楊傳森，徐肖豪

（1．金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，南京211169；2.中國(guó)民航大學(xué)空中交通管理研究基地，天津300300）

基于概率極限狀態(tài)的RAIM風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

楊傳森1，徐肖豪2

（1．金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，南京211169；2.中國(guó)民航大學(xué)空中交通管理研究基地，天津300300）

為了提供準(zhǔn)確可靠的完好性服務(wù)，提出了基于概率極限狀態(tài)的RAIM完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估?？紤]所需導(dǎo)航性能參數(shù)和噪聲的因素，建立了安全系數(shù)與可靠系數(shù)相結(jié)合的完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系，確立風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。非精密進(jìn)近的算例分析表明，系統(tǒng)評(píng)估方法是可行的且有效的。

接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)；概率極限狀態(tài)；所需導(dǎo)航性能；非精密進(jìn)近；漏檢率

為了提供更精確可靠的完好性服務(wù)[1]，保障飛行安全，需要研究用戶(hù)端接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)（receiver autonomous integrity monitoring，RAIM）算法。RAIM利用用戶(hù)接收機(jī)的冗余觀(guān)測(cè)值監(jiān)測(cè)用戶(hù)定位結(jié)果的可靠性，保障定位的精度[2]。文獻(xiàn)[3]利用機(jī)載氣壓高度表來(lái)增強(qiáng)RAIM，提高了故障檢測(cè)靈敏性，但只適合于單故障目標(biāo)。文獻(xiàn)[4]提出了基于最小二乘殘差RAIM改進(jìn)算法，考慮了衛(wèi)星幾何分布和漏檢率因素，但沒(méi)有考慮噪聲較大的情況。針對(duì)Snapshot RAIM對(duì)多故障不敏感的缺陷，文獻(xiàn)[5]提出了將時(shí)域處理和集合統(tǒng)計(jì)綜合實(shí)現(xiàn)RAIM算法，但是，有偏估計(jì)會(huì)造成斜坡故障變大，導(dǎo)致檢測(cè)失效或錯(cuò)誤，甚至導(dǎo)致卡爾曼濾波器發(fā)散。文獻(xiàn)[6]提出了假設(shè)驗(yàn)證法RAIM算法用于衛(wèi)星導(dǎo)航多星故障識(shí)別，但是，對(duì)于多系統(tǒng)兼容接收機(jī)，由于可視衛(wèi)星數(shù)量多，導(dǎo)致假設(shè)驗(yàn)證的情況增多，計(jì)算量大幅增加，會(huì)破壞接收機(jī)的自主完好性。

實(shí)際上，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）定位精度容易受到時(shí)間同步、軌道確定、傳播時(shí)延和幾何精度因子影響；傳播時(shí)延有不確定性，各航段的完好性要求存在差異，且完好性與其他參數(shù)之間具有相關(guān)性。而現(xiàn)有RAIM研究算法一般是通過(guò)預(yù)設(shè)閾值并進(jìn)行一致性檢測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)完好性監(jiān)測(cè)[7-8]，提供快速報(bào)警，即為RAIM定值分析法[9]?；诙ㄖ捣治龇ǖ腞AIM算法是建立在確定性基礎(chǔ)上，用此方法來(lái)描述具有復(fù)雜性、不確定性和自有相關(guān)性的系統(tǒng)是不適宜的。

隨著GNSS發(fā)展，基于多衛(wèi)星系統(tǒng)組合導(dǎo)航的傳統(tǒng)RAIM改進(jìn)與優(yōu)化算法，應(yīng)用于含有垂直引導(dǎo)的LPV200航段[10-12]并取得一定效果。從本質(zhì)上說(shuō)，組合導(dǎo)航是一種多傳感器的數(shù)據(jù)融合而獲得的對(duì)環(huán)境或目標(biāo)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)的導(dǎo)航方法[13]，進(jìn)一步提高了整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜性。不同于傳統(tǒng)的“非有即無(wú)”式的確定性的定值分析法，概率極限狀態(tài)分析法是以概率理論為基礎(chǔ)，計(jì)算系統(tǒng)的故障概率來(lái)確定系統(tǒng)安全與可靠的方法[14]，也是對(duì)系統(tǒng)同時(shí)具有確定性和隨機(jī)性的兩重性的認(rèn)識(shí)結(jié)果。因而，它能有效地解決系統(tǒng)內(nèi)實(shí)際存在的復(fù)雜性和不確定性。

針對(duì)不同航段上完好性差異、噪聲不確定性，文獻(xiàn)[14]提出了概率極限狀態(tài)，由于存在邊界狀態(tài)，發(fā)生概率雖小，但發(fā)生后易造成災(zāi)難性后果的風(fēng)險(xiǎn)，缺乏對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)性評(píng)估進(jìn)行探討。本文針對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的復(fù)雜性（例如，不同航段上存在完好性差異、噪聲不確定性）等特點(diǎn)，將定值分析和概率分析相結(jié)合，進(jìn)一步探討并建立有效實(shí)用的安全系數(shù)與可靠系數(shù)相結(jié)合的RAIM完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)體系，并提出評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。最后的算例分析將驗(yàn)證該評(píng)價(jià)體系的可行性和有效性。

1 基于概率極限狀態(tài)RAIM算法

文獻(xiàn)[14]首先采用概率極限狀態(tài)模型對(duì)RAIM算法進(jìn)行分析，并設(shè)計(jì)與漏檢率Pf有著一一映射關(guān)系的可靠指標(biāo)β進(jìn)行概率度量，給出可靠指標(biāo)β求解方法以及故障檢測(cè)和故障識(shí)別方法。

1.1 概率極限狀態(tài)函數(shù)

考慮到噪聲對(duì)定位誤差的影響，定義概率極限狀態(tài)函數(shù)

其中：RNPΔX是所需導(dǎo)航性能規(guī)定所允許的限定值；ΔX和V分別是由偽距偏差和噪聲產(chǎn)生的定位誤差，兩者之差表示真實(shí)定位誤差，且兩者相互獨(dú)立，各自服從正態(tài)分布N（μΔx^，σΔx^），N（μv^，σv^），因此R也服從正態(tài)分布N（μR，σR）。

若定義fV（v）·dv為觀(guān)測(cè)噪聲在區(qū)間（v，v+dv）上的概率，F(xiàn)ΔX（v）為P（R≤0），且在V的全域內(nèi)積分，有Pf為漏檢率

1.2 可靠指標(biāo)β求解

用指標(biāo)β來(lái)代替Pf概率度量，使得β和Pf有著一一映射關(guān)系，如表1所示。在各個(gè)航段上，漏檢率均取0.001，即對(duì)應(yīng)的β取值3.1。

表1 指標(biāo)β與Pf漏檢率的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系表Tab.1 Single-valued mapping between index β and probability Pf

在式（1）中，將變量ΔX和V作正則化處理，有

方程f（ω1+ω2）=0是以β為半徑的球面方程的公切面。有約束條件

拉格朗日乘數(shù)因子法是解極值問(wèn)題的有效方法，其中

將式（5）代入式（3）中，通過(guò)迭代計(jì)算，可獲得可靠指標(biāo)β數(shù)值解[14]。

1.3 故障檢測(cè)

故障檢測(cè)是RAIM算法的首要任務(wù)。它主要判斷是否存在故障衛(wèi)星，及時(shí)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)航中的異常情況，避免飛行危險(xiǎn)。根據(jù)在各個(gè)航段上，漏檢率均取0.001，即對(duì)應(yīng)的β取值3.1。選定預(yù)定漏檢率對(duì)應(yīng)的β值作閾值βT，如果實(shí)際β估算值大于閾值βT，則認(rèn)定系統(tǒng)無(wú)故障，否則，認(rèn)定系統(tǒng)有故障。即有

1.4 故障識(shí)別

在故障識(shí)別過(guò)程中，需將衛(wèi)星定位誤差真值與航段定位誤差保護(hù)限值相比較。如果大于航段定位誤差保護(hù)限值就認(rèn)定為故障星

其中敏感誤差矩陣D為

測(cè)量值z(mì)是一個(gè)列向量，包括兩個(gè)部分：有偏值和無(wú)偏值，設(shè)z1為無(wú)偏值，z2為有偏值，并假設(shè)第j個(gè)參數(shù)含有錯(cuò)誤，其值記為bj，有

其中：Dj為D矩陣第j行對(duì)角元素。如果相關(guān)系數(shù)ρj的絕對(duì)值等于1，在理論上可以說(shuō)明第j顆衛(wèi)星有錯(cuò)誤。用ej表示第j顆星的誤差真值，有

2 完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估體系

概率極限狀態(tài)存在邊界狀態(tài)，極值風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率雖小，一但發(fā)生超出邊界狀態(tài)的事件，容易造成災(zāi)難性后果。針對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的復(fù)雜性等特點(diǎn)，建立有效實(shí)用的安全系數(shù)與可靠系數(shù)相結(jié)合的完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估體系并提出評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)性評(píng)估。研究?jī)?nèi)容包括：安全系數(shù)、變異系數(shù)與可靠系數(shù)以及完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估體系的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。

2.1 安全系數(shù)

安全系數(shù)定義為

其中：U表示導(dǎo)航性能規(guī)定所允許的定位誤差；V表示定位誤差的綜合效應(yīng)。變量（x1x2…xn）是定位誤差的影響因素。實(shí)際取值中均有一定的變異性，可視為隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布。變量（x1x2…xn）的平均值為，即F的數(shù)學(xué)期望E（F），也是通常意義下的安全系數(shù)。

由于存在邊界狀態(tài)，安全系數(shù)法是建立在確定性之上的定值分析法。傳播時(shí)延存在不確定性，航段的完好性存在差異，完好性參數(shù)之間具有相關(guān)性。為克服上述因素及噪聲帶來(lái)的缺點(diǎn)，建立在不確定概念之上的概率分析方法被引入性能評(píng)價(jià)之中，基本思想是以安全系數(shù)為基礎(chǔ)，利用可靠指標(biāo)計(jì)算模型求出可靠系數(shù)。

2.2 變異系數(shù)

假設(shè)安全系數(shù)F的方差D（F）可知，則安全系數(shù)的變異系數(shù)定義為

同樣的安全系數(shù)，可靠性卻不一樣。由于計(jì)算參數(shù)是離散的，具有變異性、相關(guān)性，導(dǎo)致“反常”現(xiàn)象：有時(shí)會(huì)出現(xiàn)安全系數(shù)大于l卻發(fā)生破壞，造成重大損失；安全系數(shù)小于1，卻是安全的。實(shí)際的安全系數(shù)不一定恰恰好是分子和分母的均值之比，因此產(chǎn)生這種反?，F(xiàn)象是很正常的。

在非精密進(jìn)近階段參數(shù)U是定值556 m，假設(shè)故障漏檢概率為0.001，用戶(hù)定位誤差均方差σ=30 m，表2是F函數(shù)的參數(shù)V的變異性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，其安全系數(shù)均相同，均為1.85大于1，但仍存在不穩(wěn)定的可能，其故障概率也是不一樣的，變異系數(shù)越大，破壞概率越大。因此，系統(tǒng)可靠性隨參數(shù)V的變異性增加而減少，其不確定性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響是非常靈敏的。

表2 參數(shù)V變異性對(duì)系統(tǒng)可靠性的影晌Tab.2 Influence of parameter V variability on system reliability

2.3 可靠系數(shù)

可靠系數(shù)定義為可靠指標(biāo)比率βr與系統(tǒng)無(wú)故障概率（1-PF）乘積，共同度量系統(tǒng)的穩(wěn)定性，記為Re

2.4 完好性指標(biāo)體系的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

依據(jù)安全系數(shù)F0和變異系數(shù)δF，計(jì)算故障概率PF（以此故障概率為漏檢率限值），且以變異系數(shù)為變量，得到安全系數(shù)在不同變異系數(shù)下的故障概率。根據(jù)式（17）將可靠指標(biāo)比率與系統(tǒng)可靠概率相乘，對(duì)可靠指標(biāo)與其閾值之比進(jìn)行折減，得到系統(tǒng)安全的可靠系數(shù)。最大可能可靠系數(shù)R0與臨界故障概率P0計(jì)算值列于表3。圖1反映了可靠指標(biāo)與臨界故障概率的響應(yīng)曲線(xiàn)。

表3 最大可能可靠系數(shù)與臨界故障概率Tab.3 Maximum possible reliability coefficient and critical failure probability

完好性指標(biāo)體系的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：

1）可靠系數(shù)大于1，系統(tǒng)穩(wěn)定可靠；

2）可靠系數(shù)小于1，系統(tǒng)失穩(wěn)且不可靠；

圖1 可靠指標(biāo)與臨界故障概率響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.1 Curves of reliability index and critical failure probability

3）可靠系數(shù)等于1，系統(tǒng)處于極限狀態(tài)，不可靠。

根據(jù)可靠系數(shù)的狀態(tài)，可計(jì)算出不同最大可能可靠系數(shù)和臨界故障概率。由此獲得可靠指標(biāo)和故障概率聯(lián)合判別系統(tǒng)穩(wěn)定性與可靠性。

3 算例與分析

以GNSS導(dǎo)航系統(tǒng)為例，通過(guò)非精密進(jìn)近算例進(jìn)行完好性指標(biāo)分析，驗(yàn)證可靠指標(biāo)和失效概率聯(lián)合判別系統(tǒng)穩(wěn)定性與可靠性。

3.1 參數(shù)設(shè)置

在算例中，完好性指標(biāo)體系依然采用式（17）所建立的可靠系數(shù)來(lái)體現(xiàn)。各項(xiàng)參數(shù)設(shè)置列于表4，其中RNPΔX取為非精密進(jìn)近的所需導(dǎo)航性能規(guī)定的參數(shù)，定位偏移參數(shù)ΔX和噪聲V為隨機(jī)變量，且ΔX和V相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布。

表4 參數(shù)ΔX與VTab.4 Parameter ΔX and parameter V

3.2 實(shí)驗(yàn)方法與模擬成果

采用蒙特卡羅方法，得到故障概率與安全系數(shù)構(gòu)成的模擬計(jì)算如表5所示。

由表5知模擬次數(shù)為20萬(wàn)次時(shí)，誤差為2.7×10-5。事實(shí)上，從N=10萬(wàn)次起，相鄰兩次的破壞概率差值小于0.000 04，說(shuō)明故障概率趨于穩(wěn)定，已經(jīng)收斂。因此，可將N=20萬(wàn)次對(duì)應(yīng)的故障概率作為系統(tǒng)的漏檢率，即Pf=2.8×10-4，可靠指標(biāo)β=3.450 3。安全系數(shù)的平均值為1.317 8，與F0安全系數(shù)相近（首先取ΔX、V均值，將參數(shù)代入式（13），計(jì)算系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的安全系數(shù)F0=1.308 2）。計(jì)算得到的系統(tǒng)可靠系數(shù)大于1，并趨近于1.115，如圖2所示。

表5 蒙特卡羅模擬結(jié)果Tab.5 Result of Monte-Carlo simulation

圖2 可靠系數(shù)響應(yīng)圖Fig.2 Response of reliability coefficient

可靠指標(biāo)β=3.450 3，系統(tǒng)處于無(wú)告警狀態(tài)，但仍需要對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性與可靠程度進(jìn)行評(píng)估。

3.3 系統(tǒng)可靠性驗(yàn)證

圖3為采用蒙特卡羅法模擬非精密進(jìn)近過(guò)程的系統(tǒng)穩(wěn)定性與可靠性的結(jié)果。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)分布Fig.3 System state distributions

在系統(tǒng)穩(wěn)定性與可靠性驗(yàn)證中，采用矩估計(jì)法來(lái)計(jì)算安全系數(shù)的均值與方差。安全系數(shù)的均值和方差分別為

所得安全系數(shù)略高于1.317 8與1.308 2。由式（14）計(jì)算變異系數(shù)，由式（15）計(jì)算的故障概率Pf=0.003 7（μF=1.318 85，σ2F=0.014 147）。閾值 βthreshold取為3.1，根據(jù)式（17）計(jì)算的可靠系數(shù)為3.564，以上結(jié)果并分析，對(duì)照?qǐng)D3，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以GNSS導(dǎo)航系統(tǒng)為例，綜合考慮航段上RNP定位誤差保護(hù)限值和噪聲的影響，建立了定值分析和概率分析相結(jié)合的完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系，并詳細(xì)闡述了形成過(guò)程，提出了風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則；給出了非精密進(jìn)近算例，模擬了完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估過(guò)程，驗(yàn)證了風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)的安全與可靠性。在拓展了現(xiàn)有的極限概率算法的基礎(chǔ)上，為解決完好性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供了一種新方法。

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（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Risk assessment for receiver autonomous integrity monitoring based on probability limit state

YANG Chuan-sen1，XU Xiao-hao2
（1．College of Mechanical and Electrical Engineering，Jinling Institute of Technology，Nanjing 211169，China；2．Research Base of Air Traffic Management，CAUC，Tianjin 300300，China）

In order to provide accurate and reliable integrity service，the integrity risk assessment for receiver autonomous integrity monitoring based on probability limit state is proposed.Taking into account the required navigation performance parameters and noise factors，the system indices of the integrity risk assessment are established combining with the safety factor and reliability coefficient.And then，the evaluation criterion is established for the integrity risk assessment of receiver autonomous integrity monitoring reliability.Simulation for non-precision approach validates both feasibility and effectiveness of the proposed algorithm.

receiver autonomous integrity monitoring；probability limit state;required navigation performance；nonprecision approach；missed detection probability

V249；P228.4

A

1674－5590（2013）06－0016－05

2013-05-13；

2013-08-26

金陵科技學(xué)院博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目（JIT-b-201226）

楊傳森（1968－）,男,安徽合肥人,講師，博士，研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航自主完好性監(jiān)測(cè).