周壽明
(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)
輔助函數(shù)的構(gòu)造在很多問題的解決中都起著關(guān)鍵的作用,因此它的作用非常之廣泛。幾乎所有數(shù)學(xué)專業(yè)的教材中都要用到輔助函數(shù)去解題,但都只是作為一種數(shù)學(xué)工具被“信手拈來”,讓初學(xué)者連看都感到困惑更不用說去掌握和運(yùn)用它。本文通過對例題進(jìn)行歸納、分析和總結(jié)出常見的五種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法——行列式法、變上限積分法、微分方程法、常值K 法、指數(shù)因子法。本文旨在找出這些輔助函數(shù)特點及適用對象,根據(jù)題意合理構(gòu)造出輔助函數(shù),使解題思路更加清晰、解題過程更加明了。并由此得出利用輔助函數(shù)解題的一般步驟。
數(shù)學(xué)的各門學(xué)科之間是普遍聯(lián)系的。借助高等代數(shù)中的行列式來構(gòu)造輔助函數(shù),有時可以使問題變得更加直觀、明了。
行列式的微分性質(zhì)[1]設(shè)fij(x)(i,j = 1,2,…)為可導(dǎo)的函數(shù),則有
[例1]設(shè)f(x),g(x),h(x)在a ≤x ≤b 上連續(xù),在a <x <b 內(nèi)可導(dǎo),證明:必存在一點ξ ∈(a,b)使
證明:該題要證的結(jié)論中出現(xiàn)了行列式,易知此題應(yīng)構(gòu)造如下一個行列式作為輔助函數(shù):
由于F(a)= F(b)= 0 ,由題設(shè)知F(x)滿足羅爾定理的條件,故至少存在一點ξ ∈(a,b)使
將(3)式按最后一行展開即可得(1)式。證畢。
事實上,拉格朗日中值定理和柯西定理都是(3)式的特例,亦即由此可得到這兩大定理的另一種證明方法:若令h(x)= 1 ,由(3)式即得柯西中值定理;若令h(x)= 1 ,g(x)= x,即得拉格朗日中值定理。
變限積分是證明積分等式、不等式的一種非常重要且行之有效的方法。主要是因為這類積分的函數(shù)具有很好的微分性質(zhì)。
積分法的微分性質(zhì)[1]設(shè)f 為連續(xù)函數(shù),u,v 均為可導(dǎo)函數(shù),且可實行復(fù)合與。則有:
在x ∈[a,b]上φ(x)單調(diào)遞減,又因為φ(a)= 0 ,故。證畢。
當(dāng)所要證明的結(jié)論中代數(shù)式比較復(fù)雜時,就不能很容易通過變限積分法找出原函數(shù),這時我們通過微分方程的方法解決[2]。
[例3]設(shè)f(x)在閉區(qū)間[0,π]上連續(xù),在開區(qū)間(0,π)內(nèi)可導(dǎo),且f(x)= 0 ,求證:至少存在一點ξ ∈(0,π),使得
常值K 法的一般步驟[3]:1)將結(jié)論中的所有常數(shù)分離至等式的一端,并設(shè)其為常數(shù)K;2)將所得等式進(jìn)行恒等變形,使含a 和f(a)的都移到等式的一端,另一端含b 和f(b);3)判斷上式是否為對稱式,若對稱則將a 變成x,將f(a)變成f(x),即得到所需的輔助函數(shù)。
[例4]設(shè)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求證:至少存在一點ξ ∈(a,b)使得:bf(b)-af(a)=(b-a)f(ξ)+ ξf '(ξ).
由指數(shù)函數(shù)ex的各階導(dǎo)數(shù)仍然是ex,并且ex恒大于零,我們可以利用指數(shù)函數(shù)ex的這種良好性質(zhì)構(gòu)造ef(x)型輔助函數(shù)[4]。
[例5]設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),若f(0)= f(a),求證:至少存在一點ξ ∈(0,a),使得:f'(ξ)= 3ξ2(f(ξ)-f(0))。
眾所周知,輔助函數(shù)的構(gòu)造有很大的靈活性和技巧性,應(yīng)就具體問題具體分析,充分挖掘已知條件和所證結(jié)論中蘊(yùn)涵的信息,大膽地運(yùn)用歸納、猜想、分析與化歸等數(shù)學(xué)思想,選擇合適的輔助函數(shù),最終解決問題。因此,我們要對輔助函數(shù)的性質(zhì)、特征非常的熟悉,對它們的使用范圍“了如指掌”,平時多做題、多思考、多總結(jié),只有這樣才能合適的選擇、靈活地運(yùn)用輔助函數(shù)進(jìn)行解題。
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京:高等教育出版社,2001.
[2]王文珍. 微積分學(xué)中輔助函數(shù)的應(yīng)用[J]. 長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,2005,8(6):33-35.
[3]朱崇軍,徐侃. 微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J]. 高等函授學(xué)報,2008,22(1):18-20.
[4]譚潔琦. 淺談微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J]. 四川教育學(xué)院學(xué)報,2008,24(7):101-103.