張鑫明，葉 鋒，楊 波，門愛東

(1. 北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876；2. 中國艦船研究院新技術研究室，北京 100192；3. 福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院，福州 350001)

Sigma-Point卡爾曼濾波用于OFDM載波頻偏估計

張鑫明1,2，葉 鋒1,3，楊 波1，門愛東1

(1. 北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876；2. 中國艦船研究院新技術研究室，北京 100192；3. 福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院，福州 350001)

對于非線性的動態(tài)狀態(tài)空間模型，擴展卡爾曼濾波(EKF)通過泰勒展開擬合系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測方程，以獲得對狀態(tài)值的估計，但其存在估值波動大、收斂慢等缺點；而基于Sigma-point點的卡爾曼濾波方法，則是通過確定性采樣實現(xiàn)統(tǒng)計特性上的近似，從而獲得更為準確的高階統(tǒng)計特性．為此，建立了正交頻分復用(OFDM)載波頻偏的動態(tài)狀態(tài)空間模型，并將Sigma-point卡爾曼濾波用于其頻偏估計．仿真結果表明，該類方法可以捕捉更為準確的高階特性，其估值準確、收斂速度快、波動小、對觀測噪聲大小不敏感．

Sigma-point卡爾曼濾波；動態(tài)狀態(tài)空間；正交頻分復用；載波頻偏

基于近似一個高斯分布比近似一個任意的非線性函數(shù)容易的觀點，Julier等[1]提出了無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)，Ito等[2]提出了中心差分卡爾曼濾波(central difference Kalman filter，CDKF)，這些算法通過一組確定性采樣點(Sigma points)來捕獲系統(tǒng)的相關統(tǒng)計參量，將非線性映射直接作用于各Sigma 點，根據(jù)映射后的點集重建統(tǒng)計參量，然后根據(jù)新的統(tǒng)計參量重新選擇Sigma 點集并重復上述過程．這種方法可以在不必對非線性映射近似的情況下，使一個隨機變量的分布按非線性映射遞推傳播．

這類基于Sigma采樣點的的濾波方法在工業(yè)控制、航空航天、導航、跟蹤等領域獲得了廣泛的關注與應用．文獻[3]利用UKF算法設計了觀測器，以估計無刷直流電機的轉子位置和角速度．文獻[4]采用改進的UKF方法進行數(shù)據(jù)融合，并直接計算北斗組合系統(tǒng)導航參數(shù)的最優(yōu)估計．Sigma點卡爾曼濾波也被用于基于Wi-Fi信號的室內定位與跟蹤[5]．

在正交頻分復用(orthogonal frequency-division multiplexing，OFDM)系統(tǒng)中，其載波頻偏問題是一個非線性估計問題，可將其描述為動態(tài)狀態(tài)空間模型(dynamic state-space mode，DSSM)進行分析[6]．筆者引入并分析了Sigma-point卡爾曼濾波器性能[7]，并將其用于OFDM的載波頻偏估計．

1 OFDM載波頻偏的DSSM模型

1.1 DSSM模型描述及其求解

不考慮外部輸入控制時，DSSM模型可表示為

式中：Xk為k時刻的狀態(tài)變量；Yk為其可觀測量；f為狀態(tài)函數(shù)；h為觀測函數(shù)；w、v分別為過程噪聲和觀測噪聲．理論上，迭代Bayesian估計方法可以獲得該模型的完備解，但由于高維積分通常不易求解，Bayesian估計只對某些特定的動態(tài)狀態(tài)空間模型具有解析解，大多數(shù)情況下只能尋求次優(yōu)估計．特別是在高斯近似的條件下(噪聲等隨機變量服從高斯分布)，當f、h為線性函數(shù)時，Bayesian遞推對應的最優(yōu)解析解即為Kalman濾波法．而對于f、h為非線性的情況，常用的一種方法是擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)，EKF通過泰勒展開，對f、h分別進行線性逼近，使得Kalman濾波得以應用到非線性問題中．但當非線性效應明顯時，截斷意味著丟失了高階項的非線性特性，同時EKF需要計算Jacbean矩陣，導致計算量過大．

與對函數(shù)本身的擬合不同，另一種思路是對系統(tǒng)的概率密度分布進行擬合．采樣狀態(tài)的先驗分布，并對采樣點加以加權、篩選等再處理，最終得到近似分布，從而獲得狀態(tài)估值．根據(jù)采樣方式的不同，可分為確定性采樣濾波與隨機性采樣濾波，前者即為Sigma-point卡爾曼濾波而后者指粒子濾波．Sigmapoint法與粒子濾波不同之處在于，其只需少量的樣點即可獲取系統(tǒng)的統(tǒng)計特性，且算法性能及復雜度都適中，而粒子濾波則需要大量的采樣點(即粒子)．本文主要研究Sigma-point卡爾曼濾波法．

1.2 OFDM載波頻偏的DSSM描述

OFDM的載波頻偏問題如圖1及式(3)所示，不考慮信道影響時，接收信號y(n)中既有噪聲項又有頻偏導致的相位差[8]，即

通常在一個OFDM符號內，信道是時不變或準靜態(tài)的，此時的頻偏因子可以視為常值，即在一個OFDM符號內有ε(n)= ε(n-1)．此式與式(3)可分別視為狀態(tài)方程與觀測方程，則可得OFDM載波頻偏問題的DSSM模型[9]為

對于該模型，可以運用Sigma-point卡爾曼濾波法進行載波頻偏的估計，以獲得更高的估計精度和更優(yōu)的收斂性．

圖1 OFDM頻偏模型Fig.1 Carrier frequency offset of OFDM

2 Sigma-point卡爾曼濾波

Sigma-point卡爾曼濾波基于確定性采樣，從待估變量的先驗分布上采樣n個點，對每一個點作相應的函數(shù)變換，再計算得到變換后的n個對應值的后驗統(tǒng)計特征，如均值和方差等，進而延用卡爾曼濾波的框架結構．相較于函數(shù)擬合的方法，該方法對非線性狀態(tài)和過程方程的描述更為準確．其主要包括UKF與CDKF以及為減少計算開銷和提高穩(wěn)定性而導出的平方根形式．

2.1 UKF

UKF通過無跡變換(unscented transformation，UT)變換實現(xiàn)概率分布上對非線性函數(shù)的近似．UT變換的采樣Sigma點與原隨機變量樣點有相同的一、二階統(tǒng)計特性，而其經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞后對應的樣點，其統(tǒng)計特性可以準確到三階[10]．經(jīng)過UT變換得到一、二階統(tǒng)計特性之后，再結合卡爾曼濾波框架就得到了UKF的完整過程．

不同的采樣策略對應不同的UT變換方法，有對稱采樣、單形采樣等，最為常見的是采用尺度可變對稱采樣策略的標準UKF算法，其流程[11]如下所述.

1) 初始化及構造Sigma點集

2) 狀態(tài)更新

3) 觀測更新

UKF濾波器的權重因子及相關參數(shù)為

式中：γ、λ均為尺度參數(shù)；常量a描述了采樣點的分布范圍，通常取10-4＜a＜1；κ為二階尺度參數(shù)；β用于體現(xiàn)變量先驗分布信息，高斯分布下一般取β=2．

2.2 中心差分卡爾曼濾波

基于Stirling內插公式，利用中心差分代替EKF中泰勒展開的一、二階級數(shù)，可以得到中心差分卡爾曼濾波 CDKF方法．

Stirling公式為

替代EKF的泰勒級數(shù)為

由式(12)可以看出，選取的樣點x經(jīng)過非線性函數(shù)變換后，對應的后驗隨機變量的一階矩可以由x及分別經(jīng)非線性變換后的值及對應的權重確定．實際上，其二階矩方差及互方差[8]也是由這些采樣點對應表示的，即

從導出的結果看，雖然Stirling公式與泰勒展開看上去相似，但CDKF濾波最終結果卻與UKF相似，體現(xiàn)為基于確定性采樣的估計．

CDKF濾波器的權重因子及相關參數(shù)為

其中：i=1,2,…,2L；h因子描述了樣點的分布范圍，即

在高斯分布下，通常取23h=．

2.3 平方根形式Sigma-point卡爾曼濾波

在Sigma-point卡爾曼濾波中，為了構成Sigma點集，每次更新都要計算協(xié)方差矩陣的平方根，導致較大的計算開銷．平方根形式的Sigma-point卡爾曼濾波利用矩陣QR分解、Cholesky分解因數(shù)更新以及高效最小二乘等強有力的線性代數(shù)技術，以Cholesky分解因數(shù)的形式直接傳播和更新狀態(tài)協(xié)方差矩陣的平方根，從而可以提高計算效率，增強數(shù)值穩(wěn)定性[12].下面以UKF為例予以說明．

1)平方根形式算法流程

2)狀態(tài)更新

3)觀測更新

3 仿真分析

為驗證Sigma-point卡爾曼濾波算法的性能，將其應用于OFDM頻偏估計中．仿真條件為64子載波的OFDM系統(tǒng)，QPSK調制，待估計的歸一化頻偏因子為0.3，訓練序列長度為64個星座映射符號．假設同步理想，已知信道沖擊響應特性，噪聲為AWGN高斯白噪．頻偏因子初值設為0.01，對于UKF，濾波器參數(shù)設為κ=0,a=1,β=2；對于CDKF，參數(shù)設為h2=3．

基于Sigma-point卡爾曼濾波進行頻偏估計所得的線性及Log BER曲線如圖2所示．與自消除算法SC及最小方差迭代估計RLS算法相比，EKF、UKF與CDKF都獲得了較為明顯的BER改善．其中EKF在低信噪比條件下性能一般，而UKF與CDKF更好．濾波方法相比于RLS算法性能有較大優(yōu)勢是由于濾波算法以最小均方差為代價函數(shù)，充分利用了噪聲統(tǒng)計特性，而RLS算法并沒有利用噪聲特性．

圖3和圖4分別為信噪比SNR為0、15,dB時頻偏的估值曲線．可以看出UKF與CDKF算法迭代收斂過程比較穩(wěn)定，估值也準確．EKF性能最差，收斂慢、波動大，特別是在低信噪比的情況下，估值偏差較大．

定義待估計變量的均方誤差MSE為

式中：ix為各次迭代的估值；?x為真值．在信噪比分別為0,dB、5,dB、10,dB及15,dB時的均方誤差值如表1所示．從表1也可以看出在估計偏差的性能上Sigma-point卡爾曼濾波優(yōu)于EKF，其中UKF也是略優(yōu)于CDKF．

圖2 不同信噪比的誤碼率曲線Fig.2 Error bit rate versus SNR

圖3 SNR=0,dB，ε=0.3時迭代估值Fig.3 Valuation curve when SNR=0,dB，ε=0.3

圖4 SNR=15,dB，ε=0.3時迭代估值Fig.4 Valuation curve when SNR=15,dB，ε=0.3

理論上，Sigma-point卡爾曼濾波可以提升估值精度及性能，其平方根形式可以減少一定的計算量，但離實際應用還需一定的改進，可行的一種方法是考慮并行性實現(xiàn)．基于心動陣列的卡爾曼濾波已早有研究，但由于Sigma-point卡爾曼濾波處理非線性模型時所涉及運算更為復雜，相關的并行化研究很少．考慮到在UKF算法流程中，UT變換部分與濾波更新部分可以被視為并行的兩部分結構；另一方面，通過矩陣分解，采樣點集也可以分為并行的子點集進行并行處理．從而UKF等Sigma-point卡爾曼濾波的并行實現(xiàn)是可能的．

表1 估計的均方誤差Tab.1 Estimated mean square error

4 結 語

對于OFDM的載波頻偏估計，EKF 存在精度低、低信噪比時誤差大等問題．相比EKF，Sigmapoint卡爾曼濾波估計精度高，收斂更快，估值更穩(wěn)定，與信噪比關系不大，是性能較優(yōu)的一種方法．并且其相對于粒子濾波而言，不需大量的隨機樣點，計算過程也相對簡單．本文將Sigma-point卡爾曼濾波應用于OFDM頻偏估計，獲得了一定的性能改進．但對于Sigma-point卡爾曼濾波，由于其估計過程中需要不斷更新方差等矩陣，因而實時性略差，不適于工程應用．對其及平方根形式算法的進一步優(yōu)化，以及基于并行處理的應用是下一步的研究方向．

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Application of Sigma-Point Kalman Filter to Carrier Frequency Offset Estimation of OFDM Systems

Zhang Xinming1,2，Ye Feng1,3，Yang Bo1，Men Aidong1
(1. School of Information and Communication Engineering，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China；2. New Technology Research Department，China Ship Research and Development Academy，Beijing 100192，China；3. School of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)ujian Normal University，F(xiàn)uzhou 350001，China)

For the non-linear dynamic state-space model, extended Kalman filter (EKF) fits the system state and observation equations to obtain the estimation of state, but it has deficiencies like apparent fluctuation and slow convergence. While the Sigma-point Kalman filters obtain the statistical characteristics based on deterministic samples, and accordingly better approximation can be achieved. In this paper, the orthogonal frequency-division multiplexing(OFDM) carrier frequency offset is described as non-linear dynamic state-space model（DSSM）, and the Sigmapoint Kalman filter is applied to the estimation of the offset value. Simulation results show that the proposed filter perform better at capturing high order moments than EKF, with higher accuracy, faster convergence, smaller fluctuations and lower noise sensitivity.

Sigma-point Kalman filter；dynamic state-space model；orthogonal frequency-division multiplexing；carrier frequency offset

TN911.22

A

0493-2137(2013)05-0458-05

DOI 10.11784/tdxb20130513

2011-10-08；

2012-03-22.

國家自然科學基金資助項目(61072080)．

張鑫明（1986— ），男，博士，工程師，bupt.zhangxinming@gmail.com.

門愛東，menad@bupt.edu.cn.