張江輝，陳翠華，寧全利，馬麗芳

(解放軍陸軍 軍官學(xué)院，合肥 230031)

數(shù)據(jù)平滑處理是數(shù)字信號處理中經(jīng)常遇到的問題，其目的是消除數(shù)據(jù)中夾雜的噪聲，還原信號固有特征，為目標(biāo)特征提取和分析奠定良好基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)平滑處理一般通過濾波的方法實(shí)現(xiàn)。濾波器的構(gòu)造主要考慮兩點(diǎn):一是濾波窗口，也即處理的臨域，理論上，濾波窗口越大，參與濾波運(yùn)算的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)越多，濾波效果越好，但實(shí)際上，由于實(shí)時(shí)處理的需要，濾波窗口通常是一定的;二是濾波算法，均值和中值濾波是數(shù)據(jù)平滑中較常用的兩種算法。本文在闡述上述兩種濾波器數(shù)據(jù)自動(dòng)平滑處理的基礎(chǔ)上，引入了卡爾曼濾波器原理，并通過試驗(yàn)對3 種濾波器在數(shù)據(jù)自動(dòng)平滑處理中的性能進(jìn)行了對比分析。

1 數(shù)據(jù)自動(dòng)平滑濾波原理

1.1 均值濾波

均值濾波器是線性平滑濾波器，其原理是通過計(jì)算濾波器窗口內(nèi)數(shù)據(jù)均值，將當(dāng)前數(shù)據(jù)和均值相比較，大于均值的去除，小于等于均值保留。由于均值受數(shù)據(jù)跳動(dòng)的影響較大，當(dāng)濾波窗口內(nèi)的奇異值較多時(shí)，均值就會(huì)偏向奇異值，導(dǎo)致濾波錯(cuò)誤。

為了實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)平滑的自適應(yīng)處理，并改善均值濾波的效果，對均值濾波器進(jìn)行了如下改進(jìn):計(jì)算濾波窗口內(nèi)數(shù)據(jù)均值和方差δ，設(shè)定閾值區(qū)間為-δ+[]δ ，對于落在這個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)，認(rèn)為是正常數(shù)據(jù)，否則使用均值代替該值。

式(1)中:N 為參與濾波計(jì)算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，xi為原始數(shù)據(jù)。

改進(jìn)后的均值濾波算法可表示:

1.2 中值濾波

中值濾波是一種非線性濾波器，其原理是用一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)的滑動(dòng)窗口，將窗口內(nèi)各點(diǎn)的中值作為基準(zhǔn)，當(dāng)前值和中值比較差別較大的認(rèn)為是噪聲進(jìn)行濾除，否則予以保留。如果取窗口點(diǎn)數(shù)為一奇數(shù)m，它的中值濾波就是從輸入數(shù)據(jù)中抽取m 個(gè)數(shù)，并將這m 個(gè)點(diǎn)的值按其數(shù)值大小進(jìn)行排序，取其序號為中心點(diǎn)的那個(gè)數(shù)作為濾波輸出，中值運(yùn)算可表示:

式(3)中:xi數(shù)據(jù)序列，xm為中值，A 為中值濾波窗口，v 為濾波半徑，Med 為取中值運(yùn)算。中值濾波算法可表示:

1.3 卡爾曼濾波

1960 年，匈牙利數(shù)學(xué)家卡爾曼發(fā)表了著名的用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問題的論文:《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(線性濾波與預(yù)測問題的新方法)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，卡爾曼濾波器在數(shù)字信號處理中得到了廣泛應(yīng)用。

卡爾曼濾波是以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，尋求一套遞推估計(jì)的算法，其基本思想是采用信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻地估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計(jì)，得到現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值。

一個(gè)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可用線性差分方程組描述:

式(5)中:Xk為n 維向量，表示系統(tǒng)第k 時(shí)刻狀態(tài);Yk為m 維系統(tǒng)觀測向量;Φk，k-1是一個(gè)n×n 階矩陣，它反應(yīng)了系統(tǒng)從k-1 時(shí)刻的狀態(tài)到第k 時(shí)刻狀態(tài)的變換;Wk表示第k 時(shí)刻作用于系統(tǒng)的隨機(jī)干擾，稱為模型噪聲，一般假設(shè)為高斯白噪聲序列，具有已知的零均值和協(xié)方差矩陣Qk;Hk為m ×n 階觀測矩陣，表示了狀態(tài)向量Xk到觀測向量Yk的轉(zhuǎn)換;Vk為m 維觀測噪聲，同樣假設(shè)其為高斯白噪聲序列，具有已知的零均值和協(xié)方差矩陣Rk。

經(jīng)推導(dǎo)(過程略)，可得如下卡爾曼濾波遞推公式:

式(6)中:Qk為n×n 階模型噪聲Wk的協(xié)方差陣;Rk為m ×m 階觀測噪聲Vk的協(xié)方差陣;Gk為n×m 階增益矩陣;~Xk為n 維向量，表示第k 時(shí)刻經(jīng)濾波后的估計(jì)值;Ck為k 時(shí)刻n×n 階的估計(jì)協(xié)方差矩陣;Pk+1是k +1 時(shí)刻n ×n 階估計(jì)協(xié)方差矩陣。

一般情況下，對于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，Φk，k-1=Φ，Hk=H，即轉(zhuǎn)移矩陣均為常陣;而如果模型噪聲Wk和觀測噪聲Vk都是平穩(wěn)隨機(jī)序列，則Qk和Rk也都是常陣。此時(shí)，常增益的離散卡爾曼濾波是漸近穩(wěn)定的。

2 平滑濾波試驗(yàn)

某型制導(dǎo)炮彈出炮口后彈體轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在7 轉(zhuǎn)/s 左右，通過彈載陀螺輸出信號可估算出彈體實(shí)時(shí)旋轉(zhuǎn)角度。理論上由于彈體轉(zhuǎn)速較穩(wěn)定，相鄰兩個(gè)時(shí)刻角度間隔變化幅度很小，如以20 ms 為采樣周期，相鄰時(shí)刻角度間隔約在50°附近變化。但由于噪聲信號的影響，測量出的彈體旋轉(zhuǎn)角度變化較劇烈，給實(shí)時(shí)角度估算帶來干擾，需進(jìn)行平滑濾波處理。

為此，使用均值、中值和卡爾曼濾波器分別對數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理。這3 種濾波器均為自適應(yīng)濾波器，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)自動(dòng)平滑處理，為滿足實(shí)時(shí)處理的需要，也為比較3 種濾波器性能，試驗(yàn)統(tǒng)一采用1 ×5 的濾波器窗口。

所處理的數(shù)據(jù)時(shí)間長度為26 s，每秒50 個(gè)采樣數(shù)據(jù)，共1 300 個(gè)數(shù)據(jù)。其中，均值濾波的結(jié)果如圖1 所示，中值濾波結(jié)果如圖2 所示。

圖1 均值濾波效果

在卡爾曼濾波中，系統(tǒng)初值設(shè)定為50，系統(tǒng)狀態(tài)向量和觀測向量維數(shù)均為1，系統(tǒng)當(dāng)前預(yù)測值和前一預(yù)測值相等，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為H =1，觀測矩陣Φ =1;模型噪聲協(xié)方差Q =0.002 5，觀測噪聲協(xié)方差R =0.25，估計(jì)誤差的協(xié)方差P =2.5，卡爾曼濾波結(jié)果如圖3 所示。

圖2 中值濾波效果

圖3 卡爾曼濾波效果

由上述試驗(yàn)可以看出，原始數(shù)據(jù)存在大量的跳躍點(diǎn)，干擾了正確角度的估算。通過采用均值、中值和卡爾曼濾波處理，均實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)平滑輸出。

3 結(jié)束語

均值、中值和卡爾曼濾波均可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的自動(dòng)平滑處理。從濾波效果上看，均值濾波受噪聲干擾影響較明顯，特別是噪聲點(diǎn)變化劇烈的地方(圖1 中1 000 ～1 300 區(qū)域)，濾波輸出的跳躍性較大，中值濾波器和卡爾曼濾波器在效果較好，且卡爾曼濾波輸出較中值濾波輸出的數(shù)據(jù)平滑性更好;從算法復(fù)雜度來講，均值濾波和中值濾波算法較簡單，運(yùn)行速度快，卡爾曼濾波由于涉及較多的矩陣運(yùn)算，算法運(yùn)行效率較低。實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)從處理精度、實(shí)時(shí)性等方面綜合考慮，選用合適的濾波器進(jìn)行數(shù)據(jù)平滑濾波。

本文主要討論了均值、中值和卡爾曼濾波在一維數(shù)據(jù)的平滑處理中的應(yīng)用，二維或多維數(shù)據(jù)處理可轉(zhuǎn)化成一維數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，或參照上述思路處理。

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