李斌，潘秀娟，范昌勝

（1.陜西廣播電視大學(xué)工程管理部，西安 710068；2.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

易變質(zhì)商品的二級(jí)庫存模型的合作策略

李斌1，潘秀娟2，范昌勝1

（1.陜西廣播電視大學(xué)工程管理部，西安 710068；2.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

針對(duì)易變質(zhì)商品的兩級(jí)庫存系統(tǒng)中的庫存控制策略問題，在需求率、變質(zhì)率確定的情況下，建立了供應(yīng)商和銷售商的易變質(zhì)商品的庫存控制數(shù)學(xué)模型.假設(shè)該模型中易變質(zhì)商品的壽命分布函數(shù)服從指數(shù)分布，將供應(yīng)商和銷售商之間的二級(jí)庫存的合作問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)生產(chǎn)商自給自足的生產(chǎn)問題.最后通過算例及函數(shù)圖像，驗(yàn)證了模型的正確性和求解算法的有效性.通過與傳統(tǒng)方法對(duì)比，得出了最優(yōu)的庫存控制參數(shù)，避免了銷售商庫存水平呈指數(shù)增長.

壽命分布函數(shù)；易變質(zhì)；庫存水平；控制參數(shù)

經(jīng)濟(jì)訂貨批量（economic order quantity，EOQ）是固定訂貨批量模型的一種，可以用來確定企業(yè)一次訂貨（外購或自制）的數(shù)量.當(dāng)企業(yè)按照經(jīng)濟(jì)訂貨EOQ來訂貨時(shí)，可實(shí)現(xiàn)訂貨成本和儲(chǔ)存成本之和最小化.易變質(zhì)商品的庫存系統(tǒng)是現(xiàn)實(shí)中最常見的一種供應(yīng)鏈管理系統(tǒng)，例如食品的變質(zhì)、揮發(fā)性物質(zhì)的揮發(fā)等.研究易變質(zhì)商品的兩級(jí)庫存系統(tǒng)，對(duì)提高易變質(zhì)商品服務(wù)水平和降低整個(gè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)總成本，都具有重要的意義.關(guān)于易變質(zhì)物品的庫存問題的研究起源于血庫中血液的庫存管理.對(duì)血液來說，如果庫存血液過多，則必有一部分以前采集的血液由于未得到及時(shí)使用而過期報(bào)廢；如果庫存血液不足，則在出現(xiàn)突發(fā)事故時(shí)可能會(huì)因此而耽誤對(duì)病人的搶救甚至造成病人的死亡.Ghare等[1]首次考慮了單級(jí)庫存中確定需求情況下易變質(zhì)商品的庫存模型；Balkhi[2]在需求率、生產(chǎn)率隨時(shí)間變化的條件下，提出了一對(duì)一的易變質(zhì)商品的生產(chǎn)策略；Covert等[3]深入研究了易變質(zhì)物品的大批量配送問題；Nahmias[4-5]研究了易變質(zhì)物品庫存系統(tǒng)的訂貨策略；Dave等[6]在需求與時(shí)間成比例、瞬時(shí)補(bǔ)貨、不允許缺貨的假設(shè)條件下開發(fā)了易耗品的庫存模型；Lin[7]建立了供應(yīng)商和用戶之間的一對(duì)一合作模型，解決了不可維修的有一定損壞概率情況下的二階段梯形模型的合作問題，但是當(dāng)考慮該模型中的n個(gè)周期中需求速度、儲(chǔ)費(fèi)、缺貨費(fèi)、訂購費(fèi)等是常數(shù)的情況下，則可以按照類似于EOQ模型中平均時(shí)間上庫存費(fèi)用的解決辦法來求解，沒必要考慮n個(gè)周期，并且銷售商庫存水平呈指數(shù)增長.本文通過將供應(yīng)商和銷售商之間的二級(jí)庫存的合作問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)生產(chǎn)商自給自足的生產(chǎn)問題，建立了供應(yīng)商和銷售商的易變質(zhì)商品的庫存控制數(shù)學(xué)模型，解決了文獻(xiàn)[7]中存在的問題.

1 本庫存模型涉及的基本假設(shè)

（1）考慮二級(jí)庫存的模式，即是一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)銷售商.

（2）設(shè)考察n個(gè)周期，總的時(shí)間為t＞0.

（3）在第i個(gè)周期中（0＜i＜n），單位存儲(chǔ)費(fèi)用為ci1，單位缺貨費(fèi)用為ci2，訂購費(fèi)用為ci3，需求速度為Di.

（4）假定商品在運(yùn)貨途中以及在存儲(chǔ)狀態(tài)，它的壽命函數(shù)均服從指數(shù)分布，且分布為F（t）=1-e-λt，t＞0.其中，λ為參數(shù)，表示單位時(shí)間內(nèi)商品變壞的個(gè)數(shù)，即變質(zhì)率.

（5）假設(shè)在運(yùn)輸過程中備運(yùn)期Ti也服從指數(shù)分布，且分布為F（Ti）=1-eLiTi，Ti＞0.其中，Li為參數(shù)，它表示單位時(shí)間到貨的個(gè)數(shù)；

（6）設(shè)Qi（t）表示銷售商的庫存水平；tpi表示第i周期的最大庫存量的時(shí)刻；Q1i表示第i周期的最大庫存量；Qi表示第i周期應(yīng)該訂購的數(shù)量，即第i周期訂購批量；Si（t）表示備運(yùn)期的庫存水平；

（7）設(shè)si表示在第i周期中商品用完的時(shí)刻；ti表示在第i周期中開始訂貨的時(shí)刻.

（8）設(shè)CCi表示在第i周期中的總存儲(chǔ)費(fèi)用；CQi表示在第i周期中的總?cè)必涃M(fèi)用；Ci表示在第i周期中的總費(fèi)用；C表示n個(gè)周期的總費(fèi)用.

2 庫存控制模型

2.1 優(yōu)化模型

正因?yàn)橐鬃冑|(zhì)商品的壽命服從指數(shù)分布，根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性，可以把一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)銷售商的二級(jí)庫存模式看作是一個(gè)生產(chǎn)商自給自足的生產(chǎn)模式，也可以看作是供應(yīng)商和銷售商合作的結(jié)果.

模型的優(yōu)化過程如下：

圖1 二級(jí)庫存控制模型Fig.1 Two levels of inventory control model

（3）第i周期中的總存儲(chǔ)費(fèi)用CCi，即為Δti-1Q1isi的面積乘以ci1，算得：

（2）訂購的數(shù)量與銷售的數(shù)量相等，所以有

（4）第i周期中的總?cè)必涃M(fèi)用CQi，即為[si，ti]區(qū)間上的那個(gè)小三角形的面積乘以ci2，可得：

（5）第i周期中的總費(fèi)用為：

這里需要注意的是在第n個(gè)周期中就沒有了缺貨費(fèi)

用，所以第n周期的總費(fèi)用為：

則[0，t]時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用為：

2.2 模型的求解

2.3 模型的對(duì)比

本文通過將供應(yīng)商和銷售商之間的二級(jí)庫存合作問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)生產(chǎn)商自給自足的生產(chǎn)問題，建立了供應(yīng)商和銷售商的易變質(zhì)商品的庫存控制數(shù)學(xué)模型.本文與文獻(xiàn)[7]的詳細(xì)差別如表1所示.

3 算例仿真

表1 本文與文獻(xiàn)[7]的關(guān)系Tab.1 Relationship between this article and document[7]

圖2 銷售商庫存水平變化Fig.2 Change of sellers inventory levels

由圖2中的曲線可以看出，本文銷售商的庫存水平變化曲線比較平緩，避免了庫存成本的提高.

4 結(jié)束語

本文考慮了在時(shí)間為t的限制下易變質(zhì)商品的一對(duì)一的庫存模型，提出了合作庫存的一種新的轉(zhuǎn)換方法，采用每個(gè)階段上的平均費(fèi)用的方法，解決了銷售商庫存水平呈指數(shù)增長的問題.但是這種模型只是對(duì)于特殊的指數(shù)分布滿足，因此該研究還需要深入到滿足一般分布的模型，得到更實(shí)用的結(jié)論.

[1]GHARE P M，SCHRADER S F.A model for exponentially decaying inventory[J].Journal of Industrial Engineering，1963, 14：238-243.

[2]BALKHI Z T，BENKHEROUF L.A production lot size inventory model for deteriorating items and arbitrary production and demand rates[J].European Journal of Operational Research, 1996，92：302-309.

[3]COVERT R P，PHILIP G C.An EOQ model for items with weibull distribution deterioration[J].IIE Transactions,1973，5：323-326.

[4]NAHMIAS S.Optimal ordering policies for perishable inventory-II[J].Operations Research，1975，23：735-749.

[5]NAHMIAS S.Perishable inventory theory:A review[J].Operations Research,1982，30：680-708.

[6]DAVE U，PATEL L K.（T，Si）policy inventory model for deteriorating items with time proportional demand[J].Jounral of Operational Research Society，1981，32：137-142.

[7]LIN C H，LIN Y S.A cooperative inventory policy with deteriorating items for a two-echelon model[J].European Journal of Operational Research，2007，178：92-111.

[8]司書賓，賈大鵬，兌紅炎，等.帶有橫向調(diào)度的兩級(jí)維修備件庫存系統(tǒng)優(yōu)化方法研究[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，26（6）：765-770.

Cooperative strategies of two levels inventory model with perishable goods

LI Bin1，PAN Xiu-juan2，F(xiàn)AN Chang-sheng1
（1.Project Management Department，Shaanxi Radio and TV University，Xi′an 710068，China；2.School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Considered the inventory control policy issues of two levels inventory system with perishable goods，the inventory control mathematical model for perishable goods is established between suppliers and sellers under the demand rate and the deterioration rate determined.It assumes that the life distribution function for perishable goods is exponentially distributed.Meanwhile，the problem of two levels cooperation between suppliers and vendors is transformed into the issue of a self-sufficient production manufacturer.Finally，the accuracy of the model and solution algorithm is conformed by the simulation of a numerical example.Compared with traditional methods，the optimal inventory control parameters are found.The inventory of vendor stocks will be avoided with increasing exponentially.

life distribution function；perishable；inventory levels；control parameters

O227

A

1671-024X（2013）04-0076-03

2012-12-11

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2011JQ1017）；陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（2012JK0872）

李斌（1978—），男，碩士，講師，E-mail：libinsxdd@126.com