朱宜新

同學(xué)們自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心，歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法. 那么如何培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力呢？一題多解是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑.下面對(duì)一道與正方形有關(guān)的題目作一題多解，希望對(duì)提高同學(xué)們的創(chuàng)新能力有所幫助.

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的任一點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點(diǎn)F. 求證：AE=EF.

圖1

方法一：構(gòu)造全等三角形

證明：如圖2，在AB上取一點(diǎn)H，使BH=BE，連接EH.

圖2

因?yàn)椤螧=90° ， 所以∠BHE=∠BEH=45° .

所以∠AHE=135°.

因?yàn)镃F平分∠DCG，

所以∠DCF=45°，所以∠ECF=90°+45°=135°.

即∠AHE=∠ECF.

因?yàn)锳B=BC ，所以AB-BH=BC-BE.

即AH=EC .

因?yàn)锳E⊥EF，

所以∠AEB+∠FEC=90°.

又因?yàn)椤螧AE+∠BEA=90°，所以∠BAE=∠CEF.

所以△AHE≌△FCE，所以AE=EF.

方法二：利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)

證明：如圖3，延長FC交AB的延長線于點(diǎn)H，連接EH.

圖3

因?yàn)镕C平分∠DCG ，所以∠BCH=∠FCG=45°.

又因?yàn)椤螩BH=∠ABC=90° ，所以∠BHC=45°.

所以BH=BC=AB，所以BE是AH的垂直平分線.

即AE=EH，所以∠1=∠2.

又因?yàn)锳E⊥EF，所以∠3+∠4=90°.

因?yàn)椤?+∠3=90°，所以∠1=∠4，所以∠2=∠4.

又因?yàn)椤?+∠F=45° ，∠2+∠EHC=45°，

所以∠F=∠EHC ，所以EF=EH，

即AE=EF.

方法三：構(gòu)造輔助圓

證明：如圖4，連接AC、AF.

圖4

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠ACD=45°.

又因?yàn)镃F平分∠DCG，所以∠DCF=45°.

即∠ACF=90° .

又因?yàn)椤螦EF=90°，

易知點(diǎn)A、E、C、F在以AF為直徑的圓上.

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠AFE=∠ACE=45°.

所以∠EAF=45°，所以AE=EF.

方法四：利用對(duì)稱性

證明：如圖5，作△ECF關(guān)于BG的對(duì)稱圖形△ECH.

連接AC，易知A、C、H三點(diǎn)共線.

圖5

因?yàn)锳E⊥EF ，所以∠3+∠5=90°.

又因?yàn)椤?+∠5=90°，所以∠2=∠3=∠4.

因?yàn)椤?+∠2=45°，∠4+∠H=45°，

所以∠1=∠H，所以AE=EH.

又因?yàn)镋F=HE，所以AE=EF.

方法五：利用勾股定理

證明：如圖6，過F作FH⊥BG，垂足為H.

圖6

設(shè)AB=BC=a，EC=b，則BE=a-b，

設(shè)FH=CH=c，則EH=b+c.

在Rt△ABE中，AE 2=AB 2+BE2=a2+（a-b）2.

在Rt△EFH中，EF 2=FH2+EH 2=c 2+（b+c）2.

因?yàn)椤鰽BE∽△EFH，所以■=■，

即■=■，

整理得a-b=c，a=b+c.

即a2+（a-b）2=a2+c2 ，

c2+（b+c）2=c2+a2，

所以AE2=EF 2 ，即AE=EF.

創(chuàng)新不是簡單的重復(fù)、模仿.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要充分思考，從不同的角度、不同的途徑、使用不同的方法得到答案，然后分析每一種證法，從中進(jìn)行解法優(yōu)劣的比較與取舍，從而培養(yǎng)同學(xué)們的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)新能力.