校正似然法來處理此類測量誤差問題.

設(shè) l(β,Z,Y)，U(β,Z,Y)，J(β,Z,Y)和 I(β,Z,Y)分別為模型的對數(shù)似然函數(shù)，得分函數(shù)，觀察信息及 Fisher信息.記E+為Y的數(shù)學期望，其中

則根據(jù)得分函數(shù)的性質(zhì)有E+U(β,Z,Y)=0.校正似然函數(shù)l*(β,X,Y)需滿足條件[5]

其中 E*表示 Y 給定時關(guān)于 X 的條件期望. 設(shè) U*(β,X,Y)=?l*(β,X,Y)/?β ，J*(β,X,Y)=-?U*(β,X,Y)/?β ，I*(β,X,Y)分別為校正得分函數(shù)，校正觀察信息和校正Fisher信息.如果E*與?β可以交換，則

參數(shù) β 的估計滿足條件U*(,X,Y)=0，稱為校正最大似然估計（CMLE）[6].記E=E+E*，顯然有

這表明校正得分函數(shù)是無偏的.對于上述的正態(tài)測量誤差模型（1），Nakamura證明了參數(shù)估計的漸近正態(tài)性和相合性，而且有

將上述結(jié)果應用到模型（1），則對數(shù)似然函數(shù)為

校正似然函數(shù)可表示為

通過計算可知E*l*(β,X,Y)=l(β,Z,Y).因為校正似然函數(shù)性質(zhì)比較好，根據(jù)它可很容易求出參數(shù) β的CMLE.

特別地，如果式（1）中 f(xi,β)=xTiβ，那么將式（7）對 β求導，得

其元素為hij，=Y-為殘差向量.σ2的估計為=||||2/(n-p).則由（7）式可知，校正Fisher信息陣為 I*(β,X,Y)=σ-2(XTX-nΛ).

從上述可以知道校正似然法也可以應用于一些廣義的線性模型及其非線性模型.

2 實例驗證

2.1 模型的建立

城市公共交通系統(tǒng)可以用測量誤差模型來描述，而測量誤差模型也可以說是個多元回歸模型，多元回歸模型中自變量可以用關(guān)聯(lián)分析的方法進行選取.公交客運量是一個隨機變化的量，它受到很多種關(guān)聯(lián)因素的影響、制約，如職工人數(shù)、居民零售額、職工收入、公交線路條數(shù)及總長度、公交車輛數(shù)、公交客運收入等.利用文獻[2]提供的關(guān)聯(lián)分析的方法，職工人數(shù)、居民零售額和職工收入是影響城市公交客運量的前三位優(yōu)勢因素.

以某市1998～2007年的公交年客運量、職工人數(shù)，居民零售額和職工收入（見表1）為原始數(shù)據(jù)[7]，建立公交年客運量預測的線性測量誤差模型，與普通線性回歸模型進行比較，并對該市2008、2009、2010年的公交客運量進行預測.

分 析 過 程 中 ，采 用 yi=β0+β1xi1+β2xi2+β3xi3+ εi，其中 i=1,2,3,...,10.xi～N(zi,λ). 由Λ是已知非負定矩陣，這里采用λ服從標準正態(tài)分布.為使得（7）式達到最大，應用Matlab編

表1 某市年客運量數(shù)據(jù)

寫計算程序得到 β和 σ2的參數(shù)估計分別為0=0.5613，1=1.6291,2=2.8284，3=1.1283，σ2=1.1334.該市公交年客運量的預測線性測量誤差模型為：

經(jīng)計算，普通線性回歸模型為：

式中y為年客運量，x1為職工人數(shù)，x2為居民零售額，x3為職工收入.

2.2 預測

根據(jù)該市社會經(jīng)濟發(fā)展的規(guī)劃，運用（11）式和（12）式對2008、2009、2010年該市的公交年客運量進行預測，同時根據(jù)“3σ準則”確定預測區(qū)間，并與實際值進行對比，預測結(jié)果見表2（x1為職工人數(shù)，x2為居民零售額，x3為職工收入）.

從表2可以看出，通過測量誤差模型和普通線性回歸模型分別對城市公交客運量進行預測，并與實際值進行對比，測量誤差模型的預測精度較高.

表2 年客運量預測表

3 結(jié) 語

目前我國大多數(shù)城市的交通仍然是以客運為主的，然而城市公共交通的合理規(guī)劃和快速健康的發(fā)展又要建立在公共車輛客運量科學預測的基礎(chǔ)之上.本文以某市1998～2007年城市公交年客運量及該市的職工人數(shù)、居民零售額和職工收入作為原始的數(shù)據(jù)，通過考慮原始數(shù)據(jù)的測量誤差，建立了城市公交客運量預測的線性測量誤差模型，并對該市2008年、2009年、2010年的公交客運量進行了預測，并且把預測的結(jié)果與實際值進行對比，擬合結(jié)果表明，線性測量誤差模型的預測精度比較高，因此它的預測結(jié)果可以為城市公共交通合理規(guī)劃和發(fā)展提供依據(jù).

[1]姜華平，陳海泳.城市公交客運量的預測模型研究[J].理論新探，2005，6（12）：1-2.

[2]李群.我國城市公交客運量的關(guān)聯(lián)分析[J].蘇州市職業(yè)大學學報，2007，18（4）：1-3.

[3]賈仁甫，陳守倫，丁鑫.需水量預測的線性測量誤差模型[J].河海大學學報，2008，36（4）：1-2.

[4]趙俊.需水量預測的測量誤差模型[J].揚州大學學報，2009，12（3）：1-2.

[5]FULLER W A.Measurement error models[M].New York：Wiley，1987：1-10.

[6]宗序平.線性測量誤差模型及其診斷[J].系統(tǒng)工程學報，1999，14（2）：1-2.

[7]張雅君，劉全勝，馮萃敏.多元線性回歸分析在北京城市生活需水量預測中的應用[J].給水排水，2003，29（4）：1-3.