高晟耀，王德石，代仁文

(海軍工程大學(xué) 兵器新技術(shù)應(yīng)用研究所，武漢 430033)

板是廣泛應(yīng)用于艦船、航空、車輛、土木等工程領(lǐng)域的基本結(jié)構(gòu)單元，獲得其聲學(xué)特征量解析解，對掌握結(jié)構(gòu)輻射噪聲控制機理具有普遍的意義。結(jié)構(gòu)聲振耦合問題的模態(tài)分析中，輻射阻抗表示結(jié)構(gòu)振動和輻射聲場之間相互作用，成為評價振動結(jié)構(gòu)聲輻射性能前提和關(guān)鍵，尤其是結(jié)構(gòu)向重流體中輻射時，需要快速、精確地計算模態(tài)輻射阻抗。比較代表性的是將結(jié)構(gòu)表面劃分網(wǎng)格，利用波數(shù)近似以及傅氏變換的方法求得單元輻射阻抗并求和［1］，然而稠密單元網(wǎng)格帶來巨大計算量的同時，嚴重制約了頻率分析范圍。而且，各階振動模態(tài)對結(jié)構(gòu)聲學(xué)量的貢獻并不相互獨立［2-4］。由此需要改進輻射阻抗計算方法，進一步研究考慮振動模態(tài)耦合的結(jié)構(gòu)聲振特性。在文獻［5 -7］的基礎(chǔ)上，本文采用坐標變換和級數(shù)逼近的方法，推導(dǎo)任意頻率下簡支板結(jié)構(gòu)的模態(tài)輻射阻抗，研究其聲輻射特性隨振動模態(tài)耦合的變化規(guī)律，為噪聲控制提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 板結(jié)構(gòu)聲輻射模型

為利用經(jīng)典的板結(jié)構(gòu)振動和聲輻射理論，獲得結(jié)構(gòu)輻射噪聲控制機理，首先建立結(jié)構(gòu)的聲輻射模型，分析板結(jié)構(gòu)輻射噪聲產(chǎn)生原因及其組成?？紤]嵌在無限障板中的矩形平板，以角頻率ω 作簡諧振動，法向振動速度為v (x，y ) 。假設(shè)平板位于z=0 平面，向無窮大空間輻射聲波，選取空間中任意一點A( x，y，z ) ，B( x，y ) 為平板上的點，聲場介質(zhì)密度為ρ，聲速為c，如圖1 所示。

圖1 嵌在無限障板中矩形板

由根據(jù)瑞利積分公式，聲場中任意一點r (x，y，z) 的聲壓

表示成矩陣形式

式(3)中，umn為模態(tài)振速幅值，ψmn振型函數(shù)。利用結(jié)構(gòu)振動表面處的聲強積分，可以得到板結(jié)構(gòu)輻射聲功率:

將式(1)和(2)代入方程(4)，則

式(5)中，R 為聲輻射阻即聲功率傳遞矩陣，其第項元素:

由聲場互易性原理知，輻射阻矩陣是對稱矩陣，其對角線元素對應(yīng)自輻射阻，表示第(m，n)階振動模態(tài)對聲功率貢獻，非對角線項對應(yīng)互輻射阻抗，表示第(m，n)與(m'，n')階模態(tài)之間的耦合對聲功率貢獻。

為研究結(jié)構(gòu)振動模態(tài)耦合對輻射聲功率的影響，將其記:

可知聲功率由兩部分組成，其一是各階振動模態(tài)自身產(chǎn)生的自輻射聲功率，即

借助于計算機信息技術(shù)所構(gòu)成的銀行系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫，其能夠促使銀行的管理效率得到大幅度的提升，從而在一定層面上提高該銀行的競爭能力。就工商銀行為例進行分析，其是我國最早應(yīng)用計算機信息技術(shù)構(gòu)建強大數(shù)據(jù)庫的銀行。在銀行系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫構(gòu)建完成之后，工商銀行能夠在銀行的數(shù)據(jù)管理工作以及業(yè)務(wù)管理過程中進行信息計劃管理技術(shù)的合理應(yīng)用，進而實現(xiàn)銀行整體信息化管理的雛形。借助于銀行系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫的構(gòu)建，還幫助工商銀行實現(xiàn)了集中化的管理模式，促使該銀行的管理水平得到大幅度的提升。

是正定矩陣，其特征值恒為正，則對角線元素Rmn，mn＞0，對于任意的模態(tài)振動速度umn≠0 恒有Wmn，mn＞0，故各階模態(tài)的自輻射聲功率將增強結(jié)構(gòu)的總輻射功率。

其二是，聲場使得振動模態(tài)發(fā)生耦合，模態(tài)耦合產(chǎn)生互輻射聲功率。將第與階模態(tài)振速表示為，則

可以看出，和虛部相抵消，互輻射聲功率:

式(10)中，互輻射阻Rmn，m'n'是結(jié)構(gòu)的固有屬性，它與結(jié)構(gòu)的材料、尺寸、形狀、以及邊界條件與激勵頻率等因素有關(guān)，而uru'r+uiu'還與激勵力位置和相位相關(guān)。因此，結(jié)構(gòu)振動模態(tài)間的耦合對輻射聲功率的影響存在不確定性，需要進一步從模態(tài)分析的角度比較自輻射阻抗與互輻射阻抗下的聲學(xué)特征量。

結(jié)構(gòu)輻射效率是衡量結(jié)構(gòu)聲輻射能力的重要指標，定義

根據(jù)式(8)、(10)和(11)，求得第(m，n)階結(jié)構(gòu)振動模態(tài)的自輻射效率

2 模態(tài)輻射阻推導(dǎo)

研究典型的簡支板模型，對不同邊界和形狀輻射體的聲振特性分析具有參考價值。簡支板的振型函數(shù)ψmn表示:

式(14)中，αm=mπ/a，βm=nπ/b。

由于模態(tài)輻射阻表達式是四重積分，直接計算比較困難，需運用坐標變換化簡為二重積分。即令ε =x -x'，ν =y-y'，η=x+x'，τ=y+y'。根據(jù)模態(tài)數(shù)m 與m'、n 與n'的關(guān)系，得到

式(14)中

1)在中低頻情況下，考慮到解析解式(16)的積分實現(xiàn)，對應(yīng)用麥克勞林級數(shù)，并結(jié)合函數(shù)冪級數(shù)展開式，可以得到輻射阻矩陣簡化后的解析式:

其中

2)在高頻情況下，波數(shù)增大時，式(18)需要足夠多的級數(shù)展開項才能保證其截斷誤差，為此sin(mπε)和cos(mπε)需用其泰勒級數(shù)展開替代，得到一組Bm(2p)和Tm( 2p )的修正式:

3 案例分析

選取四邊簡支的薄板，其幾何尺寸為1 m ×0.75 m ×0.003 m，材料密度ρ =7 800 kg/m3，泊松比υ =0.3，彈性模量E=2.1 ×e11N/m2，模態(tài)阻尼因子η=0.01，空氣密度ρ0=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s。

3.1 模態(tài)輻射阻抗變化規(guī)律

從圖2 中可以看出，變化趨勢上，模態(tài)自輻射阻隨波數(shù)增大而變大，達到峰值后逐漸趨于1，模態(tài)互輻射阻與其相比較小，在本征頻率附近出現(xiàn)較大起伏振蕩后趨于0;取值上，自輻射模態(tài)阻恒為正，而模態(tài)耦合項可能為負，低階模態(tài)間的輻射阻明顯大于高階模態(tài)間輻射阻，并隨著波數(shù)增加，各振動模態(tài)之間的耦合項減弱，即在高頻段，振動結(jié)構(gòu)的輻射聲功率無需考慮模態(tài)之間的耦合作用。

圖3為不同縱橫比下模態(tài)自輻射和互輻射阻隨波數(shù)變化曲線。圖(a)表明，隨著縱橫比的減小，自輻射阻的駝峰增寬并向較高波數(shù)偏移;圖(b)利用第1 階模態(tài)的自輻射阻對互輻射阻作歸一化處理，可看出，兩較寬薄板自輻射阻最大值出現(xiàn)在ka=0 處，矩形板變窄時，互輻射阻抗的峰值向高波數(shù)偏移，印證模態(tài)耦合在低頻段對方板的輻射特性影響顯著。以上兩圖反映了結(jié)構(gòu)振動向聲能的轉(zhuǎn)化能力與振動面的幾何特征相關(guān)。

圖2 模態(tài)自輻射與互輻射阻

圖3 縱橫比對輻射阻影響

3.2 振動模態(tài)耦合對聲輻射特性影響

考慮簡支薄板在位置(x0，y0)處受集中簡諧力Fsin(ωt)的激勵，模態(tài)分析理論知其(m，n)階模態(tài)速度表達式

式(20)中，η 為阻尼損耗因子，模態(tài)質(zhì)量 Mmn=板的固有頻率彎曲剛度B=Eh3/12 ( 1 -υ2)。

結(jié)構(gòu)模態(tài)輻射效率反映了簡支板不同模態(tài)所輻射聲功率能力的大小。對應(yīng)(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，2)模態(tài)自輻射效率為σ11，σ22，σ33，σ44，(1，1)階模態(tài)與(3，1)階模態(tài)的互輻射效率為σ14，(2，1)階模態(tài)與(2，3)階模態(tài)的互輻射效率為σ28，計算結(jié)果如圖所4 所示。

由圖4 看出，低頻時的各階模態(tài)自輻射模態(tài)效率有較大差異，模態(tài)階數(shù)越高，其輻射效率越小。對于同一階振動模態(tài)，頻率越高，波長越短，輻射效率愈大。(奇，奇)模態(tài)的自輻射效率最高，(偶，奇)或(奇，偶)模態(tài)次之，(偶，偶)模態(tài)的自輻射效率最低。隨著波數(shù)的增大，各階振動模態(tài)的自輻射效率逐漸提高，最終趨向于1。對于振動模態(tài)的耦合，低頻時，模態(tài)(1，1)和(1，3)的互輻射效率僅(1，1)低于階模態(tài)的自輻射效率。高頻時，各階模態(tài)的自輻射頻率均大于其互輻射頻率，表明結(jié)構(gòu)(奇，奇)振動模態(tài)低頻時有較強耦合作用，高頻時這種耦合相對振動模態(tài)自身的輻射聲功率能力較弱。

為考慮結(jié)構(gòu)振動模態(tài)耦合對輻射聲功率的影響，分別在矩形板(0.25 m，0.187 5 m)和(0.5 m，0.35 m)處施加單位大小的簡諧激勵力時，結(jié)構(gòu)(偶，奇)振動模態(tài)(2，1)和(2，3)之間耦合項對應(yīng)的取值符號sign(w21，23)，如圖5 所示。從圖中可以看出，振動模態(tài)間的耦合對輻射聲功率的影響與激勵頻率和激勵位置有關(guān)。在某段頻率內(nèi)，耦合項對輻射聲功率的貢獻可能為負，如果適當調(diào)整模態(tài)振速的相位，式(10)第2 項與第1 項抵消，可以降低振動結(jié)構(gòu)的輻射聲功率，正是結(jié)構(gòu)有源噪聲控制的機理，即在不改變系統(tǒng)的能量輸入和耗散的情況下，重置結(jié)構(gòu)表面振速分布，使其成為弱輻射體［8］。

圖5 不同激勵位置的模態(tài)耦合項取值符號

圖6給出了激勵力作用在第一個位置時考慮模態(tài)間耦合和不考慮模態(tài)間的耦合的輻射聲功率曲線。兩條曲線基本吻合，模態(tài)耦合對輻射聲功率的影響較小，僅在局部小幅改變曲線的數(shù)值，此算例中的耦合作用可以忽略不計。所以，抑制表面模態(tài)振速幅值，可減小結(jié)構(gòu)的輻射聲功率，達到控制噪聲的目的。模態(tài)耦合項與結(jié)構(gòu)材料、尺寸、形狀、邊界條件以及激勵頻率、位置和相位等因素都有關(guān)系，雖然難以給出是否考慮模態(tài)耦合項的具體準則，但可看出它對結(jié)構(gòu)聲振特性影響的程度較小。

取前1、2、4、6 階模態(tài)時的輻射聲功率，如圖7 所示，可以看出，在分析頻段內(nèi)選取較少數(shù)目的低階振動模態(tài)可以保證輻射聲功率的計算精度。從側(cè)面反映了，若在該頻段進行結(jié)構(gòu)噪聲的控制，僅對前n 階振動模態(tài)加以控制，便可顯著降低結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時，共振結(jié)構(gòu)模態(tài)對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)貢獻最大，需對此共振模態(tài)予以控制。

圖6 考慮模態(tài)耦合和不考慮模態(tài)耦合的輻射聲功率

圖7 結(jié)構(gòu)各階振動模態(tài)對聲功率貢獻

4 結(jié)束語

上述研究表明，采用坐標變換和級數(shù)逼近的方法計算模態(tài)輻射阻抗計算方法是準確有效的，可用于任意頻率范圍的結(jié)構(gòu)振動和聲輻射研究。振動模態(tài)耦合與結(jié)構(gòu)幾何和物理參數(shù)、邊界條件以及激勵頻率、位置和相位等因素有關(guān)，在不改變系統(tǒng)的能量輸入和耗散的情況下，可通過重置結(jié)構(gòu)表面振速分布的方式使其成為弱輻射體，并給出了改變振動時空分布的基本原則和方法，為噪聲控制提供了技術(shù)基礎(chǔ)。

［1］SHA K，YANG J，GAN W S.A simple calculation methdod for the self-and mutual-radiation impedance of flexible rectangular patches in a rigid infinite baffle［J］. Journal of Sound and Vibration，2005，282:179-195.

［2］沈蘇，劉碧龍，李曉東，等.簡支矩形板模態(tài)輻射抗的一種快速計算方法［J］.聲學(xué)學(xué)報，2010，35(2):126-133.

［3］黎勝，趙德有.結(jié)構(gòu)聲輻射的振動模態(tài)分析和聲輻射模態(tài)分析研究［J］.聲學(xué)學(xué)報，2004，29(3):200-208.

［4］SYDER S，TANAKA N. Calculating total acoustic power output using modal radiation efficiencies［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1995，97:1702-1709.

［5］Li W L，Gibeling H J.Determination of the mutual radiation resistances of a rectangular plate and their impact on the radiated sound power［J］. Journal of Sound and Vibration，2000，229(5):1213-1233.

［6］Li W L.An analytical solution for self- and mutual radiation resistances of a rectangular plate［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，245(1):1-16.

［7］GRAHAM W R.Analytical approximations for the model acoustic impedance of simply supported rectangular plates［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2007，122(2):719-729.

［8］KOOPMANN G H，Belegundu A D.Tuning a wine glass via material tailoring-an application of a method for optimal acoustic design［J］. Journal of Sound and Vibration，2001，239(4):665-678.