焦建民

（寶雞文理學院 數(shù)學系，陜西 寶雞 721013）

時滯現(xiàn)象廣泛存在于各類實際系統(tǒng)之中，是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的重要因素，因此，對于時滯系統(tǒng)的研究一直是控制領域的研究熱點，并取得了許多研究成果。如文獻[1-2]和[3-6]分別研究了連續(xù)時滯系統(tǒng)和離散時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，給出了系統(tǒng)一些穩(wěn)定性條件。文獻[1-6]所考慮的系統(tǒng)中，狀態(tài)時滯是一種單一的形式，文獻[7]指出：在一些實際問題中，如網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，信號從一點傳輸?shù)搅硪稽c，可能要經過一些網(wǎng)絡節(jié)點，這些節(jié)點在網(wǎng)絡傳輸過程中會導致具有不同特性的時滯出現(xiàn)，這些時滯不能合并在一起進行研究。因此，文獻[7]提出了具有時滯和的系統(tǒng)，并給出了系統(tǒng)的一個穩(wěn)定性準則。文獻[8-10]進一步改進了文獻[7]的結果，給出了一些保守性更小的穩(wěn)定性條件。然而，文獻[7-10]所考慮的系統(tǒng)均為具有時滯和的連續(xù)系統(tǒng)，對具有時滯和的離散系統(tǒng)，相關研究成果還很少見。本文針對具有時滯和的離散系統(tǒng)，基本Lyapunov穩(wěn)定性理論，應用線性矩陣不等式（LMI）處理方法，研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，給出了系統(tǒng)新的穩(wěn)定性準則，并利用仿真實例驗證了所給結果的有效性。

本文采用以下記號：對實對稱矩陣X和Y，X≥Y（X＞Y）表示X-Y為半正定（正定）矩陣；AT表示矩陣A的轉置；“*”表示對稱矩陣的主對角線以上塊矩陣的轉置矩陣；I和O分別表示適當維數(shù)的單位矩陣和零矩陣。

1 問題描述

考慮如下具有時滯和的離散系統(tǒng)：

其中，x（k）∈R″為系統(tǒng)狀態(tài)；φ（k）系統(tǒng)初始條件；A，B為已知適當維數(shù)的常數(shù)矩陣；d1（k），d2（k）表示系統(tǒng)時變時滯，滿足：

其中，d1，d2為已知正整數(shù)。為敘述方便，后文記：

引理1[3]給定矩陣R＞0，正整數(shù)d2≥d1＞0及向量函數(shù)x：[d1，d2]→Rn，下面的不等式成立：

2 主要結果

定理1給定正整數(shù)d2≥d1＞0，對滿足（2）的時變時滯d1（k），d2（k），系統(tǒng)（1）是穩(wěn)定的充分條件是，存在適當維數(shù)的矩 陣P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，R＞0及M1，M2，M3，使 得 下 面 的LMIs（3）和（4）成立：

3 數(shù)值實例

考慮離散時滯系統(tǒng)（1），設其系數(shù)矩陣為：

當給定時滯d1（k）上界d1＝10，應用定理1可得，使得系統(tǒng)（1）滿足穩(wěn)定的時滯d2（k）上界d2的最大值為7；類似的，當給定時滯d2（k）上界d2＝5，應用定理1可得，使得系統(tǒng)（1）滿足穩(wěn)定的時滯d1（k）上界d1的最大值為12，可以看出，本文的定理1是有效的。

4 結束語

文中針對一類具有時滯和的離散系統(tǒng)，通過構造合理的Lyapunov泛函，并保留了Lyapunov泛函差分中的有用信息，得到了基于LMI的時滯相關穩(wěn)定性充分條件，并應用數(shù)值算例驗證了所得到的有效性、可行性，為具有時滯和的離散系統(tǒng)控制問題的進一步研究提供了參考。

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