薛國(guó)強(qiáng)，張 琳，周 燕

（1.常熟理工學(xué)院 管理學(xué)院，江蘇 常熟 215500；2.常熟中法水務(wù)有限公司，江蘇 常熟 215500；3.常熟市住房和城鄉(xiāng)建設(shè)局，江蘇 常熟 215500）

樁基振動(dòng)理論是樁基抗震、防震設(shè)計(jì)以及各種動(dòng)力測(cè)試方法的理論依據(jù).近年來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)樁的振動(dòng)研究取得了豐碩的成果，其進(jìn)展主要表現(xiàn)在對(duì)樁土相互作用問(wèn)題的處理上.從早期相對(duì)簡(jiǎn)單的Voigt體模型[1-3]和平面應(yīng)變模型[4-6]到胡昌斌等[7]提出的考慮樁周土豎向波動(dòng)模型，再到王奎華等[8]提出的同時(shí)考慮土體徑向和豎向位移的真三維土體波動(dòng)模型，這些工作有力地促進(jìn)了樁基振動(dòng)理論的發(fā)展，但這些研究工作還都是把樁周土體視為均質(zhì)或縱向分層均質(zhì)線(xiàn)性彈性材料.而在樁的施工過(guò)程中，由于擠土、松弛效應(yīng)及其他因素的影響，在距離樁中心不同范圍內(nèi)，土的性質(zhì)、參數(shù)會(huì)發(fā)生不同程度的改變，也就是說(shuō)在樁的直徑方向，土體性質(zhì)也會(huì)存在不均勻性，周鐵橋、楊冬英[9-10]等研究了土的徑向不均勻性對(duì)樁振動(dòng)的影響.但由于數(shù)學(xué)上的求解困難，周鐵橋等只考慮了土體分為兩個(gè)圈層的情況，其劃分太粗略，還難以反映樁周土徑向非均質(zhì)的實(shí)際情況，楊冬英雖然進(jìn)行了任意圈層的計(jì)算，但計(jì)算過(guò)程太長(zhǎng)，不利于工程應(yīng)用.本文在考慮沿徑向參數(shù)改變（主要是密度和剪切波速的改變），忽略土體徑向位移的情況下，將樁周土分為三圈層進(jìn)行了樁的振動(dòng)問(wèn)題研究.

1 定解問(wèn)題的建立

1.1 計(jì)算簡(jiǎn)圖

本文在土體為三維軸對(duì)稱(chēng)條件下，考慮土體豎向位移、忽略徑向位移的情況下，對(duì)多圈層土中的彈性支承樁的縱向振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究，其基本模型如圖1所示.樁頂作用諧和激振力Feiωt，樁周土對(duì)樁身的側(cè)壁切應(yīng)力（摩阻力）為 f(r1,z)eiωt，樁沿側(cè)壁對(duì)土體的反力為 p(r1,z)eiωt，其中，F(xiàn)、f(r1,z)、p(r1,z)及 ω分別是上述三種力的幅值和圓頻率.樁長(zhǎng)、樁徑、截面積、密度、樁底彈性支承常數(shù)分別為H、r1、A、ρp、kb，三圈土體厚度、密度、土底彈性支承常數(shù)分別為 H 、ρ1、ρ2、ρ3、ks1、ks2、ks3.

1.2 假設(shè)條件

（1）每一圈層土體均各自為均質(zhì)、各向同性線(xiàn)性粘彈性體，土體材料阻尼采用與頻率無(wú)關(guān)的滯回阻尼，土層底部為彈性支承，最外圈土體徑向無(wú)限延伸，土體僅有豎向位移，徑向位移可忽略；

（2）樁為完全彈性、豎直、圓形等截面體，樁底部支承為彈性支承；

（3）樁土接觸面兩側(cè)位移、應(yīng)力連續(xù)，各圈層土的接觸面兩側(cè)位移、應(yīng)力連續(xù)，樁土系統(tǒng)為小變形諧和振動(dòng).

圖1 樁土系統(tǒng)動(dòng)力模型

1.3 定解問(wèn)題

1.3.1 動(dòng)力平衡方程

（1）土體動(dòng)力平衡方程

設(shè)第一圈土（靠近樁的為第一圈土）、第二圈土及第三圈土中任何一點(diǎn)的位移為w1(r,z,t)、w2(r,z,t)、w3(r,z,t)，建立軸對(duì)稱(chēng)粘彈性土層縱向振動(dòng)動(dòng)力平衡方程如下：

由于樁土系統(tǒng)發(fā)生諧和振動(dòng)，則位移表示為：wj(r,z,t)=wj(r,z)eiωt,代入方程（1）得到

其中：λj為拉梅常數(shù)、Gj為各自圈層土的剪切模量，λj'、Gj'為拉梅常數(shù)和剪切模量相關(guān)的粘性系數(shù)，分別為土縱向和剪切波速，μ為泊松比，Dsj=Gj'Gj和Dvj=λj'λj分別與剪應(yīng)變和體積有關(guān)的滯回阻尼比，與振頻無(wú)關(guān).

（2）樁的動(dòng)力平衡方程

設(shè)樁在垂直簡(jiǎn)諧荷載作用下樁身質(zhì)點(diǎn)位移為u(z)eiωt，樁的動(dòng)力平衡方程為

其中

式（4）為樁周土對(duì)樁身的側(cè)壁切應(yīng)力，m=ρpA為單位長(zhǎng)度樁的質(zhì)量，Ep為樁的楊氏模量.

1.3.2 定解條件

（1）樁周土與樁的接觸界面兩側(cè)應(yīng)力位移連續(xù)條件

p(r1,z)為樁對(duì)第一圈土沿側(cè)壁的反作用力.

（2）樁的邊界條件

樁頂

樁底

（3）土體的邊界條件

土層頂面

土層底面

各圈土之間接觸

外圈土無(wú)窮遠(yuǎn)處應(yīng)力、位移為0.

2 方程求解

2.1 土體振動(dòng)問(wèn)題求解

采用分離變量法求解土體動(dòng)力平衡問(wèn)題，對(duì)第三圈土進(jìn)行求解.設(shè)w3=R(r)Z(z),代入方程（2）化簡(jiǎn)得

方程（13）可分解為兩個(gè)常微分方程

I0(q3r)、K0(q3r)為零階第一類(lèi)、第二類(lèi)虛宗量Bessel函數(shù).

由無(wú)窮遠(yuǎn)處位移應(yīng)力為零推出A3=0；將w3=R(r)Z(z)代入土層邊界條件式（9）得：C3=0；將w3=R(r)Z(z)代入土層邊界條件式（10）得

其中K3=ks3HEs3為土層底部支撐剛度的無(wú)量綱參數(shù).

至此，得到外圈土層振動(dòng)的幅值表達(dá)式為

其中Bn為一系列代定常數(shù).第三圈土對(duì)第二圈土的側(cè)壁切應(yīng)力為

K1(q3nr3)是一階第二類(lèi)虛宗量Bessel函數(shù).

同理可以得到第二圈土體的解

及第二圈土對(duì)第三圈土的側(cè)壁切應(yīng)力、第二圈土對(duì)第一圈土的側(cè)壁切應(yīng)力

進(jìn)一步可得第一圈土的方程解

及第一圈土對(duì)第二圈土的側(cè)壁切應(yīng)力、第一圈土對(duì)樁的側(cè)壁切應(yīng)力

根據(jù)第二、三圈土位移、應(yīng)力連續(xù)可得

根據(jù)第一、二圈土位移、應(yīng)力連續(xù)可得

根據(jù)固有函數(shù)cos(h2nz)的正交性：

對(duì)于式（27）、（28）方程兩邊分別乘以 cos(h2nz)，然后[0，H]積分，對(duì)于式（29）、（30）則乘以 cos(h1nz)，然后[0，H]積分. 最后得

2.2 樁振動(dòng)問(wèn)題求解

將公式（26）代入樁振動(dòng)方程公式（3）

化簡(jiǎn)式（35）得

上述方程（36）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

令方程式（36）的特解為

其中：

利用連續(xù)條件公式（5）得

利用固有函數(shù)cos(h1nz)的正交性（40）得

根據(jù)式（31）、（32）、（33）、（34）、（41）可得 An、Cn、Dn、En、Bn.至此得到樁的位移幅值表達(dá)式

式中：

其中

樁頂位移頻率響應(yīng)函數(shù)（即位移導(dǎo)納函數(shù)）為

其中

樁頂?shù)乃俣阮l率響應(yīng)函數(shù)（即速度導(dǎo)納函數(shù)）為

定義樁頂位移復(fù)剛度（即位移阻抗函數(shù)）

這里k'為樁頂復(fù)剛度（阻抗）無(wú)量綱因子根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)，由H'v得到單位脈沖激勵(lì)的時(shí)域響應(yīng)為

式中t'=t/Tc為無(wú)量綱時(shí)間.由卷積定理可得任意激振力 f(t)作用下樁頂?shù)臅r(shí)域響應(yīng)

式中F(iω)是 f(t)的傅立葉變換.

式中

T'=T/Tc為無(wú)量綱脈沖寬度因子.

3 與前人解的對(duì)比

文獻(xiàn)[7]的解是本文樁周土為均質(zhì)的特殊情況，而文獻(xiàn)[9]的解中兩層土參數(shù)取為一致時(shí)即為文獻(xiàn)[7]的解.本文對(duì)于各圈土層參數(shù)取為一致時(shí)即退化為文獻(xiàn)[7]的解.圖2與圖3顯示了本文解與文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[9]相對(duì)比的情況.證明了本文解可以退化為文獻(xiàn)[7]、[9]的解，得到的解析結(jié)果是正確的.

圖2 樁頂速度導(dǎo)納曲線(xiàn)

圖3 樁頂反射波曲線(xiàn)

4 結(jié)語(yǔ)

（1）在三維軸對(duì)稱(chēng)條件下，考慮土體沿徑向主要參數(shù)變化，把樁周土分為三圈，在僅考慮土體豎向位移的情況下，建立在垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)情況下彈性支承樁與滯回阻尼土體耦合作用的定解問(wèn)題，得到了相對(duì)嚴(yán)格的樁頂頻域響應(yīng)解析解及時(shí)域響應(yīng)半解析解.

（2）與前人成果對(duì)比表明，本文成果能退化成樁周土均質(zhì)的情況，以及樁周土分為兩個(gè)圈層的情況，證明了本文解的正確性和合理性.

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