李景財(cái)

試題：（2011年武漢市初中畢業(yè)升學(xué)考試第22題）

如圖1，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn). 過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B. 延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

（1） 求證：PB為⊙O的切線；

（2） 若tan∠ABE=，求sin∠E的值.

第（1）問是圓中的常見問題，因?yàn)辄c(diǎn)B在圓上，連半徑OB，證明∠OBP=90° 即可. 這里的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)OP是弦AB的中垂線，通過三角形全等或等腰三角形的性質(zhì)可證∠OBP=90°. 證明過程不再贅述.

第（2）問綜合性強(qiáng)，對(duì)同學(xué)們的能力要求較高，解答方法多樣，本文主要探討第（2）問的證明方法.

圖1

一、 構(gòu)造相似三角形

解法1： “A”型與勾股定理

如圖1，由tan∠ABE=，設(shè)OC=k，則BC=2k，BO=k，OP=5k.

由∠ABE=∠BPO，得PC=2BC=4k，BP=2 k.

由（1）得∠OAE=∠PBE=90°.

又∵∠OEA=∠PEB，

∴△OAE∽△PBE，

===，

即=.

整理，得AE=2DE.

設(shè)DE=t，則AE=2t.

在Rt△OAE中，（2t）2+ （k）2=（k+t）2，

解得t=，

∴OE=，

sin∠E==.

解法2 ： “A”型與切線長(zhǎng)定理

如圖2，∵BD為直徑，∴∠BAD=90°，

∴AD∥OP，

∴AD=2OC=2k， △ADE∽△POE，

∴==.

圖2

設(shè)AE=2t，PE=5t，則PA=3t.

∵PA=PB ∴PB=3t.

∴sin∠E==.

解法3： “A”型與合比性質(zhì)

由解法2 知，==，

由比例的合比性質(zhì)，得==，即=，

∴DE=，

∴OE=DE+OE=，

∴sin∠E==.

解法4： “A”型與“射影定理圖”

如圖3，過O點(diǎn)作OF⊥OA交AB于F.

∵AE⊥OA ，∴OF∥AE，

∴=.

圖3

由解法1可知OC=k，AC=BC=2k，OA=OB=k.

∵OF⊥OA，OC⊥AF，∴△AOC∽△OFC.

∴OC2=AC·CF ，∴CF=k.

∴BF=BC-CF=k，AF=AC+CF=k.

sin∠E====.

二、面積法

解法5：轉(zhuǎn)換目標(biāo)角

如圖4，由解法1 知PA=PB=2k，PC=4k，AB=4k.

過A點(diǎn)作AF⊥PB于F，由三角形面積公式得AF·PB=AB·PC，

∴AF=.

在Rt△APF中，PF==.

∵EB⊥PB，AF⊥PB，∴EB∥AF，

∴∠E=∠PAF，

∴sin∠E=sin∠PAF==.

圖4

三、 構(gòu)造輔助圓

解法6： 圓的性質(zhì)與勾股定理

如圖5，由第1問可知，∠PBO=∠PAO=90°，

圖5

∴A、P、B、O四點(diǎn)共圓.

設(shè)圓心為N，連接BN.

∴∠AOE=∠APB.

∵OP⊥AB， ∴∠BNC=∠APB，

∴∠AOE=∠BNC.

又∵∠OAE=∠BCN，

∴∠E=∠CBN.

由解法1得，OC=k，BC=2k.

設(shè)⊙N的半徑為r，則CN=r-k，BN=r，

在Rt△BCN中，（2k）2+（r-k）2 =r2，

解得r=k，

∴CN=k-k=k，

∴sin∠E=sin∠CBN==.