☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 劉東升

☉江蘇省南通市教育科學(xué)研究中心 符永平（特級(jí)教師）

一、緣起

張奠宙、趙小平先生在文［1］中指出：“最近看到的課堂，多半注重認(rèn)識(shí)過程的前半段：創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、分組探究、匯報(bào)歸納，以至有所發(fā)現(xiàn)，這是從感性到理性的認(rèn)識(shí)過程.但是，眾所周知，認(rèn)識(shí)過程還有理性認(rèn)識(shí)的加深，并反作用于實(shí)踐的后半段過程.”文中還進(jìn)一步發(fā)問：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要鞏固，需要做題，但是光做題也不夠，必須進(jìn)行反思，才能進(jìn)一步達(dá)到更深的理解.公開課中很少見到復(fù)習(xí)課，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課該如何上？”

一段時(shí)間以來，“公開課中很少見到復(fù)習(xí)課，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課該如何上？”這個(gè)問題一直縈繞于心.讓筆者幸喜的是，2012年1-2期、3期的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》中以較大篇幅刊載中考復(fù)習(xí)課型，2013年起《中學(xué)數(shù)學(xué)》在“案例點(diǎn)評(píng)”特色欄目中有不少對(duì)復(fù)習(xí)課型的研究文章，在我們看來，這些舉動(dòng)，無(wú)疑對(duì)“復(fù)習(xí)課該怎樣設(shè)計(jì)、怎樣上”是一種強(qiáng)勢(shì)而必要的引領(lǐng).特別是不少一線教師用刊載的復(fù)習(xí)課例在班級(jí)上進(jìn)行認(rèn)真的“試教”，把復(fù)習(xí)課從僅僅滿足“重復(fù)做題、變式再訓(xùn)練”的層面，深入到真正體現(xiàn)反思、辨析、欣賞、提煉數(shù)學(xué)思想方法的高度.考慮到上述案例多為中考復(fù)習(xí)課型（文［2］關(guān)注了一個(gè)知識(shí)塊的“后半段”），作為受這項(xiàng)活動(dòng)的引領(lǐng)和鼓舞，最近有機(jī)會(huì)赴貴陽(yáng)上了一堂“有理數(shù)復(fù)習(xí)（1）”研討課并講評(píng)交流，我們大膽嘗試了七年級(jí)的復(fù)習(xí)課型，本文即是這次復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)、設(shè)計(jì)意圖、課堂生成以及課后反思，歡迎專家、同行交流與指正.

二、復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)與設(shè)計(jì)意圖

1.復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）從數(shù)軸的角度復(fù)習(xí)有理數(shù)及相關(guān)概念，感受數(shù)形結(jié)合思想；

（2）在“對(duì)抗錯(cuò)誤”中復(fù)習(xí)有理數(shù)加減、乘除運(yùn)算，養(yǎng)成遵守法則的意識(shí)；

（3）辨析乘法對(duì)加法分配律在有理數(shù)系下的適用性，積累一些有理數(shù)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn).

2.教學(xué)重難點(diǎn)

通過有理數(shù)及其運(yùn)算的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思自己在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)的體會(huì)與感悟.

3.課型構(gòu)建

以學(xué)生反思小文章的片斷為載體，嘗試構(gòu)建“學(xué)生反思小文章”為素材的復(fù)習(xí)課型.

4.復(fù)習(xí)過程

活動(dòng)一：概念理解

學(xué)生反思小文章片段（一）

“一線串通”話數(shù)軸——初學(xué)有理數(shù)概念的體會(huì)

七年級(jí) 小樊

進(jìn)入中學(xué)，學(xué)習(xí)有理數(shù)及概念時(shí)我最大的體會(huì)就是“數(shù)軸”的神奇，別小看這條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線，她把與有理數(shù)相關(guān)的概念全都“一網(wǎng)打盡”了，從數(shù)軸出發(fā)，我理解了相反數(shù)、絕對(duì)值，并利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小……

想一想：你能猜到她是怎樣“一網(wǎng)打盡”的？利用圖1，試舉例說明.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：人教社中數(shù)室章建躍教授在文［3］中指出：“數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物.用數(shù)軸上的點(diǎn)可以直觀地表示有理數(shù)，為學(xué)生提供了理解相反數(shù)、絕對(duì)值的直觀工具，同時(shí)為學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算法則作了準(zhǔn)備.絕對(duì)值概念借助距離概念加以定義.絕對(duì)值概念可以促進(jìn)數(shù)軸概念的理解，同時(shí)也是數(shù)的大小比較、數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ).”基于上述理解，我們挑選了一篇以數(shù)軸為工具的學(xué)生小文章來復(fù)習(xí)有理數(shù)的概念.順便指出，小樊同學(xué)在該文中給出感悟?yàn)椤巴ㄟ^對(duì)‘?dāng)?shù)軸’的反思，我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)都是‘關(guān)聯(lián)的’，老師告訴我們的那句‘基礎(chǔ)知識(shí)不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)’確實(shí)有道理呀！”

活動(dòng)二：技能訓(xùn)練

學(xué)生反思小文章片段（二）

都是符號(hào)搞的“鬼”——初學(xué)“有理數(shù)運(yùn)算”的苦惱

七年級(jí) 小王

自從學(xué)了有理數(shù)的運(yùn)算，我最大的一個(gè)困惑就是符號(hào)的問題，不是正號(hào)給寫成負(fù)號(hào)，就是負(fù)號(hào)給寫成正號(hào)，有時(shí)又沒有寫符號(hào)，所以我需要把這些不足整理出來，以便以后少犯這些錯(cuò)誤.

做一做：

請(qǐng)對(duì)“題1”、“題2”進(jìn)行糾錯(cuò)，并給出訂正.

設(shè)計(jì)意圖：我們知道，“加法與乘法都是在運(yùn)算法則特別是符號(hào)法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行基本運(yùn)算的，然后結(jié)合具體例子引入運(yùn)算律，并運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算”.而學(xué)生在七年級(jí)初學(xué)有理數(shù)運(yùn)算時(shí)最大的問題就是“符號(hào)”容易出錯(cuò)，我們挑選王雪竹這篇糾錯(cuò)的反思小文章，其意圖即是幫助學(xué)生辨析符號(hào)，強(qiáng)化符號(hào)法則，加強(qiáng)技能訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)雙基目標(biāo)的達(dá)成.

活動(dòng)三：經(jīng)驗(yàn)積累

學(xué)生反思小文章片段（三）

“一如既往”守“原則”——有理數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)

七年級(jí) 小孫

學(xué)習(xí)了有理數(shù)的混合運(yùn)算之后，我不但知道了小學(xué)階段積累的運(yùn)算律仍然有效，而且對(duì)運(yùn)算律還多了新的認(rèn)識(shí)，下面結(jié)合例子說說我的一些體會(huì).

當(dāng)我費(fèi)盡心思做出答案時(shí)，發(fā)現(xiàn)同桌早已得到答案，一交流才發(fā)現(xiàn)她先將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，不就可以運(yùn)用乘法分配律了嗎？

于是本題有下面的簡(jiǎn)便運(yùn)算：

……

……

做一做：

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)算律的研究根本上是學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，符合數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)潔、優(yōu)化的追求.在這個(gè)活動(dòng)中安排學(xué)生先嘗試不同方法計(jì)算，在比較中發(fā)現(xiàn)使用運(yùn)算律的優(yōu)勢(shì)，小杜同學(xué)小文章中“負(fù)遷移”出除法分配律又是一次典型的錯(cuò)誤.這些設(shè)計(jì)都“指向”為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

活動(dòng)四：學(xué)情反饋（限時(shí)5分鐘）

1.試寫一個(gè)大于－3的負(fù)整數(shù)a.如a=_______.

（1）這個(gè)數(shù)a的相反數(shù)是_______，絕對(duì)值是______.

3.10名學(xué)生參加體檢，體重的測(cè)量結(jié)果（單位：kg）如下：

47，48，37.5，42，45，40，38.5，34.5，38，42.5.

這10名學(xué)生的平均體重是多少？

設(shè)計(jì)意圖：考慮基本運(yùn)算能力是雙基的重要組成，運(yùn)算準(zhǔn)確率及速度也是當(dāng)下追求的目標(biāo)之一（盡管有學(xué)者對(duì)解題速度有爭(zhēng)議，但在限時(shí)獨(dú)立考試的大背景下速度是十分重要的）.本活動(dòng)設(shè)計(jì)幾個(gè)“過關(guān)題”限時(shí)獨(dú)立完成是十分必要的.進(jìn)一步，第3題又是為最后一個(gè)活動(dòng)“解法辨析”作鋪墊.

活動(dòng)五：解法辨析

素材閱讀：學(xué)生解法表示

“學(xué)生反饋”中的第3題

10名學(xué)生參加體檢，體重的測(cè)量結(jié)果（單位：kg)如下：

47，48，37.5，42，45，40，38.5，34.5，38，42.5.

這10名學(xué)生的平均體重是多少？你是怎么算的？

小杜同學(xué)的解法：（47+4 8+37.5+42+45+40+38.5+34.5+38+42.5）÷10=413÷10=41.3

答：這10名學(xué)生的平均體重是41.3 kg.

小劉同學(xué)的解法：每名學(xué)生體重超過40 kg的記作正數(shù)，不足40 kg的記作負(fù)數(shù).1 0名學(xué)生對(duì)應(yīng)的數(shù)為 7，8，-2.5，2，5，0，-1.5，-5.5，-2，2.5

7+8+（-2.5）+2+5+0+（-1.5）+（-5.5）+（-2）+2.5=［（-2.5）+2.5］+［（-1.5）+（-5.5）+（-2）+7+2］+（8+5）=13

40+1 3÷10=41.3

答：這10名學(xué)生的平均體重是41.3 kg.

辨一辨：小杜、小劉兩位同學(xué)的解法，你能看懂嗎？如果是你，會(huì)選擇哪一種方法？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：在辨析應(yīng)用問題的不同解法中感受不同的建模策略.史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的抽象思想、歸納思想與建模思想是上位的”，本活動(dòng)定位于建模，即通過不同的模型構(gòu)建（不同的列式）體現(xiàn)問題處理的智慧層次，一定意義上有“簡(jiǎn)潔出自智慧”.

課后作業(yè)：

（1）教材“復(fù)習(xí)與鞏固”習(xí)題（略）；

（2）嘗試寫一篇數(shù)學(xué)反思小文章.

三、課堂生成片斷展示

活動(dòng)一：生成片斷

生1在數(shù)軸上舉例，然后結(jié)合數(shù)軸上的點(diǎn)，如－1、1，－2、2互為相反數(shù)，并指出它們的絕對(duì)值.進(jìn)一步追問：你們是如何理解“一線串通”的？請(qǐng)小組內(nèi)討論一下，然后匯報(bào).

有一個(gè)小組的學(xué)生構(gòu)建如圖2所示的轉(zhuǎn)化圖.

圖2

活動(dòng)二：生成片斷

學(xué)生給出很多解法，安排四個(gè)學(xué)生在臺(tái)上展示，題1有學(xué)生給出交換律、結(jié)合律的簡(jiǎn)化運(yùn)算，題2在黑板上給出了4種解法，沒有學(xué)生能有一種簡(jiǎn)潔的方法，即先確定符號(hào)再轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值的運(yùn)算.

后來老師追問：在對(duì)多個(gè)有理數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，能否直接確定符號(hào)？

生2：取決于負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)……

師：這樣先確定符號(hào)的意識(shí)，說明同學(xué)們還需要加深理解.唯有這樣確定“符號(hào)優(yōu)先”的意識(shí)，才能有效控制符號(hào)出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn).同學(xué)們不妨寫一兩句本題糾錯(cuò)后的體會(huì)，一起交流.

生3：需要理解、嚴(yán)守運(yùn)算規(guī)則.

生4：我們要在“對(duì)抗錯(cuò)誤”中積累計(jì)算經(jīng)驗(yàn).

生5：通過這些錯(cuò)題，我也理解了在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)一定要先確定符號(hào)，然后才能順利轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值的運(yùn)算（其實(shí)也就是小學(xué)階段關(guān)于正數(shù)的運(yùn)算了）.

……

活動(dòng)三：生成片斷

很多學(xué)生給出的算法都是先算括號(hào)里面的結(jié)果再乘以100得58；還有先轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)而用乘法分配律簡(jiǎn)化運(yùn)算.

師：這篇小文章中兩個(gè)算式在運(yùn)算時(shí)要注意些什么問題呢？

生6：第一個(gè)算式要認(rèn)真觀察，善于運(yùn)用乘法對(duì)加法分配律的簡(jiǎn)化運(yùn)算；第二個(gè)算式只能先算括號(hào)里面的，沒有除法對(duì)加法的分配律.

師：混合運(yùn)算的順序是什么？有哪些注意點(diǎn)？

生7：先乘方、乘除、再加減；如果有括號(hào)，要先算括號(hào)里面的.乘方要注意指數(shù)、底數(shù)是什么，如－22，（－2）2是不同的.

生8：錯(cuò)用除法分配律，得到3－5=－2這種錯(cuò)誤.糾正為－112.5.

師：同學(xué)們針對(duì)本題的運(yùn)算、算法優(yōu)化以及易錯(cuò)點(diǎn)，有何體會(huì)？

生9：經(jīng)過上面問題的優(yōu)化我進(jìn)一步理解了“條條大路通羅馬”，以及小學(xué)階段積累的運(yùn)算律在有理數(shù)范圍內(nèi)還是有用的.

生10：后面的那道錯(cuò)例，讓我也知道了原來就不存在的“除法分配律”不能增加進(jìn)來，說明我們不能記錯(cuò)經(jīng)驗(yàn).

活動(dòng)四、五：生成片斷

學(xué)情反饋在限時(shí)5分鐘后，全班只有三分之一的學(xué)生按時(shí)完成.統(tǒng)計(jì)答案后全對(duì)的只有2人，大多數(shù)學(xué)生都是因?yàn)樽詈笠坏罌]來得及算完.

師：?jiǎn)栠@兩個(gè)學(xué)生怎么完成得這么快？

生11：我把這10個(gè)數(shù)據(jù)分成兩組，整數(shù)與整數(shù)集中在一起、小數(shù)與小數(shù)集中在一起，所以快了點(diǎn).

生12：我用的是計(jì)算器算的.

接下來筆者用PPT展示了兩個(gè)學(xué)生的解法.

師：兩位同學(xué)的解法，你能看懂嗎？如果是你，會(huì)選擇哪一種方法？為什么？

生13：我看懂了，我喜歡第二種（小劉）解法，這樣運(yùn)算簡(jiǎn)化很多.

師：你覺得第二種方法哪一步較難，為什么大家在短時(shí)間內(nèi)都沒想到？

生13：應(yīng)該是基準(zhǔn)“40kg”沒想到吧！

師：很好，你能猜想出這個(gè)基準(zhǔn)嗎？

生13：再給我一點(diǎn)時(shí)間，相信靠我的感覺應(yīng)該能.

師：是的，你表達(dá)的就是“數(shù)感”.大家還有不同的意見嗎？

生14：我覺得如果使用計(jì)算器，就用第一種方法也挺好的，不需要思考什么，直接計(jì)算就可以了！

師：也有道理，你的意見其實(shí)是要有善于使用工具的意識(shí).

四、課后反思

1.復(fù)習(xí)課中首要的是關(guān)注雙基

應(yīng)該承認(rèn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》［4］的一大理論貢獻(xiàn)就是將“雙基”發(fā)展為“四基”.在這里，雙基作為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的本土優(yōu)勢(shì)沒有被削弱，所以我們以為，七、八年級(jí)章節(jié)復(fù)習(xí)課（包括中考復(fù)習(xí)課）的首要任務(wù)仍然是夯實(shí)雙基，即要面向全體學(xué)生，全面提高教學(xué)質(zhì)量，關(guān)鍵是要落實(shí)雙基.從上文中的設(shè)計(jì)可看出，在前四個(gè)活動(dòng)中，我們都是指向“雙基”：從“關(guān)聯(lián)性”的視角梳理基本概念、從“對(duì)抗錯(cuò)誤”中增強(qiáng)對(duì)有理數(shù)運(yùn)算符號(hào)優(yōu)先的意識(shí)、從算法優(yōu)化的角度提高運(yùn)算效率、注重當(dāng)堂學(xué)情反饋（限時(shí)獨(dú)立），這些努力關(guān)注的都是雙基，唯有雙基得到落實(shí)，才能在這樣堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上“一步一步往上走”（米山國(guó)藏語(yǔ)），這應(yīng)該是一種常識(shí).

2.復(fù)習(xí)課要著力引導(dǎo)積累經(jīng)驗(yàn)

復(fù)習(xí)課又不能止步于“雙基”，畢竟還要讓學(xué)有余力的優(yōu)秀學(xué)生在復(fù)習(xí)課上有所發(fā)展、收獲，這時(shí)設(shè)計(jì)出讓他們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容就顯得很有意義.像本課例中，在“活動(dòng)二”、“活動(dòng)三”、“活動(dòng)五”中，分布著讓學(xué)生在糾錯(cuò)到究錯(cuò)、優(yōu)化運(yùn)算后說體會(huì)，增加一些“即時(shí)追問”；從課堂生成來看，一些學(xué)生的回答都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.特別地，從數(shù)軸的角度“一線串通”地復(fù)習(xí)概念，本身也滲透了數(shù)形結(jié)合思想，只是在本課設(shè)計(jì)時(shí)，充分考慮到數(shù)學(xué)思想方法的抽象、晦澀，其作為“只可意會(huì)，不可言傳”的默會(huì)知識(shí)，在七年級(jí)起始階段的復(fù)習(xí)課，就沒有考慮倉(cāng)促地給學(xué)生貼上所謂數(shù)學(xué)思想的標(biāo)簽.

3.復(fù)習(xí)課可引導(dǎo)學(xué)生參與辨析

復(fù)習(xí)課不同于新授課的一大區(qū)別在于學(xué)生已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)的積累不同.認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，像本課例中設(shè)計(jì)出“活動(dòng)三”、“活動(dòng)五”，讓學(xué)生在問題情境中主動(dòng)優(yōu)化、展開辨析，從而加深對(duì)知識(shí)或解法多樣化的認(rèn)識(shí).順便指出，數(shù)學(xué)上的辨析切不可陷入所謂的“羅生門”（各說各有理，誰(shuí)也說不服誰(shuí)），老師的課堂駕馭、價(jià)值評(píng)判與引領(lǐng)往往起到關(guān)鍵性的作用，如本文“活動(dòng)五 課堂生成片斷”中，“生12”、“生14”均指出他們選用的計(jì)算器運(yùn)算，這些引導(dǎo)學(xué)生辨析兩解法的區(qū)別就顯得十分有意義.在這里，也可順便提及著名哲學(xué)家懷特?！皵?shù)學(xué)的惡”中提及“討論善與惡可能要求對(duì)經(jīng)驗(yàn)的理解具有一定的深度，而一個(gè)單薄的模式可能阻撓預(yù)想的實(shí)現(xiàn).于是，有一種微不足道的惡——一幅寫生畫竟能取代一幅完全的圖畫”［5］.鄭毓信教授曾指出“由于數(shù)學(xué)思維的單一性、簡(jiǎn)單性、文本性，與對(duì)象的多元性、復(fù)雜性（變化性）、異質(zhì)性構(gòu)成了直接對(duì)立，因此，這就從一個(gè)角度十分清楚地表明了數(shù)學(xué)思維的局限性.”［6］可見，在“活動(dòng)三”中，學(xué)生小孫受到前面所謂加法對(duì)除法分配律的“負(fù)遷移”干擾出錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生辨析“經(jīng)驗(yàn)”的“善”與“惡”，也是我們?cè)谠O(shè)計(jì)和教學(xué)時(shí)的良苦用心.

4.復(fù)習(xí)課宜努力開發(fā)課程內(nèi)容

“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的.”深入研讀教材，無(wú)不讀出教材編寫者們的“苦心經(jīng)營(yíng)”，那怕一個(gè)例題、一段話的表述、一個(gè)數(shù)字的修改等，都展現(xiàn)著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)追求，難怪史寧中教授說：“教材不同于科普讀物，教材是要經(jīng)得起反復(fù)閱讀的.”可是，作為事物的另一面，各類教材針對(duì)章節(jié)復(fù)習(xí)部分的設(shè)計(jì)又成為一個(gè)“薄弱區(qū)”，或者是給出一個(gè)知識(shí)框圖，再給出幾個(gè)問題，然后就是一組復(fù)習(xí)題的訓(xùn)練.這一方面讓初任教師無(wú)所適從（我們近期一次農(nóng)村初中調(diào)研時(shí)，一位有20年教齡的初中數(shù)學(xué)教師在發(fā)言時(shí)就表示：“說實(shí)話，我教了20年，但從不知道復(fù)習(xí)課應(yīng)該怎樣上……一直以來，我以為復(fù)習(xí)課就是做習(xí)題、考試卷、講評(píng)習(xí)題試卷”）；另一方面，也給老師們很大的課程開發(fā)的空間，本文提供的課例中的反思小文章片斷都是我們多年來踐行學(xué)生“數(shù)學(xué)寫作”積累下來的素材，進(jìn)而將這些素材再利用，一是引用學(xué)生生成性資源，讓學(xué)生有親切感；二是將待復(fù)習(xí)的知識(shí)、技能和思想方法都融入其中，對(duì)這些學(xué)生作品采用挖空、優(yōu)化或改編等形式設(shè)計(jì)成復(fù)習(xí)內(nèi)容.往大了說這些都可看成是一種“課程開發(fā)”；更進(jìn)一步，還示范了學(xué)生“數(shù)學(xué)寫作”的做法.

五、結(jié)束語(yǔ)

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的課型，其充分的“開放性”注定了老師們可以“仁者見仁，智者見智”.但我們以為，為了讓復(fù)習(xí)課也能“老歌新唱”，讓更多的學(xué)生思考其中、發(fā)現(xiàn)其中、辨析其中、享受其中，是值得我們認(rèn)真思考、精心謀劃的.是不是也可以說，這種對(duì)“后半段”的關(guān)注恰恰也體現(xiàn)了初任教師與專家教師的重要區(qū)別.

1.張奠宙，趙小平.教學(xué)中多多關(guān)注“后半段”——怎樣上好復(fù)習(xí)課？ ［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（4）.

2.孫振飛.別讓“后半段”成為有效教學(xué)的短板——以“線段與角的畫法”復(fù)習(xí)課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（1-2）：14-16.

3.章建躍.滲透數(shù)系擴(kuò)充思想 加強(qiáng)運(yùn)算能力培養(yǎng)——人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第一章“有理數(shù)”介紹［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2012（8）：13-15.

4.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

5.懷特海.“數(shù)學(xué)與善”［M］.北京：知識(shí)出版社，1986：351.

6.鄭毓信.數(shù)學(xué)教育新論：走向?qū)I(yè)成長(zhǎng)［M］.北京：人民教育出版社，2011：354.

7.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010（3-5）.