顏 博，田宏亮，許國棟

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

隨著防空反導技術的不斷發(fā)展，直接碰撞殺傷的精確制導成為各國研究的重點。期望導彈在擊中目標時，有一定的命中角度，達到最佳毀傷效果。隨著作戰(zhàn)高度和距離的不斷增加，傳統(tǒng)氣動舵提供的機動能力無法滿足需求，采用脈沖發(fā)動機的直接側向力控制，成為提高導彈制導精度的必然趨勢。脈沖推力在一個制導控制周期內響應一次制導指令，其工作形式是離散的，因此研究離散條件下的精確制導問題具有重要的工程意義［1］。文獻［2］最早應用滑模理論設計了空空導彈制導律，由于表現(xiàn)出對目標機動的魯棒性，使滑模理論成為制導律設計的熱點［2-5］;為了進一步提高導彈命中精度，文獻［6］提出了帶有角度約束的變比例系數(shù)制導律，文獻［7］設計了約束角限制的滑模制導律，文獻［8］設計了帶約束角的全程滑模導引律，提高了系統(tǒng)響應的時間;但這些研究都是假設導引頭能連續(xù)探測目標信息，在實際工程中，導引頭信息是離散的。文獻［9-10］針對固定目標對離散制導律進行了研究，且沒有考慮約束條件。在此應用離散滑模理論，設計了一種帶有角度約束的離散滑模制導律。

1 導彈制導問題的數(shù)學描述

通常空空導彈在飛行過程中，要控制導不做滾轉運動，滾動角保持為零，因此彈體運動可解耦為俯仰和偏航兩個面的運動。在建模過程中，可以做如下假設:導彈的速度大于目標的速度;導彈機動能力大于目標的機動能力;自動駕駛儀響應探測指令的時間忽略不計。

以縱向平面為例，導彈——目標的相對運動關系如圖1所示。

圖1 導彈目標運動關系

由圖1 可以導出如下方程［4］

式(1)、(2)中:M 為導彈當前時刻位置，T 為目標當前時刻位置;R 為導彈與目標之間的相對距離，˙R 為R 對時間的導數(shù)，表示導彈與目標之間的相對速度;Vm和Vt分別為導彈速率和目標速率;φm和φt分別為導彈和目標的速度方向角;q 為視線角為q 對時間的導數(shù)，表示視線角速率。

將式(1)和式(2)兩邊對時間求導，整理得

式(4)中:wR和uR分別為目標加速度和導彈加速度在視線方向上的分量;wq和uq分別為目標加速度和導彈加速度在視線法向上的分量。

取狀態(tài)變量x1=q，x2=，由式(4)可得狀態(tài)方程:

末制導問題中，設計制導律的關鍵在于通過uq控制視線角速率，令其趨近于零，實現(xiàn)準平行接近［3］。

2 離散制導律設計方法

2.1 滑模面的設計

防空或反導導彈制導系統(tǒng)的采樣周期一般在10 ～15 ms之間的小量［12］，根據(jù)離散定義將連續(xù)狀態(tài)方程(5)離散化得:

式(6)中:T 為采樣周期，uq(k)為控制量，wq(k)為干擾量，ΔR(k)為一個采樣周期內，導引頭測得彈目距離的變化量。

根據(jù)經(jīng)典制導武器末制導平行接近原理，控制視線角速率為零，即=0，并且希望擊中目標時保持一定的期望角度，即q =q*，q*為確定的常值。為了實現(xiàn)這一控制目標，根據(jù)滑模變結構控制的特點，選取切換函數(shù)

其中:c 為待設計的滑模面參數(shù)，滑模參數(shù)c 越大，滑模運動段響應越快，但控制量的輸出也越大，系統(tǒng)將有較大的抖振;c 越小，設計的控制量輸出小，抖振小，但系統(tǒng)滑模段響應慢，動態(tài)性能變差。

2.2 離散趨近律和控制器的設計

趨近律方法是滑模變結構控制的一種典型控制策略，這種控制方法不僅可以對系統(tǒng)在切換面附近或沿切換面的滑模運動段進行分析，而且可以有效地對系統(tǒng)趨近段的動態(tài)過程進行分析和設計，從而保證系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間內具有良好的運動品質。采用如下的離散趨近律

其中，δ 為趨近速度函數(shù)數(shù)，σ 為符號函數(shù)增益函數(shù)，且滿足δ ＞0，σ ＞0。

趨近速度參數(shù)σ 主要影響切換函數(shù)的動態(tài)過程，適當?shù)恼{整該參數(shù)可改變系統(tǒng)向滑模面的趨近速度，改善動態(tài)品質。增益參數(shù)ε 是保證系統(tǒng)對外界擾動和參數(shù)攝動魯棒性的主要參數(shù)，ε 越大抗干擾能力就越強，但會使系統(tǒng)的抖振變大，需要折中考慮。取

這樣設計的意義在于R(k)較大時，適當放慢趨近滑模面的速率，R(k)趨向于零時，使趨近速率迅速增加，確保系統(tǒng)不發(fā)散，并且具有較大的抖振，對目標機動有較強的魯棒性。根據(jù)離散滑模變結構理論［11］，為保證制導系統(tǒng)以任一初始狀態(tài)首先趨近切換面，且不發(fā)生穿越，然后轉換為準滑動模態(tài)，設計的趨近律必須滿足

結合式(9)得

將式(7)、式(9)帶入式(8)，并考慮狀態(tài)方程式(6)，整理可得到縱向平面的控制律

2.3 穩(wěn)定性與可達性分析

連續(xù)系統(tǒng)滑模的到達條件為s˙s ＜0，推廣到離散系統(tǒng)，得到可達性條件

到達條件式(13)對于準滑模運動的存在是必要條件，而不是充分條件，并不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定件。

因此，以李雅普諾夫穩(wěn)定性定理為基礎，選擇李雅普諾夫函數(shù)

當滿足時，系統(tǒng)可以從任意初態(tài)漸進趨向滑模面，可知離散滑模區(qū)存在和到達條件

采樣時間T 很小時，離散滑模的存在和到達性條件等價［11］:

根據(jù)設計的切換函數(shù)式(7)與趨近律式(8)帶入式(17)得:

因此，只要滿足就能保證穩(wěn)定性與可達性。

根據(jù)式(9)、式(11)與式(20)，滿足離散滑?？刂频膮?shù)條件

在實際制導過程中，導引頭測量數(shù)據(jù)的采樣周期T 為極小值且彈目相對速度較大，因此彈目距離R(k)相對于T 為快變量，整個制導過程中，即便是末制導過程中導引頭關機時刻，R(k)/T 仍為較大值，所以λ、ε 有足夠大的選擇空間滿足條件。

3 仿真與分析

以某導彈攔截目標為例，設導彈初始位置為坐標原點( 0，0，0)，初速度為Vm=640 m/s，彈道傾角θm( 0)=2.74°，彈道偏角φvm( 0)=4. 6°，目標相對導彈的初始位置坐標(30 000，5 000，5 000)，初 速 度Vt= 360 m/s，彈 道 傾 角θt( 0)=2.5°，彈道偏角φvt( 0)=180°;目標在法向上的加速度為aty=2gsin(0.2t)m2/s，atz=2gcos(0.2t)m2/s，的螺旋機動。導彈最大法向過載3g，忽略執(zhí)行機構延時及導引頭噪聲影響，導引頭數(shù)據(jù)采樣周期10 ms，制導盲區(qū)R(∞)=1 m，進入盲區(qū)后，導彈?？?，慣性飛行。離散導引律中取c =1，λ=1，ε=20，期望角度q*=90°;帶約束角的離散比例導引律比例系數(shù)k=4。在離散比例制導律和離散滑模制導律作用下，仿真結果見圖2 ～圖4。圖2 為目標螺旋機動時，采用帶角度約束的離散滑模制導和離散比例制導的彈道曲線。對比彈道軌跡可以看出，2 種制導律都能較好的跟蹤目標，采用離散滑模制導的彈道軌跡更優(yōu)。

圖2 導彈目標運動軌跡

圖3 視線角隨時間變化曲線

圖4 視線角速率隨時間變化曲線

由圖3 對比2 種制導律下視線角的變化可知，采用離散滑模制導時，最終視線角約為90°，達到了期望角度。采用離散比例制導時，最終落腳約為65°，說明比例制導對視線角有所校正，但并沒有到達期望值。

由圖4 可以看出采用帶約束角的離散滑模制導律和帶約束角的離散比例制導律都能夠很快的保證視線角的變化率接近零，從而實現(xiàn)平行接近，命中目標。采用離散滑模制導在制導末端，視線角速率的發(fā)散程度要比采用離散比例制導的發(fā)散程度小，因此具有更高的制導精度。

改變目標的運動形式，對目標加有界隨機機動，導彈采用相同的制導參數(shù)，采用蒙特卡洛法，進行200 次仿真，進行脫靶量的比較，仿真結果見圖5、圖6。

圖5 比例制導的脫靶量

圖6 滑模制導的脫靶量

由仿真數(shù)據(jù)可得，設計的離散滑模制導律，平均脫靶量為約0.07 m，離散比例制導律約為0.82 m。在目標做有界隨機機動時，設計的制導律能夠命中目標，且比離散比例制導律具有更小的脫靶量。

4 結束語

針對連續(xù)制導系統(tǒng)，推導了離散狀態(tài)方程，提出了一種帶有角度約束的離散滑模制導律。結合離散滑模理論，采用李雅普諾夫理論分析了制導律參數(shù)的穩(wěn)定條件。仿真結果表明，設計的制導律比帶有角度約束的比例制導律具有更小的脫靶量和更理想的命中角度。采用蒙特卡洛仿真驗證了對目標機動的魯棒性，實用于工程應用。

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