劉維維，雷 博，馬偉思，黃澤濱

(1.中交第一公路勘察設(shè)計研究院有限公司;2.長安大學(xué))

高速公路收費站設(shè)計中的排隊論模型分析

劉維維1，雷 博2，馬偉思2，黃澤濱2

(1.中交第一公路勘察設(shè)計研究院有限公司;2.長安大學(xué))

針對高速公路收費站設(shè)計不合理導(dǎo)致交通擁堵、安全問題，通過對M/M/n和M/M/1排隊理論的分析，結(jié)合高速公路收費系統(tǒng)的特點，建立了用于高速公路收費站臺設(shè)計的排隊論模型。該模型給出了高速公路收費亭數(shù)目設(shè)計的理論依據(jù)，從而提供了一種解決收費站設(shè)計的合理方法。同時，運用Visual Basic 6.0程序進行了編程，給出了在一定服務(wù)水平條件下，不同收費亭可以服務(wù)的交通量。

高速公路;收費站設(shè)計;排隊論;模型

1 前言

隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展，人們的生產(chǎn)生活節(jié)奏越來越快，這就要求交通為人們提供一個快捷和安全的出行平臺。雖然高速公路能夠解決這一問題，但其存在的各種問題依然嚴重影響著人們的出行，尤其收費站問題。在高速公路的設(shè)計中，如果收費站的規(guī)模設(shè)置的不合理，會造成嚴重的交通擁堵、安全問題。在交通高峰期，收費站經(jīng)常出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象，甚至車輛在收費廣場內(nèi)多次變換車道、搶占收費車道，大大增加了車輛間發(fā)生交織和沖突的幾率。因此，如何合理的設(shè)置收費站收費亭的個數(shù)，如何根據(jù)車流大小決定收費亭的開啟數(shù)量，是高速公路收費站設(shè)計和管理的重點問題。

排隊論(Queuing Theory)，是研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法。高速公路收費系統(tǒng)，是一個典型的排隊系統(tǒng)。而高速公路收費站存在的問題就是沒有處理好排隊收費問題，造成擁堵。本文從排隊論基本理論出發(fā)，探討高速公路收費站收費系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)化問題。

2 收費站設(shè)計中的排隊論模型建立

圖1為一最簡單的排隊系統(tǒng)模型。排隊系統(tǒng)包括三個組成部分:輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)機構(gòu)。

圖1 排隊論模型示意圖

輸入過程考察的是顧客到達服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時間內(nèi)顧客到達數(shù)或前后兩個顧客相繼到達的間隔時間來描述，一般分為確定型和隨機型兩種。隨機型的輸入是指在時間t內(nèi)顧客到達數(shù) n(t)服從一定的隨機分布。如服從泊松分布，則在時間t內(nèi)到達n個顧客的概率為

排隊論中相繼到達的顧客的間隔時間T服從負指數(shù)分布，即

上面兩式中λ為單位時間顧客期望到達數(shù)，稱為平均到達率;1/λ為平均間隔時間。在排隊論中，討論的輸入過程主要是隨機型的。

排隊規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。這里運用的排隊規(guī)則是屬于等待制，即當(dāng)顧客到達時，所有服務(wù)機構(gòu)都被占用，則顧客排隊等候。

服務(wù)機構(gòu)可以是一個或多個服務(wù)臺。多個服務(wù)臺可以是平行排列的，也可以是串連排列的。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機型兩種。而隨機型服務(wù)時間v則服從一定的隨機分布。一般采用負指數(shù)分布，其分布函數(shù)是

式中:μ為平均服務(wù)率，1/μ為平均服務(wù)時間。

服務(wù)機構(gòu)排隊系統(tǒng)問題的求解。

研究排隊系統(tǒng)問題的主要目的是研究其運行效率，考核服務(wù)質(zhì)量，以便據(jù)此提出改進措施。通常評價排隊系統(tǒng)優(yōu)劣有6項數(shù)量指標。

(1)系統(tǒng)負荷水平ρ:它是衡量服務(wù)臺在承擔(dān)服務(wù)和滿足需要方面能力的尺度;(2)系統(tǒng)空閑概率P0:系統(tǒng)處于沒有顧客來到要求服務(wù)的概率;(3)隊長:系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)和正在服務(wù)的顧客總數(shù)，其平均值記為LS;(4)隊列長:系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)，其平均值記為Lg;(5)逗留時間:一個顧客在系統(tǒng)中停留時間，包括等待時間和服務(wù)時間，其平均值記為WS;(6)等待時間:一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待時間，其平均值記為Wg。

高速公路上的車輛陸續(xù)到達收費站，排隊等候，依次接受收費服務(wù)，然后離開收費站。如果到達的車輛不能及時得到服務(wù)，就產(chǎn)生了排隊現(xiàn)象，高速公路收費系統(tǒng)，是一個典型的排隊系統(tǒng)。該收費站系統(tǒng)采用標準的 M/M/C/∞/∞/FCFS的排隊模型。

上述符號中第一個M為車輛到達時間間隔，高速公路上的交通量較城市道路要小，可以用泊松分布描述車輛的到達，用負指數(shù)分布描述車輛到達的時間間隔;第二個M為收費服務(wù)時間，根據(jù)調(diào)查研究，該服務(wù)時間滿足正太分布，一般的統(tǒng)計結(jié)果為8 s;C為收費站收費亭個數(shù);理想狀態(tài)假設(shè):系統(tǒng)能容納無限多個車輛，道路上的車源也是無限的;FCFS為系統(tǒng)采用先到先服務(wù)的規(guī)則。

在收費站排隊系統(tǒng)中，車輛排隊方式是多路排隊多通道服務(wù):指每個通道各排一個隊，每個通道只為其相對應(yīng)的一隊車輛服務(wù)，車輛不能隨意換隊。當(dāng)C值取1時，即為單路排隊單通道服務(wù)系統(tǒng)，表示只有一個收費窗口的收費系統(tǒng)，所以，多路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)相當(dāng)于多個M/M/1單通道系統(tǒng)組成的排隊系統(tǒng)。

在收費站排隊模型中，相關(guān)符號定義如下:λ為系統(tǒng)中車輛為n時的平均到達強度(到達強度以單位時間內(nèi)到達的車輛數(shù)表示);μ為系統(tǒng)車輛數(shù)為n時收費員平均(期望)服務(wù)強度(服務(wù)強度以單位時間內(nèi)服務(wù)的車輛數(shù)表示);Pn為系統(tǒng)在時刻t有n輛車的概率;C為系統(tǒng)收費亭數(shù)目。

系統(tǒng)中主要研究和計算的數(shù)量指標有:L為系統(tǒng)期望車輛數(shù)，亦稱隊長;Lq為系統(tǒng)期望排隊車輛數(shù)，亦稱排隊長;W為車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望停留時間;Wq為車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望等待時間。

3 單通道服務(wù)模型M/M/1模型建立

(1)單通道服務(wù)時，模型如圖2所示。設(shè)車輛平均到達率為λ(輛/h)，系統(tǒng)平均服務(wù)率為μ(輛/h)，交通強度或服務(wù)程度為ρ。則

由遞推公式，系統(tǒng)中有n輛車的概率為

由概率性質(zhì)知

從而有

圖2 單通道服務(wù)模型

(2)系統(tǒng)中的隊列長度L——期望車輛數(shù)

根據(jù)系統(tǒng)中有n輛車的概率Pn，可知系統(tǒng)中的隊長L為

(3)系統(tǒng)的排隊長Lq——系統(tǒng)中等待的平均車輛數(shù)

(4)車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望停留時間W

車輛在收費站排隊系統(tǒng)中的期望逗留時間W是隨機變量，可以證明，它服從參數(shù)為μ-λ的負指數(shù)分布，分布函數(shù)和密度函數(shù)為

(5)車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望等待時間Wq

車輛在系統(tǒng)內(nèi)的期望等待時間Wq應(yīng)該為期望停留時間W減去平均服務(wù)時間，即

4 多通道服務(wù)模型M/M/n模型建立

由于多通道服務(wù)模型即M/M/n模型相當(dāng)于多個M/M/1模型，因而在計算多通道模型時，只需計算其中一個M/M/1模型，然后乘以收費亭數(shù)即可，在復(fù)雜交通情況下可以適當(dāng)乘以修正系數(shù)。

5 模型應(yīng)用分析

在收費站排隊模型中，如果P＜1，則系統(tǒng)穩(wěn)定;如果P＞1，系統(tǒng)的排隊長度將會無限增大，出現(xiàn)“爆炸”現(xiàn)象，因此要調(diào)整平均服務(wù)強度μ，使?jié)M足條件是λ＜μ，保持穩(wěn)定狀態(tài)即確保排隊能夠消散，在收費系統(tǒng)中就是能夠使排隊車輛在一定時間里面通過收費站，從而保證交通的流暢;如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但排隊和等待時間很長，也要調(diào)整平均服務(wù)強度，使其排隊長和等待時間在預(yù)定的期望值內(nèi)。

高速公路收費站服務(wù)等級可根據(jù)下表服務(wù)區(qū)等級劃分標準確定，一般情況下采用二級服務(wù)標準，即排隊車輛不大于4輛。

表1 服務(wù)區(qū)等級劃分標準

對于人工收費站，服務(wù)時間根據(jù)以往經(jīng)驗，取8 s，每個收費窗口的平均服務(wù)率μ0=3 600/8=450輛/h。根據(jù)3節(jié)中公式，運用Visual Basic 6.0程序編寫程序，計算不同收費亭數(shù)時的服務(wù)水平，即服務(wù)小時交通量，見表2。

表2 不同排隊車輛時不同收費臺的服務(wù)小時交通量

(1)在進行公路收費站設(shè)計時，根據(jù)預(yù)測高峰小時交通量以及所需的服務(wù)水平，根據(jù)當(dāng)?shù)氐膶嶋H情況，通過上表選擇所需的收費亭數(shù)量。

(2)在實際運營階段，根據(jù)當(dāng)?shù)啬彻潭〞r段的車流量的大小，通過上表選擇需要開放的收費亭數(shù)，從而降低資源的消耗，達到節(jié)約能源的目的。

6 總結(jié)

此模型建立的目的之一是確定高速路上同一地點的最優(yōu)收費亭數(shù)C和單位時間服務(wù)車輛數(shù)的能力。可以根據(jù)道路預(yù)測交通量推測平均車輛到達率λ，根據(jù)每個收費窗口服務(wù)一輛汽車的平均時間t計算系統(tǒng)平均服務(wù)率μ(人工停車收費系統(tǒng)取t=8 s，智能收費系統(tǒng)根據(jù)實際服務(wù)時間取值)，利用2節(jié)中公式計算隊長、排隊長、等待時間等，進而求得所需的收費亭數(shù)，也可根據(jù)不同時段公路上的交通狀態(tài)確定不同時段收費站服務(wù)臺窗口的數(shù)目，從而降低收費站服務(wù)臺的運營成本。

本文利用系統(tǒng)工程理論中的排隊論的基本原理，結(jié)合高速公路收費站系統(tǒng)的特殊性要求，建立收費站收費亭數(shù)目設(shè)計的排隊論模型，給收費站收費亭數(shù)量的確定提供了一個解決方案。同時可以利用本模型，進行收費站通行能力分析。

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