趙艷麗

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，四川 樂(lè)山 614000）

（2+1）維Boiti-Leon-Pempinelli方程的精確解

趙艷麗

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，四川 樂(lè)山 614000）

介紹了求解非線(xiàn)性偏微分方程的方法—(G′/G)-展開(kāi)法。通過(guò)使用該方法，并借助Maple得到了（2+1）維Boiti-Leon-Pempinelli（簡(jiǎn)稱(chēng)BLP）方程的多種新精確解，其中包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解等。

（2+1）維BLP方程；(G′/G)-展開(kāi)法；扭結(jié)孤子解；符號(hào)計(jì)算

尋找非線(xiàn)性偏微分方程的精確解是研究非線(xiàn)性偏微分方程的非常重要的問(wèn)題，因?yàn)槲锢眍I(lǐng)域中的許多現(xiàn)象都可以用非線(xiàn)性偏微分方程來(lái)描述。近年來(lái)，人們一直在想辦法通過(guò)直接探討非線(xiàn)性偏微分方程的準(zhǔn)確解的結(jié)構(gòu)來(lái)得到它的精確解，已獲得了許多求解非線(xiàn)性方程的準(zhǔn)確解的方法，例如：雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法［1-3］、正弦-余弦法［2-3］、指數(shù)函數(shù)法［3-4］、Hirota's雙線(xiàn)性法［5］、Jaco?bi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［6］、修改的tanh展開(kāi)法［7］、輔助微分方程［8-10］等，文獻(xiàn)［11］提出了(G′/G)-展開(kāi)法，本文將利用這一方法構(gòu)造BLP方程的精確解。

1 (G′/G)-展開(kāi)法

首先，利用一個(gè)行波變換 ξ=α(x+y+ct)將非線(xiàn)性偏微分方程

變成常微分方程

下一步，把未知量U展開(kāi)為含有(G′/G)的冪級(jí)數(shù)

其中αi(i=0，1，2，…，l)是待定常數(shù)，正整數(shù)l由平衡方程（2）的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高階非線(xiàn)性項(xiàng)來(lái)決定，G滿(mǎn)足

由方程（4）的解，我們可以得到關(guān)于(G′/G)的下列結(jié)果：

其中 A1，A2為任意實(shí)數(shù)。把方程（3）、（4）代入方程（2），可以得到一組關(guān)于(G′/G)的代數(shù)方程。合并(G′/G)的同冪次項(xiàng)，令同冪次項(xiàng)的系數(shù)為零，可以得到一組關(guān)于αi(i=0，1，2，…，l)，α，c的代數(shù)方程。借助Maple求解這個(gè)代數(shù)方程組，得到方程組（2）的精確解。

2 （2+1）維BLP方程的精確解

近年來(lái)，數(shù)理學(xué)家對(duì)(2+1)維BLP方程

做了很多研究［12-15］。文獻(xiàn)［12-13］采用雙曲正切方法，文獻(xiàn)［14］采用廣義代數(shù)方法，文獻(xiàn)［15］采用改進(jìn)的Riccati方程方法，分別得到了方程組（8）的扭結(jié)孤子解和行波解。

為了尋找方程組（8）的精確解，引入行波變換ξ=α(x+y-ct)，將方程組（8）轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探M

對(duì)方程組（9）的第一個(gè)方程積分兩次，忽略積分常數(shù)，得

把方程（10）代入方程組（9）的第二個(gè)方程中，得到一個(gè)非線(xiàn)性的常微分方程

利用方程（3）和方程（4），在方程（11）中，平衡φ″和φ3，得l=1。因此，

將（12）式代入（11）式，令所有(G′/G)的同冪次的系數(shù)等于零，得到下列關(guān)于a0，a1，α，c的代數(shù)方程

借助Maple，求解方程組（13），得到下列幾種情形：

其中c為任意常數(shù)。

將上述結(jié)果代入方程組（8），利用方程（5）～方程（7），得到方程組（8）的下列精確解。

利用情形1，有

（a1）：當(dāng) λ2-4μ＞0時(shí)，方程組（8）有如下形式的雙曲函數(shù)解

如果 A1=0，A2≠0，λ＞0，μ=0，由（14），（15）式得u1、v1的另一種形式為

特別地，u1.3是（2+1）維BLP方程的扭結(jié)孤子解。

如果 A1≠0，A2=0，λ＞0，μ=0，由（14）、（15）式，u1、v1的另一種形式為

（a2）：當(dāng) λ2-4μ＜0時(shí)，方程組（8）有如下形式的三角函數(shù)解

（a3）：當(dāng) λ2-4μ=0時(shí)，方程組（8）有如下形式的有理函數(shù)行波解

利用情形2～情形6以及方程組（10）和方程組（12）的廣義解，可以得到方程組（8）的更多精確解。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里不再一一論述。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者采用 (G′/G)-展開(kāi)法獲得了（2+1）維BLP方程的精確解，這些解包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解等。其中的一些結(jié)果在不同的系數(shù)條件下可以轉(zhuǎn)換為孤子形式，而且對(duì)比文獻(xiàn)［10-13］，本文的結(jié)果更為豐富。

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Exact Solution of（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli Equation

ZHAO Yan-li
（Foundations Department，Engineering and Technical College，Chengdu University of Technology，Leshan 614000，Sichuan，China）

The(G′/G)-expansion method is brief introduced to solve nonlinear partial differen?tial equations.Many exact solutions of the（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation（BLPE）are obtained with this method and with the aid of Maple，these solutions include hyperbolic function solution，trigonometric function solutions and rational function solutions ect.

（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation；(G′/G)-expansion meth?od；kink soliton solution；symbolic computation

O175.23

：A

：1673-0143（2013）01-0019-04

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012－12－02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271066）

趙艷麗（1980—），女，助教，碩士，研究方向：偏微分方程。